Полярная система координат

Разделы:

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r{displaystyle r} $r$ ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ{displaystyle varphi } $varphi$ , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.[1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Содержание

1 История
2 Графическое представление
- 2.1 Связь между декартовыми и полярными координатами
3 Уравнение кривых в полярных координатах
4 Комплексные числа
5 В математическом анализе
6 Трёхмерное расширение
7 Применение
- 7.1 Позиционирование и навигация
- 7.2 Моделирование
8 См. также
9 Примечания
10 Литература
11 Ссылки

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел.[2]Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку [3]. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы [4].

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»[5]. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат[6]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком [7][8] Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему[5].

Графическое представление

Точка в полярной системе координат.

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r{displaystyle r}

$r$ (радиальная координата, встречается вариант обозначения ρ{displaystyle rho } $rho$ ) и φ{displaystyle varphi } $varphi$ (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут θ{displaystyle theta } $theta$ или t{displaystyle t} $t$ ). Координата r{displaystyle r} $r$ соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата φ{displaystyle varphi } $varphi$ равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат)[1].

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и всегда принимает неотрицательные значения r⩾0{displaystyle rgeqslant 0}

$rgeqslant 0$ . Полярный угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ определен для любой точки плоскости, за исключением полюса O{displaystyle O} $O$ , и принимает значения −π<φ⩽π{displaystyle -pi <varphi leqslant pi } $-pi <varphi leqslant pi$ . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Например, точка с координатами (3,60∘){displaystyle (3,;60^{circ })}

$(3,;60^{circ })$ будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами (3,−300∘){displaystyle (3,;-300^{circ })} $(3,;-300^{circ })$ будет нарисована на том же месте.

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка (r,φ){displaystyle (r,;varphi )}

$(r,;varphi )$ может быть представлена в виде (r,φ±n×360∘){displaystyle (r,;varphi pm ntimes 360^{circ })} $(r,;varphi pm ntimes 360^{circ })$ или (−r,φ±(2n+1)×180∘){displaystyle (-r,;varphi pm (2n+1)times 180^{circ })} $(-r,;varphi pm (2n+1)times 180^{circ })$ , где n{displaystyle n} $n$ — произвольное целое число [9].

Для обозначения полюса используют координаты (0,φ){displaystyle (0,;varphi )}

$(0,;varphi )$ . Независимо от координаты φ{displaystyle varphi } $varphi$ точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём[10]. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений r⩾0{displaystyle rgeqslant 0} $rgeqslant 0$ , а угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ к интервалу [0,360∘){displaystyle [0,;360^{circ })} $[0,;360^{circ })$ или (−180∘,180∘]{displaystyle (-180^{circ },;180^{circ }]} $(-180^{circ },;180^{circ }]$ (в радианах [0,2π){displaystyle [0,;2pi )} $[0,;2pi )$ или (−π,π]{displaystyle (-pi ,;pi ]} $(-pi ,;pi ]$ )[11].

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом 2πRAD=360∘{displaystyle 2pi ;mathrm {RAD} =360^{circ }}

$2pi ;{mathrm {RAD}}=360^{circ }$ . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики и почти во всех разделах математики используют радианы [12].

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат r{displaystyle r}

$r$ и φ{displaystyle varphi } $varphi$ можно перевести в Декартовы координаты x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса (при этом предполагается. что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью x{displaystyle x} $x$ декартовой системы):

x=rcos⁡φ,{displaystyle x=rcos varphi ,}

x=rcos varphi ,

y=rsin⁡φ,{displaystyle y=rsin varphi ,}

y=rsin varphi ,

в то время как две декартовы координаты x{displaystyle x}

$x$ и y{displaystyle y} $y$ могут быть переведены в полярную координату r{displaystyle r} $r$ :

r2=y2+x2{displaystyle r^{2}=y^{2}+x^{2}}

r^{2}=y^{2}+x^{2}

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты φ{displaystyle varphi }

$varphi$ следует принять во внимание два следующих соображения:

Для r≡0{displaystyle {requiv 0}} ${requiv 0}$ , φ{displaystyle varphi } $varphi$ может быть произвольным действительным числом.
Для r≠0{displaystyle rneq 0} $rneq 0$ , чтобы получить уникальное значение φ{displaystyle varphi } $varphi$ , следует ограничиться интервалом в 2π{displaystyle 2pi } $2pi$ . Обычно выбирают интервал [0,2π){displaystyle [0,;2pi )} $[0,;2pi )$ или (−π,π]{displaystyle (-pi ,;pi ]} $(-pi ,;pi ]$ .

Для вычисления φ{displaystyle varphi }

$varphi$ в интервале [0,2π){displaystyle [0,;2pi )} $[0,;2pi )$ , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg{displaystyle mathrm {arctg} } $mathrm{arctg}$ обозначает обратную функцию к тангенсу):

θ={arctg⁡(yx),x>0,y≥0arctg⁡(yx)+2π,x>0,y<0arctg⁡(yx)+π,x<0π2,x=0,y>03π2,x=0,y<0−x=0,y=0{displaystyle theta ={begin{cases}operatorname {arctg} ({frac {y}{x}}),&x>0,ygeq 0operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+2pi ,&x>0,y<0operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+pi ,&x<0{frac {pi }{2}},&x=0,y>0{frac {3pi }{2}},&x=0,y<0-&x=0,y=0end{cases}}}

theta = begin{cases} operatorname{arctg}(frac{y}{x}), & x > 0, y ge 0 operatorname{arctg}(frac{y}{x}) + 2pi, & x > 0, y < 0 operatorname{arctg}(frac{y}{x}) + pi, & x < 0 frac{pi}{2}, & x = 0, y > 0 frac{3pi}{2}, & x = 0, y < 0 - & x = 0, y = 0 end{cases}

Для вычисления φ{displaystyle varphi }

$varphi$ в интервале (−π,π]{displaystyle (-pi ,;pi ]} $(-pi ,;pi ]$ , можно воспользоваться такими уравнениями:[13]

θ={arctg⁡(yx),x>0arctg⁡(yx)+π,x<0,y≥0arctg⁡(yx)−π,x<0,y<0π2,x=0,y>0−π2,x=0,y<0−x=0,y=0{displaystyle theta ={begin{cases}operatorname {arctg} ({frac {y}{x}}),&x>0operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})+pi ,&x<0,ygeq 0operatorname {arctg} ({frac {y}{x}})-pi ,&x<0,y<0{frac {pi }{2}},&x=0,y>0-{frac {pi }{2}},&x=0,y<0-&x=0,y=0end{cases}}}

theta = begin{cases} operatorname{arctg}(frac{y}{x}), & x > 0 operatorname{arctg}(frac{y}{x}) + pi, & x < 0 , y ge 0 operatorname{arctg}(frac{y}{x}) - pi, & x < 0, y < 0 frac{pi}{2}, & x = 0, y > 0 -frac{pi}{2}, & x = 0, y < 0 - & x = 0, y = 0 end{cases}

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение y{displaystyle y}

$y$ к x{displaystyle x} $x$ , а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x{displaystyle x} $x$ .

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Круг, заданный уравнением r(φ)=1{displaystyle scriptstyle {r(varphi )=1}} $scriptstyle {r(varphi )=1}$ .

Общее уравнение окружности с центром в (r0,θ{displaystyle r_{0},;theta }

$r_{0},;theta$ ) и радиусом a{displaystyle a} $a$ имеет вид:

r2−2rr0cos⁡(φ−θ)+r02=a2.{displaystyle r^{2}-2rr_{0}cos(varphi -theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.}

r^{2}-2rr_{0}cos(varphi -theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

r(φ)=a{displaystyle r(varphi )=a}

r(varphi )=a

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a{displaystyle a}

$a$ .[14]

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

φ=θ,{displaystyle varphi =theta ,}

varphi =theta ,

где θ{displaystyle theta }

$theta$ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, θ=arctgm{displaystyle theta =mathrm {arctg} ,m} $theta ={mathrm {arctg}},m$ где m{displaystyle m} $m$ — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую φ=θ{displaystyle varphi =theta } $varphi =theta$ в точке (r0,θ){displaystyle (r_{0},;theta )} $(r_{0},;theta )$ определяется уравнением

r(φ)=r0sec⁡(φ−θ).{displaystyle r(varphi )=r_{0}sec(varphi -theta ).}

r(varphi )=r_{0}sec(varphi -theta ).

Полярная роза

Полярная роза задана уравнением r(φ)=2sin⁡4φ{displaystyle scriptstyle {r(varphi )=2sin 4varphi }} $scriptstyle {r(varphi )=2sin 4varphi }$ .

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

r(φ)=acos⁡(kφ+θ0){displaystyle r(varphi )=acos(kvarphi +theta _{0})}

r(varphi )=acos(kvarphi +theta _{0})

для произвольной постоянной θ0{displaystyle theta _{0}}

$theta _{0}$ (включая 0). Если k{displaystyle k} $k$ — целое число, то это уравнение будет определять розу с k{displaystyle k} $k$ лепестками для нечётных k{displaystyle k} $k$ , либо с 2k{displaystyle 2k} $2k$ лепестками для чётных k{displaystyle k} $k$ . Если k{displaystyle k} $k$ — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если k{displaystyle k} $k$ — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a{displaystyle a} $a$ определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k{displaystyle k}

$k$ мы будем иметь k{displaystyle k} $k$ -лепестковую розу. Таким образом, уравнение r(φ)=cos⁡(2φ){displaystyle r(varphi )=cos(2varphi )} $r(varphi )=cos(2varphi )$ будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением r(φ)=φ{displaystyle scriptstyle {r(varphi )=varphi }} $scriptstyle {r(varphi )=varphi }$ для 0<θ<6π{displaystyle scriptstyle {0<theta <6pi }} $scriptstyle {0<theta <6pi }$ .

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

r(φ)=a+bφ.{displaystyle r(varphi )=a+bvarphi .}

r(varphi )=a+bvarphi .

Изменения параметра a{displaystyle a}

$a$ приводят к повороту спирали, а параметра b{displaystyle b} $b$ — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для φ>0{displaystyle varphi >0} $varphi >0$ а другую для φ<0{displaystyle varphi <0} $varphi <0$ . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Конические сечения

Эллипс.

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

r=ℓ1−ecos⁡φ,{displaystyle r={frac {ell }{1-ecos varphi }},}

r={frac {ell }{1-ecos varphi }},

где e{displaystyle e}

$e$ — эксцентриситет, а ℓ{displaystyle ell } $ell$ — фокальный параметр. Если e>1{displaystyle e>1} $e>1$ , это уравнение определяет гиперболу; если e=1{displaystyle e=1} $e=1$ , то параболу; если e<1{displaystyle e<1} $e<1$ , то эллипс. Отдельным случаем является e=0{displaystyle e=0} $e=0$ , определяющее окружность с радиусом ℓ{displaystyle ell } $ell$ .

Комплексные числа

Пример комплексного числа z{displaystyle scriptstyle {z}} $scriptstyle {z}$ , нанесённого на комплексную плоскость. Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием формулы Эйлера.

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z{displaystyle z}

$z$ может быть записано в прямоугольной форме так:

z=x+iy,{displaystyle z=x+iy,}

z=x+iy,

где i{displaystyle i}

$i$ — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):

z=r⋅(cos⁡φ+isin⁡φ){displaystyle z=rcdot (cos varphi +isin varphi )}

z=rcdot (cos varphi +isin varphi )

и отсюда:

z=reiφ,{displaystyle z=re^{ivarphi },}

z=re^{{ivarphi }},

где e{displaystyle e}

$e$ — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны[15] (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ задан в радианах)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

Умножение:

r0eiφ0⋅r1eiφ1=r0r1ei(φ0+φ1).{displaystyle r_{0}e^{ivarphi _{0}}cdot r_{1}e^{ivarphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(varphi _{0}+varphi _{1})}.}

r_{0}e^{{ivarphi _{0}}}cdot r_{1}e^{{ivarphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i(varphi _{0}+varphi _{1})}}.

Деление:

r0eiφ0r1eiφ1=r0r1ei(φ0−φ1).{displaystyle {frac {r_{0}e^{ivarphi _{0}}}{r_{1}e^{ivarphi _{1}}}}={frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(varphi _{0}-varphi _{1})}.}

{frac {r_{0}e^{{ivarphi _{0}}}}{r_{1}e^{{ivarphi _{1}}}}}={frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{{i(varphi _{0}-varphi _{1})}}.

Возведение в степень (формула Муавра):

(reiφ)n=rneinφ.{displaystyle (re^{ivarphi })^{n}=r^{n}e^{invarphi }.}

(re^{{ivarphi }})^{n}=r^{n}e^{{invarphi }}.

В математическом анализе

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты[16][17].

Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

r∂∂r=x∂∂x+y∂∂y,{displaystyle r{frac {partial }{partial r}}=x{frac {partial }{partial x}}+y{frac {partial }{partial y}},}

r{frac {partial }{partial r}}=x{frac {partial }{partial x}}+y{frac {partial }{partial y}},

∂∂φ=−y∂∂x+x∂∂y.{displaystyle {frac {partial }{partial varphi }}=-y{frac {partial }{partial x}}+x{frac {partial }{partial y}}.}

{frac {partial }{partial varphi }}=-y{frac {partial }{partial x}}+x{frac {partial }{partial y}}.

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой r(φ){displaystyle r(varphi )}

$r(varphi )$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

x=r(φ)cos⁡φ,{displaystyle x=r(varphi )cos varphi ,}

x=r(varphi )cos varphi ,

y=r(φ)sin⁡φ.{displaystyle y=r(varphi )sin varphi .}

y=r(varphi )sin varphi .

Дифференцируя оба уравнения по φ{displaystyle varphi }

$varphi$ получим:

dxdφ=r′(φ)cos⁡φ−r(φ)sin⁡φ,{displaystyle {frac {dx}{dvarphi }}=r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi ,}

{frac {dx}{dvarphi }}=r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi ,

dydφ=r′(φ)sin⁡φ+r(φ)cos⁡φ.{displaystyle {frac {dy}{dvarphi }}=r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi .}

{frac {dy}{dvarphi }}=r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi .

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке (r,r(φ)){displaystyle (r,;r(varphi ))}

$(r,;r(varphi ))$ :

dydx=r′(φ)sin⁡φ+r(φ)cos⁡φr′(φ)cos⁡φ−r(φ)sin⁡φ.{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi }{r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi }}.}

{frac {dy}{dx}}={frac {r'(varphi )sin varphi +r(varphi )cos varphi }{r'(varphi )cos varphi -r(varphi )sin varphi }}.

Интегральное исчисление

Область R{displaystyle scriptstyle {R}} $scriptstyle {R}$ , которая образована полярной кривой r(φ){displaystyle scriptstyle {r(varphi )}} $scriptstyle {r(varphi )}$ и лучами φ=a{displaystyle scriptstyle {varphi =a}} $scriptstyle {varphi =a}$ и φ=b{displaystyle scriptstyle {varphi =b}} $scriptstyle {varphi =b}$ .

Пусть R{displaystyle R}

$R$ — область, которую образуют полярная кривая r(φ){displaystyle r(varphi )} $r(varphi )$ и лучи φ=a{displaystyle varphi =a} $varphi =a$ и φ=b{displaystyle varphi =b} $varphi =b$ , где 0<b−a<2π{displaystyle 0<b-a<2pi } $0<b-a<2pi$ . Тогда площадь этой области находится определённым интегралом:

12∫ab[r(φ)]2dφ.{displaystyle {frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .}

{frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .

Область R{displaystyle scriptstyle {R}} $scriptstyle {R}$ образована из n{displaystyle n} $n$ секторов (тут n=5{displaystyle scriptstyle {n=5}} $scriptstyle {n=5}$ ).

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал [a,b]{displaystyle [a,;b]}

$[a,;b]$ на произвольное число подынтервалов n{displaystyle n} $n$ . Таким образом, длина такого подынтервала Δφ{displaystyle Delta varphi } $Delta varphi$ равна b−a{displaystyle b-a} $b-a$ (полная длина интервала), разделённая на n{displaystyle n} $n$ (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала i=1,2,…,n{displaystyle i=1,;2,;ldots ,;n} $i=1,;2,;ldots ,;n$ φi{displaystyle varphi _{i}} $varphi _{i}$ — средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами r(φi){displaystyle r(varphi _{i})} $r(varphi _{i})$ , центральными углами Δφ{displaystyle Delta varphi } $Delta varphi$ и длиной дуги r(φi)Δφ{displaystyle r(varphi _{i})Delta varphi } ${displaystyle r(varphi _{i})Delta varphi }$ . Поэтому площадь каждого такого сектора будет 12r(φi)2Δφ{displaystyle {frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2}Delta varphi } ${frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2}Delta varphi$ . Отсюда, полная площадь всех секторов:

∑i=1n12r(φi)2Δφ.{displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi .}

sum _{{i=1}}^{n}{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi .

Если число подынтервалов n{displaystyle n}

$n$ увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив n→∞{displaystyle nto infty } $nto infty$ , полученная сумма станет интегральной. Предел этой суммы при Δφ→0{displaystyle Delta varphi to 0} $Delta varphi to 0$ определяет вышеописанный интеграл:

limΔφ→0∑i=1∞12r(φi)2Δφ=12∫ab[r(φ)]2dφ.{displaystyle lim _{Delta varphi to 0}sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi ={frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .}

lim _{{Delta varphi to 0}}sum _{{i=1}}^{infty }{frac {1}{2}}r(varphi _{i})^{2},Delta varphi ={frac {1}{2}}int limits _{a}^{b}[r(varphi )]^{2},dvarphi .

Обобщение

Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как dA=dxdy{displaystyle dA=dx,dy}

$dA=dx,dy$ . При переходе к другой системе координат в многократных интегралах необходимо использовать определитель Якоби:

J=det∂(x,y)∂(r,φ)=|∂x∂r∂x∂φ∂y∂r∂y∂φ|.{displaystyle J=det {frac {partial (x,;y)}{partial (r,;varphi )}}={begin{vmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{vmatrix}}.}

J=det {frac {partial (x,;y)}{partial (r,;varphi )}}={begin{vmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{vmatrix}}.

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен r{displaystyle r}

$r$ :

J=|cos⁡φ−rsin⁡φsin⁡φrcos⁡φ|=rcos2⁡φ+rsin2⁡φ=r.{displaystyle J={begin{vmatrix}cos varphi &-rsin varphi sin varphi &rcos varphi end{vmatrix}}=rcos ^{2}varphi +rsin ^{2}varphi =r.}

J={begin{vmatrix}cos varphi &-rsin varphi sin varphi &rcos varphi end{vmatrix}}=rcos ^{2}varphi +rsin ^{2}varphi =r.

Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:

dA=Jdrdφ=rdrdφ.{displaystyle dA=J,dr,dvarphi =r,dr,dvarphi .}

dA=J,dr,dvarphi =r,dr,dvarphi .

Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

∬Rf(r,φ)dA=∫ab∫0r(φ)f(r,φ)rdrdφ.{displaystyle iint limits _{R}f(r,;varphi ),dA=int limits _{a}^{b}int limits _{0}^{r(varphi )}f(r,;varphi ),r,dr,dvarphi .}

iint limits _{R}f(r,;varphi ),dA=int limits _{a}^{b}int limits _{0}^{{r(varphi )}}f(r,;varphi ),r,dr,dvarphi .

Здесь область R{displaystyle R}

$R$ , как и в предыдущем разделе, такая, которую образуют полярная кривая r(φ){displaystyle r(varphi )} $r(varphi )$ и лучи φ=a{displaystyle varphi =a} $varphi =a$ и φ=b{displaystyle varphi =b} $varphi =b$ .

Формула для вычисления площади, описанная в предыдущем разделе, получена в случае f=1{displaystyle f=1}

$f=1$ . Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов является Интеграл Эйлера — Пуассона:

∫−∞∞e−x2dx=π.{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }}.}

int limits _{{-infty }}^{infty }e^{{-x^{2}}},dx={sqrt pi }.

Векторный анализ

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле F{displaystyle mathbf {F} }

$mathbf {F}$ можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

er=(cos⁡φ,sin⁡φ){displaystyle mathbf {e} _{r}=(cos varphi ,;sin varphi )}

{mathbf {e}}_{r}=(cos varphi ,;sin varphi )

в направлении r{displaystyle mathbf {r} }

$mathbf {r}$ , и

eφ=(−sin⁡φ,cos⁡φ);{displaystyle mathbf {e} _{varphi }=(-sin varphi ,;cos varphi );}

{mathbf {e}}_{varphi }=(-sin varphi ,;cos varphi );

F=Frer+Fφeφ.{displaystyle mathbf {F} =F_{r}mathbf {e} _{r}+F_{varphi }mathbf {e} _{varphi }.}

{mathbf {F}}=F_{r}{mathbf {e}}_{r}+F_{varphi }{mathbf {e}}_{varphi }.

Связь между декартовыми компонентами поля Fx{displaystyle F_{x}}

$F_{x}$ и Fy{displaystyle F_{y}} $F_{y}$ и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

Fx=Frcos⁡φ−Fφsin⁡φ;{displaystyle F_{x}=F_{r}cos varphi -F_{varphi }sin varphi ;}

F_{x}=F_{r}cos varphi -F_{varphi }sin varphi ;

Fy=Frsin⁡φ+Fφcos⁡φ.{displaystyle F_{y}=F_{r}sin varphi +F_{varphi }cos varphi .}

F_{y}=F_{r}sin varphi +F_{varphi }cos varphi .

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля Φ(r,φ){displaystyle Phi (r,;varphi )}

$Phi (r,;varphi )$ записывается:

gradΦ=∂Φ∂rer+1r∂Φ∂φeφ.{displaystyle mathrm {grad} ,Phi ={frac {partial Phi }{partial r}}mathbf {e} _{r}+{frac {1}{r}}{frac {partial Phi }{partial varphi }}mathbf {e} _{varphi }.}

{mathrm {grad}},Phi ={frac {partial Phi }{partial r}}{mathbf {e}}_{r}+{frac {1}{r}}{frac {partial Phi }{partial varphi }}{mathbf {e}}_{varphi }.

Трёхмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты

Точка P{displaystyle scriptstyle {P}} $scriptstyle {P}$ начертана в цилиндрической системе координат.Основная статья: Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как z{displaystyle z}

$z$ , образуя тройку координат (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,;varphi ,;z)} $(rho ,;varphi ,;z)$ .

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

{x=ρcos⁡φ;y=ρsin⁡φ;z=z.{displaystyle {begin{cases}x=rho cos varphi ;y=rho sin varphi ;z=z.end{cases}}}

{begin{cases}x=rho cos varphi ;y=rho sin varphi ;z=z.end{cases}}

Сферические координаты

Точка начертана в сферической системе координат.Основная статья: Сферическая система координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты θ{displaystyle theta }

$theta$ , равным углу поворота от вертикальной оси z{displaystyle z} $z$ (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка (r,φ,θ){displaystyle (r,;varphi ,;theta )} $(r,;varphi,;theta)$ , где r{displaystyle r} $r$ — расстояние от центра координат, φ{displaystyle varphi } $varphi$ — угол от оси x{displaystyle x} $x$ (как и в плоских полярных координатах), θ{displaystyle theta } $theta$ — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта δ{displaystyle delta } $delta$ является дополнением θ{displaystyle theta } $theta$ и равна δ=90∘−θ{displaystyle delta =90^{circ }-theta } $delta =90^{circ }-theta$ , а долгота l{displaystyle l} $l$ вычисляется по формуле l=φ−180∘{displaystyle l=varphi -180^{circ }} $l=varphi -180^{circ }$ [18].

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

{x=rsin⁡θcos⁡φ;y=rsin⁡θsin⁡φ;z=rcos⁡θ.{displaystyle {begin{cases}x=rsin theta cos varphi ;y=rsin theta sin varphi ;z=rcos theta .end{cases}}}

{begin{cases}x=rsin theta cos varphi ;y=rsin theta sin varphi ;z=rcos theta .end{cases}}

Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай n{displaystyle n}

$n$ -мерного пространства. Пусть xi∈R{displaystyle x_{i}in mathbb {R} } $x_{i}in {mathbb {R}}$ , i=1,…,n{displaystyle i=1,;ldots ,;n} $i=1,;ldots ,;n$ — координатные векторы n{displaystyle n} $n$ -мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в n{displaystyle n} $n$ -мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора x∈Rn{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}} $xin {mathbb {R}}^{n}$ от координатной оси xi+2{displaystyle x_{i+2}} $x_{{i+2}}$ .

Для перевода обобщённых n{displaystyle n}

$n$ -мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

x1=rcos⁡φsin⁡ϑ1sin⁡ϑ2…sin⁡ϑn−3sin⁡ϑn−2;x2=rsin⁡φsin⁡ϑ1sin⁡ϑ2…sin⁡ϑn−3sin⁡ϑn−2;x3=rcos⁡ϑ1sin⁡ϑ2…sin⁡ϑn−3sin⁡ϑn−2;x4=rcos⁡ϑ2…sin⁡ϑn−3sin⁡ϑn−2;………xn−1=rcos⁡ϑn−3sin⁡ϑn−2;xn=rcos⁡ϑn−2.{displaystyle {begin{array}{lcr}x_{1}&=&rcos varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{n-3}sin vartheta _{n-2};x_{2}&=&rsin varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{n-3}sin vartheta _{n-2};x_{3}&=&rcos vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{n-3}sin vartheta _{n-2};x_{4}&=&rcos vartheta _{2}ldots sin vartheta _{n-3}sin vartheta _{n-2};ldots &ldots &ldots qquad qquad qquad x_{n-1}&=&rcos vartheta _{n-3}sin vartheta _{n-2};x_{n}&=&rcos vartheta _{n-2}.end{array}}}

{begin{array}{lcr}x_{1}&=&rcos varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};x_{2}&=&rsin varphi sin vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};x_{3}&=&rcos vartheta _{1}sin vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};x_{4}&=&rcos vartheta _{2}ldots sin vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};ldots &ldots &ldots qquad qquad qquad x_{{n-1}}&=&rcos vartheta _{{n-3}}sin vartheta _{{n-2}};x_{n}&=&rcos vartheta _{{n-2}}.end{array}}

Как можно показать, случай n=2{displaystyle n=2}

$n=2$ соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а n=3{displaystyle n=3} $n=3$ — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

det∂(x1,…,xn)∂(r,φ,ϑ1,…,ϑn−2)=rn−1sin⁡ϑ1(sin⁡ϑ2)2…(sin⁡ϑn−2)n−2,{displaystyle det {frac {partial (x_{1},;ldots ,;x_{n})}{partial (r,;varphi ,;vartheta _{1},;ldots ,;vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{n-2})^{n-2},}

det {frac {partial (x_{1},;ldots ,;x_{n})}{partial (r,;varphi ,;vartheta _{1},;ldots ,;vartheta _{{n-2}})}}=r^{{n-1}}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{{n-2}})^{{n-2}},

где n{displaystyle n}

$n$ -мерный элемент объёма имеет вид:

dV=rn−1sin⁡ϑ1(sin⁡ϑ2)2…(sin⁡ϑn−2)n−2drdφdϑ1…dϑn−2={displaystyle dV=r^{n-1}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{n-2})^{n-2},dr,dvarphi ,dvartheta _{1}ldots dvartheta _{n-2}=}

dV=r^{{n-1}}sin vartheta _{1}(sin vartheta _{2})^{2}ldots (sin vartheta _{{n-2}})^{{n-2}},dr,dvarphi ,dvartheta _{1}ldots dvartheta _{{n-2}}=

=rn−1drdφ∏j=1n−2(sin⁡ϑj)jdϑj.{displaystyle =r^{n-1},dr,dvarphi prod limits _{j=1}^{n-2}(sin vartheta _{j})^{j},dvartheta _{j}.}

=r^{{n-1}},dr,dvarphi prod limits _{{j=1}}^{{n-2}}(sin vartheta _{j})^{j},dvartheta _{j}.

Применение

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

Позиционирование и навигация

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу[19]. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро)[20].

Моделирование

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности Mα{displaystyle M_{alpha }}

$M_{alpha }$ при падении звуковой волны под углом α{displaystyle alpha } $alpha$ относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности:

φ=MαM0.{displaystyle varphi ={frac {M_{alpha }}{M_{0}}}.}

varphi ={frac {M_{alpha }}{M_{0}}}.

См. также

Примечания

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. — Evanston, Illinois : McDougal Littell, 1997. — ISBN 0-395-77114-5.
↑ Friendly, Michael Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано из оригинала 26 апреля 2001 года.
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine, Elsevier, с. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128—184 [153], Routledge, London and New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian (1952). “The Origin of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. 59: 78—85. DOI:10.2307/2307104.
↑ Boyer, C. B. (1949). “Newton as an Originator of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. 56: 73—78. DOI:10.2307/2306162.
↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Smith, David Eugene. History of Mathematics, Vol II. — Boston : Ginn and Co., 1925. — P. 324.
↑ Polar Coordinates and Graphing (неопр.) (PDF) (13 апреля 2006). Дата обращения: 22 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Lee, Theodore. Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry. — Fourth Edition. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305.
↑ Stewart, Ian. Complex Analysis (the Hitchhiker’s Guide to the Plane). — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0521287634.
↑ Serway, Raymond A. Principles of Physics. — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X.
↑ Torrence, Bruce Follett. The Student’s Introduction to Mathematica®. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 0521594618.
↑ Claeys, Johan Polar coordinates (неопр.). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Smith, Julius O. Euler’s Identity // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). — W3K Publishing, 2003. — ISBN 0-9745607-0-7.
↑ Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves (неопр.). Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs (неопр.). Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Wattenberg, Frank Spherical Coordinates (неопр.) (1997). Дата обращения: 16 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (неопр.). Дата обращения: 26 ноября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
↑ Emergency Procedures (неопр.) (PDF). Дата обращения: 15 января 2007. Архивировано 15 февраля 2012 года.

Литература

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. (недоступная ссылка) Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.

Ссылки

Программы для рисования графиков в каталоге ссылок Curlie (dmoz)