Граф (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Граф (значения).

Граф — математическая абстракция реальной системы объектов любой природы, обладающих парными связями.Граф как математический объект есть совокупность двух множеств — множества самих объектов, называемого множеством вершин и множеством их парных связей, называемой множеством рёбер. Элемент множества рёбер есть пара элементов множества вершин.

Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Графы находят широкое применение в современной науке и технике. Они используются и в естественных науках (физике и химии) и в социальных науках (например, социологии), но наибольших масштабов применение графов получило в информатике и сетевых технологиях.

В качестве простейшего примера из жизни можно привести схему перелётов определённой авиакомпании, которая моделируется графом, где вершинами графа являются города, а рёбрами — рейсы, соединяющие пары городов. Дерево каталогов в компьютере также является графом: диски, папки и файлы являются вершинами, а рёбра показывают вложенность файлов и папок в папки и диски[1].

Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.Многие структуры в математике и информатике, представляющие практический интерес, могут быть представлены графами. Например, строение Википедии моделируется ориентированного графа, в котором вершины — статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — гиперссылки (тематическая карта).

Графы являются основным объектом изучения теории графов.

Содержание

1 Определения
2 Обобщение понятия графа
3 Способы представления графа в информатике
4 См. также
5 Примечания
6 Литература

Определения

Основная статья: Глоссарий теории графов

Реальные системы, элементы которых обладают парными связями достаточно разнообразны, и описывающие их абстракции — графы также бывают различных типов. Простейшей абстракцией таких систем является простой граф.

Простой Граф

Пример диаграммы неориентированного графа

Определение. Простой граф G(V,E){displaystyle G(V,E)}

$G(V,E)$ есть совокупность двух множеств – непустого множества V{displaystyle V} $V$ и множества E{displaystyle E} $E$ неупорядоченных пар различных элементов множества V{displaystyle V} $V$ . Множество V{displaystyle V} $V$ называется множеством вершин, множество E{displaystyle E} $E$ называется множеством рёбер

G(V,E)=⟨V,E⟩,V≠∅,E∈V×V,{v,v}∉E,v∈V{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad Ein Vtimes V,quad left{v,vright}notin E,quad vin V}

{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad Ein Vtimes V,quad left{v,vright}notin E,quad vin V}

то есть множество E{displaystyle E}

$E$ состоит из 2-элементных подмножеств множества V{displaystyle V} $V$ .

Сопутствующие термины

Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. Поэтому в некоторых публикациях могут использоваться термины, отличные от приведенных ниже.

Вершина (узел, точка) (англ. vertex, node, point) графа G{displaystyle G} $G$ есть элемент множества вершин v∈V(G){displaystyle vin V(G)} ${displaystyle vin V(G)}$ ;

Ребро (линия) (англ. edge, line) графа G{displaystyle G} $G$ есть элемент множества ребер e∈E(G){displaystyle ein E(G)} ${displaystyle ein E(G)}$ , или e={v1,v2}{displaystyle e=left{v_{1},v_{2}right}} ${displaystyle e=left{v_{1},v_{2}right}}$ , где v1∈V(G),v2∈V(G){displaystyle v_{1}in V(G),quad v_{2}in V(G)} ${displaystyle v_{1}in V(G),quad v_{2}in V(G)}$ ;

Элементами графа G{displaystyle G} $G$ называются его вершины v∈V(G){displaystyle vin V(G)} ${displaystyle vin V(G)}$ и рёбра e∈E(G){displaystyle ein E(G)} ${displaystyle ein E(G)}$ графа;

Порядок (англ. order) графа G{displaystyle G} $G$ есть кардинальное число множества вершин n=|V(G)|{displaystyle n=|V(G)|} ${displaystyle n=|V(G)|}$ или, другими словами, количество вершин;

Размер (англ. size) графа G{displaystyle G} $G$ есть кардинальное число множества ребер m=|E(G)|{displaystyle m=|E(G)|} ${displaystyle m=|E(G)|}$ или, другими словами, количество ребер;

Вершина v{displaystyle v} $v$ инцидентна (англ. incident) ребру e{displaystyle e} $e$ , если v∈e{displaystyle vin e} ${displaystyle vin e}$ ; тогда еще говорят, что e{displaystyle e} $e$ есть ребро при v{displaystyle v} $v$ ;

Концевые вершины (концы) (англ. endvertices, ends) есть две вершины, инцидентные ребру. Ребро соединяет (англ. joins) свои концевые вершины;

Соседние (смежные) вершины (англ. neighbours, adjacent) есть такие вершины v1{displaystyle v_{1}} $v_{1}$ и v2{displaystyle v_{2}} $v_{2}$ что {v1,v2}∈E(G){displaystyle left{v_{1},v_{2}right}in E(G)} ${displaystyle left{v_{1},v_{2}right}in E(G)}$ или, другими, словами обе вершины являются концевыми для одного ребра;

Смежные ребра (англ. adjacent edges) это ребра, инцидентные одной вершине или e1={v,v1}{displaystyle e_{1}=left{v,v_{1}right}} ${displaystyle e_{1}=left{v,v_{1}right}}$ и e2={v,v2}{displaystyle e_{2}=left{v,v_{2}right}} ${displaystyle e_{2}=left{v,v_{2}right}}$ — смежные;

Степень (валентность) вершины (англ. degree, valency) есть количество инцидентных ей рёбер. Степень вершины обозначается как d(v){displaystyle d(v)} ${displaystyle d(v)}$ ;

Изолированной вершиной (англ. isolated) называется вершина со степенью d(v)=0{displaystyle d(v)=0} ${displaystyle d(v)=0}$ , то есть не является концом ни для одного ребра;

Висячей вершиной (листом) (англ. leaf) называется вершина со степенью d(v)=1{displaystyle d(v)=1} $d(v)=1$ , то есть которая является концом ровно одного ребра.

Обычно граф изображают диаграммой: вершины – точками, ребра – линиями.

Псевдограф

Псевдограф G(V,E){displaystyle G(V,E)}

$G(V,E)$ есть совокупность двух множеств – непустого множества V{displaystyle V} $V$ и множества E{displaystyle E} $E$ неупорядоченных пар элементов множества V{displaystyle V} $V$ .

G(V,E)=⟨V,E⟩,V≠∅,E∈V×V{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad Ein Vtimes V}

{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad Ein Vtimes V}

В множестве ребер псевдографа разрешен элемент {v,v}∈E(G){displaystyle left{v,vright}in E(G)}

${displaystyle left{v,vright}in E(G)}$ .

Петлей (англ. loop) называется элемент e={v,v}{displaystyle e=left{v,vright}} ${displaystyle e=left{v,vright}}$ , являющийся ребром у которого концевые вершины совпадают.

Другими словами если элементами множества E могут быть петли, то граф называется псевдографом [2].

Мультиграф

Псевдомультиграф с кратными рёбрами (красные) и петлями (синие).

Мультиграф G(V,E){displaystyle G(V,mathbf {E} )}

${displaystyle G(V,mathbf {E} )}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества V{displaystyle V} $V$ и мультимножества E{displaystyle mathbf {E} } $mathbf {E}$ неупорядоченных пар различных элементов множества V{displaystyle V} $V$ .

G(V,E)=⟨V,E⟩,V≠∅,E∈V×V{v,v}∉E,v∈V{displaystyle G(V,mathbf {E} )=leftlangle V,mathbf {E} rightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad mathbf {E} in Vtimes Vquad left{v,vright}notin mathbf {E} ,quad vin V}

{displaystyle G(V,mathbf {E} )=leftlangle V,mathbf {E} rightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad mathbf {E} in Vtimes Vquad left{v,vright}notin mathbf {E} ,quad vin V}

Кратными ребрами называются одинаковые элементы мультимножества {e,e,…,e}∈E{displaystyle left{e,e,dots ,eright}in mathbf {E} } ${displaystyle left{e,e,dots ,eright}in mathbf {E} }$ , то есть ребра, чьи концевые вершины совпадают.

Другими словами Если E{displaystyle E}

$E$ не множество, а семейство, то есть если E{displaystyle mathbf {E} } $mathbf {E}$ содержит одинаковые элементы, то такие элементы называются кратными рёбрами, а граф называется мультиграфом [2].

Псевдомультиграф

Псевдомультиграф G(V,E){displaystyle G(V,mathbf {E} )}

${displaystyle G(V,mathbf {E} )}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества V{displaystyle V} $V$ и мультимножества E{displaystyle mathbf {E} } $mathbf {E}$ неупорядоченных пар элементов множества V{displaystyle V} $V$ .

G(V,E)=⟨V,E⟩,V≠∅,E∈V×V{displaystyle G(V,mathbf {E} )=leftlangle V,mathbf {E} rightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad mathbf {E} in Vtimes V}

{displaystyle G(V,mathbf {E} )=leftlangle V,mathbf {E} rightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad mathbf {E} in Vtimes V}

Другими словами Если E{displaystyle mathbf {E} }

$mathbf {E}$ семейство содержащее одинаковые элементы (кратные ребра) и E{displaystyle mathbf {E} } $mathbf {E}$ может содержать петли, то граф называется псевдомультиграфом[2].

Ориентированный граф

Ориентированный граф (орграф) (англ. directed graph or dirgaph) G(V,E){displaystyle G(V,E)}

$G(V,E)$ есть совокупность двух множеств – непустого множества V{displaystyle V} $V$ и множества E{displaystyle E} $E$ дуг или упорядоченных пар различных элементов множества V{displaystyle V} $V$

G(V,E)=⟨V,E⟩,V≠∅,⟨{v1,v2},≺⟩∈E,v∈V{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad leftlangle left{v_{1},v_{2}right},prec rightrangle in E,quad vin V}

{displaystyle G(V,E)=leftlangle V,Erightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad leftlangle left{v_{1},v_{2}right},prec rightrangle in E,quad vin V}

совместно с двумя отображениями

init:E→V,ter:E→V{displaystyle init:Erightarrow V,quad ter:Erightarrow V}

{displaystyle init:Erightarrow V,quad ter:Erightarrow V}

где отображение init:E→V{displaystyle init:Erightarrow V}

${displaystyle init:Erightarrow V}$ ставит в соответствие каждой дуге ее начальную вершину (начало дуги) init(e){displaystyle init(e)} ${displaystyle init(e)}$ , а отображение ter:E→V{displaystyle ter:Erightarrow V} ${displaystyle ter:Erightarrow V}$ ставит в соответствие каждой дуге ее конечную вершину (конец дуги) ter(e){displaystyle ter(e)} ${displaystyle ter(e)}$ . Говорят что дуга e{displaystyle e} $e$ ведет из init(e){displaystyle init(e)} ${displaystyle init(e)}$ в ter(e){displaystyle ter(e)} ${displaystyle ter(e)}$

Смешанный граф

Основная статья: Смешанный граф

Смешанный граф (англ. Mixed graph) G(V,E,U){displaystyle G(V,E,U)}

${displaystyle G(V,E,U)}$ — это совокупность трех множеств – непустого множества вершин V{displaystyle V} $V$ , и множества дуг E{displaystyle E} $E$ или упорядоченных пар различных элементов множества V{displaystyle V} $V$ и множества ребер U{displaystyle U} $U$ неупорядоченных пар различных элементов множества V{displaystyle V} $V$

G(V,E,U)=⟨V,E,U⟩,V≠∅,⟨{v1,v2},≺⟩∈E,{v3,v4}∈U,v∈V{displaystyle G(V,E,U)=leftlangle V,E,Urightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad leftlangle left{v_{1},v_{2}right},prec rightrangle in E,quad left{v_{3},v_{4}right}in U,quad vin V}

{displaystyle G(V,E,U)=leftlangle V,E,Urightrangle ,quad Vneq varnothing ,quad leftlangle left{v_{1},v_{2}right},prec rightrangle in E,quad left{v_{3},v_{4}right}in U,quad vin V}

совместно с двумя отображениями

init:E→V,ter:E→V{displaystyle init:Erightarrow V,quad ter:Erightarrow V}

{displaystyle init:Erightarrow V,quad ter:Erightarrow V}

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы

Граф G{displaystyle G}

$G$ называется изоморфным графу H{displaystyle H} $H$ , если существует биекция f{displaystyle f} $f$ из множества вершин графа G{displaystyle G} $G$ в множество вершин графа H{displaystyle H} $H$ , обладающая следующим свойством: если в графе G{displaystyle G} $G$ есть ребро из вершины A{displaystyle A} $A$ в вершину B{displaystyle B} $B$ , то в графе H{displaystyle H} $H$ должно быть ребро из вершины f(A){displaystyle f(A)} $f(A)$ в вершину f(B){displaystyle f(B)} $f(B)$ и наоборот — если в графе H{displaystyle H} $H$ есть ребро из вершины A{displaystyle A} $A$ в вершину B{displaystyle B} $B$ , то в графе G{displaystyle G} $G$ должно быть ребро из вершины f−1(A){displaystyle f^{-1}(A)} $f^{-1}(A)$ в вершину f−1(B){displaystyle f^{-1}(B)} $f^{-1}(B)$ . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Прочие связанные определения

Маршрутом в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром. Цепью называется маршрут без повторяющихся рёбер. Простой цепью называется маршрут без повторяющихся вершин (откуда следует, что в простой цепи нет повторяющихся рёбер).

Ориентированным маршрутом (или путём) в орграфе называют конечную последовательность вершин и дуг, в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему.

Циклом называют цепь, в которой первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины u{displaystyle u}

$u$ и v{displaystyle v} $v$ являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u,v,u){displaystyle (u,v,u)} $(u,v,u)$ является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если рёбра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются.

Простейшие свойства путей и циклов:

всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины;
всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл;
всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро);
петля — элементарный цикл.

Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из u{displaystyle u}

$u$ в v{displaystyle v} $v$ », является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа. Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.

Всякий максимальный связный подграф графа G{displaystyle G}

$G$ называется связной компонентой (или просто компонентой) графа G{displaystyle G} $G$ . Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов.

Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Дополнительные характеристики графов

Граф называется:

связным, если для любых вершин u{displaystyle u} $u$ ,v{displaystyle v} $v$ есть путь из u{displaystyle u} $u$ в v{displaystyle v} $v$ .
сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
деревом, если он связный и не содержит нетривиальных циклов.
полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества V1{displaystyle V_{1}} $V_{1}$ и V2{displaystyle V_{2}} $V_{2}$ так, что всякое ребро соединяет вершину из V1{displaystyle V_{1}} $V_{1}$ с вершиной из V2{displaystyle V_{2}} $V_{2}$ .
k-дольным, если его вершины можно разбить на k{displaystyle k} $k$ непересекающихся подмножеств V1{displaystyle V_{1}} $V_{1}$ , V2{displaystyle V_{2}} $V_{2}$ , …, Vk{displaystyle V_{k}} $V_{k}$ так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.
хордальным, если граф не содержит индуцированных циклов с длиной больше трёх.

Также бывает:

Обобщение понятия графа

Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.

Более абстрактно, граф можно задать как тройку (V,E,φ){displaystyle (V,E,varphi )}

$(V,E,varphi )$ ,где V{displaystyle V} $V$ и E{displaystyle E} $E$ — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.),а φ{displaystyle varphi } $varphi$ — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребруe∈E{displaystyle ein E} $ein E$ (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин u{displaystyle u} $u$ и v{displaystyle v} $v$ из V{displaystyle V} $V$ (его концов). Частными случаями этого понятия являются:

ориентированные графы (орграфы) — когда φ(e){displaystyle varphi (e)} $varphi (e)$ всегда является упорядоченной парой вершин;
неориентированные графы — когда φ(e){displaystyle varphi (e)} $varphi (e)$ всегда является неупорядоченной парой вершин;
смешанные графы — граф, в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;
эйлеровы графы — граф, в котором существует циклический эйлеров путь (эйлеров цикл);
мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.

Под данное выше определение не подходят некоторые другие обобщения:

гиперграф — если ребро может соединять более двух вершин.
ультраграф — если между элементами xi{displaystyle x_{i}} $x_{i}$ и uj{displaystyle u_{j}} $u_{j}$ существуют бинарные отношения инцидентности.

Способы представления графа в информатике

Матрица смежности

Основная статья: Матрица смежности

Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа.В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Это наиболее удобный способ представления плотных графов.

Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.

Двумерный массив;
Матрица с пропусками;
Неявное задание (при помощи функции).

Матрица инцидентности

Основная статья: Матрица инцидентности

Таблица, где строки соответствуют вершинам графа, а столбцы соответствуют связям (рёбрам) графа.В ячейку матрицы на пересечении строки i{displaystyle i}

$i$ со столбцом j{displaystyle j} $j$ записывается:

1: в случае, если связь j{displaystyle j} $j$ «выходит» из вершины i{displaystyle i} $i$ ,
−1,: если связь «входит» в вершину,
0: во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)

Данный способ является довольно ёмким (размер пропорционален |V||E|{displaystyle |V||E|}

$|V||E|$ ) для хранения, поэтому применяется очень редко, в особых случаях (например, для быстрого нахождения циклов в графе).

Список смежности

Основная статья: Список смежности

Список, где каждой вершине графа соответствует строка, в которой хранится список смежных вершин. Такая структура данных не является таблицей в обычном понимании, а представляет собой «список списков».

Размер занимаемой памяти: O(|V|+|E|){displaystyle O(|V|+|E|)}

$O(|V|+|E|)$ .

Это наиболее удобный способ для представления разреженных графов, а также при реализации базовых алгоритмов обхода графа в ширину или глубину, где нужно быстро получать «соседей» текущей просматриваемой вершины.

Список рёбер

Список, где каждому ребру графа соответствует строка, в которой хранятся две вершины, инцидентные ребру.

Размер занимаемой памяти: O(|E|){displaystyle O(|E|)}

$O(|E|)$ .

Это наиболее компактный способ представления графов, поэтому часто применяется для внешнего хранения или обмена данными.

Языки описания и программы построения графов

Языки описания

Для описания графов, пригодного для машинной обработки и одновременно удобного для человеческого восприятия, используется несколько стандартизированных языков, среди которых:

Программы для построения

Разработана серия коммерческих программ для построения графов, так, построение графов лежит в основе прикладных программных пакетов фирмы ILOG (с 2009 года принадлежит корпорации IBM), среди других программ — GoView, Lassalle AddFlow, LEDA (есть бесплатная редакция).

Также существует свободная программа для построения графов igraph и свободная библиотека Boost.

Программы для визуализации

Для визуализации графов применяются следующие программные средства:

Graphviz (Eclipse Public License)
LION Graph Visualizer.
Графоанализатор — русскоязычная программа, с простым пользовательским интерфейсом (GNU LGPL; только для Windows).
Gephi — графическая оболочка для представления и изучения графов (GNU GPL, CDDL).
Библиотека GraphX — свободная библиотека для .NET для расчёта и отрисовки графов, использует WPF 4.0.
Библиотека MSAGL — свободная библиотека для .NET[3].

См. также

Примечания

↑ Буркатовская, 2014, с. 3.
↑ 1 2 3 Буркатовская, 2014, с. 6.
↑ Microsoft Automatic Graph Layout — Microsoft Research (неопр.). research.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2015.

Литература

Буркатовския Ю. Б. Теория графов. — Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2014. — Т. 1. — 200 с.
Дистель Р. Теория графов. — Новосибирск: Издательство Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002. — 336 с. — ISBN 5-86134-101-Х.
Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
Касьянов В. Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — С. 1104. — ISBN 5-94157-184-4.
Кирсанов М. Н. Графы в Maple. — М.: Физматлит, 2007. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-0745-7.
Кормен Т. М. и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 336 с.
Графы // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 86-88. — 352 с.
Салий В. Н., Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9.
Уилсон Р. Введение в теорию графов. — М.: Мир, 1977. — 208 с.
Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.

Для улучшения этой статьи желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.