Коническое сечение

Разделы:

Кони́ческое сече́ние, или ко́ника[1] — пересечение плоскости с конусом. Далее рассматриваются в основном круговые конусы, для наглядности и упрощения изложения являющиеся прямыми.

Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Три основных конических сечения

Существует три главных типа конических сечений круговых конусов (точнее, конусов, имеющих хотя бы одно круговое сечение): эллипс, парабола и гипербола. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых.

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом

a2z2=x2+y2{displaystyle a^{2}z^{2}=x^{2}+y^{2}}

a^{2}z^{2}=x^{2}+y^{2}

(в декартовой системе координат)

Здесь

a=tg⁡θ{displaystyle a=operatorname {tg} theta }

a=operatorname {tg} theta

θ{displaystyle theta }

theta

— угол между образующей конуса и его осью.

Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение.В невырожденном случае,

если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс,
если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,
если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть, все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику, которая не может быть получена как сечение конуса, но всё же обычно считается «вырожденным коническим сечением»).

Содержание

1 История
2 Эксцентриситет
3 Шары Данделена
4 Свойства
5 Группы преобразований
6 Координатное представление
- 6.1 Декартовы координаты
- 6.2 Полярные координаты
7 Гравитация
8 См. также
9 Примечания
10 Литература
11 Ссылки

История

Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции.

Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.). По-видимому он первым описал фокусы эллипса и гиперболы[2]:41.

Папп Александрийский первым описал фокус параболы и вывел общее уравнение для конического сечения как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно[2]:48.

Эксцентриситет

Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F и директрисой.Основная статья: Эксцентриситет

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку F{displaystyle F}

$F$ и прямую d{displaystyle d} $d$ и зададим вещественное число e≥0{displaystyle egeq 0} $egeq 0$ . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F{displaystyle F} $F$ и до прямой d{displaystyle d} $d$ отличается в e{displaystyle e} $e$ раз, является коническим сечением.Точка F{displaystyle F} $F$ называется фокусом конического сечения,прямая d{displaystyle d} $d$ — директрисой,число e{displaystyle e} $e$ — эксцентриситетом.

|FM|=e⋅|MM′|, MM′⊥d{displaystyle |FM|=ecdot |MM’|, MM’bot d}

|FM|=ecdot |MM'|, MM'bot d

В зависимости от эксцентриситета, получится:

при e>1{displaystyle e>1} $e>1$ — гипербола.
при e=1{displaystyle e=1} $e=1$ — парабола;
при e<1{displaystyle e<1} $e<1$ — эллипс;

Для окружности полагают e=0{displaystyle e=0}

$e=0$ (хотя фактически при e=0{displaystyle e=0} $e=0$ ГМТ является только точка F{displaystyle F} $F$ ).

Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением[3]:46,47:

e=sin⁡(90∘−ψ)sin⁡(90∘−φ)=cos⁡ψcos⁡φ,{displaystyle e={frac {sin(90^{circ }-psi )}{sin(90^{circ }-varphi )}}={frac {cos psi }{cos varphi }},}

e={frac {sin(90^{circ }-psi )}{sin(90^{circ }-varphi )}}={frac {cos psi }{cos varphi }},

здесь ψ{displaystyle psi }

$psi$ — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, φ{displaystyle varphi } $varphi$ — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает 1cos⁡φ{displaystyle {frac {1}{cos varphi }}} ${frac {1}{cos varphi }}$ . Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси. Эллипс (синий) как коническое сечение, разделяющее шары Данделена; директрисы эллипса (Df1 и Df2), его фокусы (f1 и f2) и эксцентриситет (e)

Шары Данделена

Основная статья: Шары Данделена

Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — шаров Данделена. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения[3]:46,47.

Свойства

Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.

Группы преобразований

Эксцентриситет двух невырожденных конических сечений совпадает тогда и только тогда, когда они могут быть переведены друг в друга преобразованием подобия.
Аффинные преобразования сохраняют только знак эксцентриситета, т.е. с точки зрения аффинной геометрии существует только три различных невырожденных конических сечения: эллипс, парабола и гипербола.
Все невырожденные конические сечения неразличимы в проективной геометрии.

Координатное представление

Декартовы координаты

В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта

B2−4AC,{displaystyle B^{2}-4AC,}

B^{2}-4AC,

определяет тип конического сечения.

Если дискриминант меньше нуля, то это эллипс, точка или пустое множество.
Если дискриминант равен нулю, то это парабола, прямая или пара параллельных прямых.
Если дискриминант больше нуля, то это гипербола или пара пересекающихся прямых

Полярные координаты

В полярных координатах (ρ,θ){displaystyle (rho ,theta )}

$(rho ,theta )$ , с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением

ρ(1+ecos⁡θ)=l{displaystyle rho (1+ecos theta )=l}

{displaystyle rho (1+ecos theta )=l}

где е обозначает эксцентриситет и l постоянная.

Гравитация

В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов — закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы[4] или «почти параболические»[5](см. также Небесная механика), траектория полёта пушечного ядра без учёта влияния воздуха — дуга эллипса (см. также Баллистика).

См. также

Примечания

↑ Lohwater’s A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 162
↑ 1 2 Florian Cajori, A History of Mathematics, 5th edition 1991
↑ 1 2 Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — 288 с.
↑ David U. Hughes. On hyperbolic comets (англ.) // Journal of the British Astronomical Association. — 1991. — Vol. 101, no. 2. — P. 119-120.
↑ http://elibrary.ru/item.asp?id=13037018

Литература

А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Н. Бронштейн, Общие свойства конических сечений, Квант, № 5, 1975.
Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, глава I.
Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.
А. И. Маркушевич Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04
Шаль, Мишель. Об ангармоническом свойстве точек конического сечения и проч. // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. XV-XVI. М., 1883.

Ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Коническое сечение