Прямое произведение

• Разделы:
  • Прямое произведение отображений
  • Воздействие на математические структуры
  • Вариации и обобщения
  • См. также

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Содержание

• 1 Прямое произведение в теории множеств
  • 1.1 Произведение двух множеств
  • 1.2 Комментарии
  • 1.3 Декартова степень
  • 1.4 Прямое произведение семейства множеств
• 2 Прямое произведение отображений
• 3 Воздействие на математические структуры
  • 3.1 Прямое произведение групп
  • 3.2 Прямое произведение других алгебраических структур
  • 3.3 Прямое произведение топологических пространств
  • 3.4 Прямое произведение графов
• 4 Вариации и обобщения
• 5 См. также

Прямое произведение в теории множеств

Произведение двух множеств

Пусть даны два множества X{displaystyle X}

  и Y{displaystyle Y} . Прямое произведение множества X{displaystyle X}  и множества Y{displaystyle Y}  есть такое множество X×Y{displaystyle Xtimes Y} , элементами которого являются упорядоченные пары (x,y){displaystyle (x,y)}  для всевозможных x∈X{displaystyle xin X}  и y∈Y{displaystyle yin Y} .

Отображения произведения множеств в его множители — φ:X×Y→X,φ(x,y)=x{displaystyle varphi colon Xtimes Yto X,;varphi (x,y)=x}

  и ψ:X×Y→Y,ψ(x,y)=y{displaystyle psi colon Xtimes Yto Y,;psi (x,y)=y}  — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Комментарии

Строго говоря, тождество ассоциативности A×(B×C)=(A×B)×C{displaystyle Atimes (Btimes C)=(Atimes B)times C}

  не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами A×(B×C){displaystyle Atimes (Btimes C)}  и (A×B)×C{displaystyle (Atimes B)times C}  этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень

n{displaystyle n}

 -я Декартова степень множества X{displaystyle X}  определяется для целых неотрицательных n{displaystyle n} , как n{displaystyle n} -кратное Декартово произведение X{displaystyle X}  на себя:

X×X×…×X⏟.n{displaystyle {begin{matrix}underbrace {Xtimes Xtimes ldots times X} .nend{matrix}}} 

Обычно обозначается как Xn{displaystyle X^{n}}

  или X×n{displaystyle X^{times n}} .

При положительных n{displaystyle n}

  Декартова степень Xn{displaystyle X^{n}}  состоит из всех упорядоченных наборов элементов из X{displaystyle X}  длины n{displaystyle n} . Так вещественное пространство R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}  (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3-я степень множества вещественных чисел R.{displaystyle mathbb {R} .} 

При n=0{displaystyle n=0}

 , Декартова степень X0,{displaystyle X^{0},}  по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) {Xi}i∈I{displaystyle {X_{i}}_{iin I}}

  (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение X=∏i∈IXi{displaystyle X=prod _{iin I}X_{i}}  определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу i∈I{displaystyle iin I}  элемент множества Xi{displaystyle X_{i}} :

∏i∈IXi={f:I→⋃i∈IXi∣f(i)∈Xi,i∈I}.{displaystyle prod _{iin I}X_{i}={fcolon Ito bigcup limits _{iin I}X_{i}mid f(i)in X_{i},iin I}.} 

Отображения πi:X→Xi:f↦f(i){displaystyle pi _{i}colon Xto X_{i}colon fmapsto f(i)}

  называются проекциями.

В частности, для конечного семейства множеств {A1,…,An}{displaystyle {A_{1},dots ,A_{n}}}

  любая функция f:{1,…,n}→⋃i=1nAi{displaystyle f:{1,dots ,n}to bigcup limits _{i=1}^{n}A_{i}}  с условием f(i)∈Ai{displaystyle f(i)in A_{i}}  эквивалентна некоторому кортежу длины n{displaystyle n} , составленному из элементов множеств {Ai}i=1n{displaystyle {A_{i}}_{i=1}^{n}} , так, что на i{displaystyle i} -ом месте кортежа стоит элемент множества Ai{displaystyle A_{i}} . Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств {Ai}i=1n{displaystyle {A_{i}}_{i=1}^{n}}  может быть записано так:

A1×⋯×An={(a1,…,an)∣ai∈Ai,i∈{1,…,n}}.{displaystyle A_{1}times dots times A_{n}={(a_{1},dots ,a_{n})mid a_{i}in A_{i},iin {1,dots ,n}}.} 

Проекции определяются следующим образом: πi:(a1,…an)↦ai{displaystyle pi _{i}colon (a_{1},dots a_{n})mapsto a_{i}}

Прямое произведение отображений

Пусть f{displaystyle f}

  — отображение из A{displaystyle A}  в B{displaystyle B} , а g{displaystyle g}  — отображение из X{displaystyle X}  в Y{displaystyle Y} . Их прямым произведением f×g{displaystyle ftimes g}  называется отображение из A×X{displaystyle Atimes X}  в B×Y{displaystyle Btimes Y} : (f×g)(a,x)=(f(a),g(x)){displaystyle (ftimes g)(a,;x)=(f(a),;g(x))} .

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры

Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп (G,∗){displaystyle (G,*)}

  и (H,∘){displaystyle (H,circ )}  — это группа из всех пар элементов (g,h){displaystyle (g,h)}  с операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)×(g2,h2)=(g1∗g2,h1∘h2){displaystyle (g_{1},h_{1})times (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}circ h_{2})} . Эта группа обозначается как G×H{displaystyle Gtimes H} . Ассоциативность операции умножения в группе G×H{displaystyle Gtimes H}  следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители G{displaystyle G}  и H{displaystyle H}  изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, {(g,1H)∣g∈G}{displaystyle {(g,1_{H})mid gin G}}  и {(1G,h)∣h∈H}{displaystyle {(1_{G},h)mid hin H}}  соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1G,1H){displaystyle (1_{G},1_{H})} , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, ∏i∈I¯Gi={f:I→⋃i∈IGi}{displaystyle {overline {prod _{iin I}}}G_{i}={fcolon Ito bigcup _{iin I}G_{i}}}

 , где f(i)∈Gi{displaystyle f(i)in G_{i}}  и (f1×f2)(i)=f1(i)∗f2(i){displaystyle (f_{1}times f_{2})(i)=f_{1}(i)*f_{2}(i)} . (Операция в правой части — это операция группы Gi{displaystyle G_{i}} .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: (1i),i∈I{displaystyle (1_{i}),;iin I} . Например, для счётного числа групп: ∏i∈N¯Z2=(2N,xor){displaystyle {overline {prod _{iin mathbb {N} }}}mathbb {Z} _{2}=(2^{mathbb {N} },;operatorname {xor} )} , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех f{displaystyle f}

 , носитель которых (то есть множество supp(f)={i∈I∣f(i)≠1i}{displaystyle mathrm {supp} ,(f)={iin Imid f(i)neq 1_{i}}} ) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств ∏i∈NZ2 = (N,xor){displaystyle prod _{iin mathbb {N} }mathbb {Z} _{2} = (mathbb {N} ,;operatorname {xor} )}  содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1i{displaystyle 1_{i}}

  (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий R{displaystyle mathbb {R} }  суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (т. н. финитных последовательностей).

Прямое произведение топологических пространств

Основная статья: Произведение топологических пространств

Пусть X{displaystyle X}

  и Y{displaystyle Y}  — два топологических пространства. Топология произведения X×Y{displaystyle Xtimes Y}  задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений U×V{displaystyle Utimes V} , где U{displaystyle U}  — открытое подмножество X{displaystyle X}  и V{displaystyle V}  — открытое подмножество Y{displaystyle Y} .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств.Для бесконечного произведения X=ΠXi{displaystyle X=Pi X_{i}}

  определение усложняется. Определим открытый цилиндр Cyl(i,U)={x∈X∣xi∈U}{displaystyle Cyl(i,;U)={xin Xmid x_{i}in U}} , где i∈I{displaystyle iin I}  и U{displaystyle U}  — открытое подмножество Xi{displaystyle X_{i}} .

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество I{displaystyle I}

  имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов

Множество вершин прямого произведения двух графов G{displaystyle G}

  и H{displaystyle H}  задаётся как произведение вершин графов сомножителей.Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

• (g,h)(g′,h){displaystyle (g,;h)(g’,;h)} , где g{displaystyle g}  и g′{displaystyle g’}  — соединённые ребром вершины графа G{displaystyle G} , а h{displaystyle h}  — произвольная вершина графа H{displaystyle H} ;
• (g,h)(g,h′){displaystyle (g,;h)(g,;h’)} , где g{displaystyle g}  — произвольная вершина графа G{displaystyle G} , а h{displaystyle h}  и h′{displaystyle h’}  — соединённые ребром вершины графа H{displaystyle H} .

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов A{displaystyle A}

  и B{displaystyle B}  — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на A{displaystyle A}  и B{displaystyle B} . Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

См. также

• Дизъюнктное объединение
• Полупрямое произведение
• Прямая сумма
• Тензорное произведение
• Декартовы координаты
• Операции над множествами
• Комбинаторика