Дифференциальная форма

Разделы:

Дифференциа́льная фо́рма порядка k{displaystyle k} $k$ или k{displaystyle k} $k$ -форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,k){displaystyle (0,k)} $(0,k)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k{displaystyle k} $k$ -форм на многообразии M{displaystyle M} $M$ обычно обозначают Ωk(M){displaystyle Omega ^{k}(M)} $Omega ^{k}(M)$ .

Содержание

1 Определения
- 1.1 Инвариантное
- 1.2 Через локальные карты
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Примеры
5 Применения
6 Вариации и обобщения
7 Литература
8 См. также

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k{displaystyle k}

$k$ , или просто k{displaystyle k} $k$ -форма — это гладкое сечение ∧kT∗M{displaystyle wedge ^{k}T^{*}M} $wedge ^{k}T^{*}M$ , то есть k{displaystyle k} $k$ -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

значение k{displaystyle k} $k$ -формы на наборе из k{displaystyle k} $k$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
значение k{displaystyle k} $k$ -формы в точке x{displaystyle x} $x$ многообразия есть кососимметрический k{displaystyle k} $k$ -линейный функционал на TxM{displaystyle T_{x}M} $T_{x}M$ .

Через локальные карты

k{displaystyle k}

$k$ -формой на Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ будем называть выражение следующего вида

ω=∑1⩽i1<i2<…<ik⩽nfi1i2…ik(x1,…,xn)dxi1∧dxi2∧…∧dxik{displaystyle omega =sum _{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}(x^{1},ldots ,x^{n}),dx^{i_{1}}wedge dx^{i_{2}}wedge ldots wedge dx^{i_{k}}}

omega =sum _{{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}(x^{1},ldots ,x^{n}),dx^{{i_{1}}}wedge dx^{{i_{2}}}wedge ldots wedge dx^{{i_{k}}}

где fi1i2…ik{displaystyle f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}

$f_{{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}$ — гладкие функции, dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ — дифференциал i{displaystyle i} $i$ -ой координаты xi{displaystyle x^{i}} $x^i$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i{displaystyle i} $i$ ), а ∧{displaystyle wedge } $wedge$ — внешнее произведение.При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

Для k{displaystyle k} $k$ -формы ω{displaystyle omega } $omega$ , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это (k+1){displaystyle (k+1)} $(k+1)$ -форма, в координатах имеющая вид dω=∑1⩽i1<i2<…<ik⩽n∑1⩽j⩽n∂fi1i2…ik∂xj(x1,…,xn)dxj∧dxi1∧dxi2∧…∧dxik{displaystyle domega =sum _{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}sum _{1leqslant jleqslant n}{frac {partial f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}{partial x^{j}}}(x^{1},dots ,x^{n}),dx^{j}wedge dx^{i_{1}}wedge dx^{i_{2}}wedge ldots wedge dx^{i_{k}}} $domega =sum _{{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}}sum _{{1leqslant jleqslant n}}{frac {partial f_{{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}}{partial x^{j}}}(x^{1},dots ,x^{n}),dx^{j}wedge dx^{{i_{1}}}wedge dx^{{i_{2}}}wedge ldots wedge dx^{{i_{k}}}$

для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть 0{displaystyle 0} -форм, затем дифференциал 1{displaystyle 1} -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по R{displaystyle R} -линейности и градуированному правилу Лейбница:
- dF(v)=v(F){displaystyle dF(v)=v(F)} $dF(v)=v(F)$ — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
- dω(u,v)=u(ω(v))−v(ω(u))−[u,v]{displaystyle domega (u,v)=u(omega (v))-v(omega (u))-[u,v]} ${displaystyle domega (u,v)=u(omega (v))-v(omega (u))-[u,v]}$ — значение дифференциала 1{displaystyle 1} $1$ -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на коммутатор.
- d(ωk∧ωp)=(dωk)∧ωp+(−1)kωk∧(dωp){displaystyle d(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(domega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{k}omega ^{k}wedge (domega ^{p})} $d(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(domega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{{k}}omega ^{k}wedge (domega ^{p})$
Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
Факторгруппа HdRk=Ω¯k/dΩk−1{displaystyle H_{dR}^{k}={bar {Omega }}_{k}/dOmega _{k-1}} $H_{{dR}}^{k}={bar Omega }_{{k}}/dOmega _{{k-1}}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется k{displaystyle k} $k$ -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
Внутренней производной формы ω{displaystyle omega } $omega$ по векторному полю v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ называется форма

ivω(u1,…,un)=ω(v,u1,…,un){displaystyle i_{mathbf {v} }omega (u_{1},dots ,u_{n})=omega (mathbf {v} ,u_{1},dots ,u_{n})}

{displaystyle i_{mathbf {v} }omega (u_{1},dots ,u_{n})=omega (mathbf {v} ,u_{1},dots ,u_{n})}

Свойства

Для дифференциалов форм ωF{displaystyle omega _{F}} $omega _{F}$ векторного поля F{displaystyle F} $F$ справедливо:

d(dωF)=0{displaystyle d(domega _{F})=0}

d(domega _{F})=0

d(ωF0)=ω∇F1{displaystyle d(omega _{F}^{0})=omega _{nabla F}^{1}}

{displaystyle d(omega _{F}^{0})=omega _{nabla F}^{1}}

d(ωF1)=ωrotF2{displaystyle d(omega _{F}^{1})=omega _{rotF}^{2}}

d(omega _{F}^{1})=omega _{{rotF}}^{2}

d(ωF2)=ωdivF3{displaystyle d(omega _{F}^{2})=omega _{divF}^{3}}

d(omega _{F}^{2})=omega _{{divF}}^{3}

d(ωF3)=ωL2F4{displaystyle d(omega _{F}^{3})=omega _{L2F}^{4}}

d(omega _{F}^{3})=omega _{{L2F}}^{4}

Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k{displaystyle k} $k$ векторов.
Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

d(ωk∧ωp)=(dωk)∧ωp+(−1)kωk∧(dωp){displaystyle d(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(domega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{k}omega ^{k}wedge (domega ^{p})} $d(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(domega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{{k}}omega ^{k}wedge (domega ^{p})$
Для любой формы справедливо d(dω)=0{displaystyle d(domega )=0} $d(domega )=0$ .

Примеры

С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p{displaystyle p} $p$ многообразия M{displaystyle M} $M$ и отображающий элементы касательного пространства Tp(M){displaystyle T_{p}(M)} $T_{p}(M)$ в множество вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ :

ω(p):Tp(M)→R{displaystyle omega (p)colon T_{p}(M)rightarrow mathbb {R} } $omega (p)colon T_{p}(M)rightarrow mathbb{R}$
Форма объёма — пример n{displaystyle n} $n$ -формы на n{displaystyle n} $n$ -мерном многообразии.
Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ω{displaystyle omega } $omega$ на 2n{displaystyle 2n} $2n$ -многообразии, такая что ωn≠0{displaystyle omega ^{n}not =0} $omega ^{n}not =0$ .

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализеПусть I{displaystyle I}

$I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и σ{displaystyle sigma } $sigma$ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M{displaystyle M} $M$ . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M{displaystyle M} $M$ .Тогда ротор и дивергенцию для полей на R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} $mathbb {R} ^{3}$ можно представить как

rotv=σ∘d∘I(v){displaystyle operatorname {rot} ,v=sigma circ dcirc I(v)}

{displaystyle operatorname {rot} ,v=sigma circ dcirc I(v)}

divv=σ∘d∘σ(v){displaystyle operatorname {div} ,v=sigma circ dcirc sigma (v)}

{displaystyle operatorname {div} ,v=sigma circ dcirc sigma (v)}

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

F=12Fabdxa∧dxb.{displaystyle {textbf {F}}={frac {1}{2}}F_{ab},{mathrm {d} }x^{a}wedge {mathrm {d} }x^{b}.}

{textbf {F}}={frac {1}{2}}F_{{ab}},{{mathrm d}}x^{a}wedge {{mathrm d}}x^{b}.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

J=Jaεabcddxb∧dxc∧dxd.{displaystyle {textbf {J}}=J^{a}varepsilon _{abcd},{mathrm {d} }x^{b}wedge {mathrm {d} }x^{c}wedge {mathrm {d} }x^{d}.}

{textbf {J}}=J^{a}varepsilon _{{abcd}},{{mathrm d}}x^{b}wedge {{mathrm d}}x^{c}wedge {{mathrm d}}x^{d}.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

dF=0{displaystyle mathrm {d} ,{textbf {F}}={textbf {0}}}

{mathrm {d}},{{textbf {F}}}={textbf {0}}

d∗F=J{displaystyle mathrm {d} ,{*{textbf {F}}}={textbf {J}}}

{mathrm {d}},{*{textbf {F}}}={textbf {J}}

где ∗{displaystyle *}

$*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ∗F{displaystyle *mathbf {F} }

$*{mathbf {F}}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M{displaystyle M}

$M$ с заданными на нём симплектической формой ω{displaystyle omega } $omega$ и функцией H{displaystyle H} $H$ , называемой функцией Гамильтона. ω{displaystyle omega } $omega$ задаёт в каждой точке X∈M{displaystyle Xin M} $Xin M$ изоморфизм I{displaystyle I} $I$ кокасательного TX∗M{displaystyle T_{X}^{*}M} $T_{{X}}^{{*}}M$ и касательного TXM{displaystyle T_{X}M} $T_{{X}}M$ пространств по правилу

dH(u)=ω(IdH,u), ∀u∈TXM{displaystyle dH(mathbf {u} )=omega (IdH,mathbf {u} ),~~forall mathbf {u} in T_{X}M}

dH({mathbf {u}})=omega (IdH,{mathbf {u}}),~~forall {mathbf {u}}in T_{{X}}M

где dH{displaystyle dH}

$dH$ — дифференциал функции H{displaystyle H} $H$ . Векторное поле IdH{displaystyle IdH} $IdH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F{displaystyle F} $F$ и G{displaystyle G} $G$ на M{displaystyle M} $M$ определяется по правилу

[F,G]=ω(IdF,IdG){displaystyle [F,G]=omega (IdF,IdG)}

[F,G]=omega (IdF,IdG)

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k{displaystyle k}

$k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M{displaystyle M} $M$ со значениями в векторном расслоении π:E→M{displaystyle pi colon Eto M} $pi colon Eto M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

(⋀kT∗M)⊗ME{displaystyle left(bigwedge ^{k}T^{*}Mright)otimes _{M}E}

left(bigwedge ^{k}T^{*}Mright)otimes _{{M}}E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение TM{displaystyle TM}

$TM$ .

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.