Псевдоскалярное произведение

Разделы:
- См. также

Псевдоскалярное или косое произведение векторов a{displaystyle a} $a$ и b{displaystyle b} $b$ на плоскости называют число

a∨b=|a|⋅|b|sin⁡∠(a,b),{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |sin angle (mathbf {a} ,mathbf {b} ),}

{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |sin angle (mathbf {a} ,mathbf {b} ),}

где ∠(a,b){displaystyle angle (a,b)} ${displaystyle angle (a,b)}$ — угол вращения (против часовой стрелки) от a{displaystyle a} $a$ к b{displaystyle b} $b$ . Если хотя бы один из векторов a{displaystyle a} $a$ и b{displaystyle b} $b$ нулевой, то полагают a∨b=0{displaystyle avee b=0} ${displaystyle avee b=0}$ .

Записывается с помощью тензора Леви-Чивиты εij{displaystyle varepsilon _{ij}} $varepsilon_{ij}$ через координаты векторов так:

a∨b=∑i,j=12εijaibj{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =sum _{i,j=1}^{2}varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}}

{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =sum _{i,j=1}^{2}varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}}

Содержание

Свойства

a∨b=−b∨a{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =-mathbf {b} vee mathbf {a} } ${displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =-mathbf {b} vee mathbf {a} }$ .
a∨b{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} } ${displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} }$ является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
Псевдоскалярное произведение a∨b{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} } — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы a и b.
- Абсолютная величина псевдоскалярного произведения |a∨b|{displaystyle |mathbf {a} vee mathbf {b} |} ${displaystyle |mathbf {a} vee mathbf {b} |}$ — это площадь такого параллелограмма.
- Ориентированная площадь треугольника △ABC{displaystyle triangle ABC} $triangle ABC$ выражается формулой
  
  S(A,B,C)=12(AB→∨AC→),{displaystyle S(A,B,C)={frac {1}{2}}({overrightarrow {AB}}vee {overrightarrow {AC}}),} ${displaystyle S(A,B,C)={frac {1}{2}}({overrightarrow {AB}}vee {overrightarrow {AC}}),}$
а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
Если рассмотривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
a∨b=±(a×b)⋅n,{displaystyle avee b=pm (mathbf {a} times mathbf {b} )cdot mathbf {n} ,} ${displaystyle avee b=pm (mathbf {a} times mathbf {b} )cdot mathbf {n} ,}$
где «×{displaystyle times } $times$ » и « ⋅{displaystyle cdot } ${displaystyle cdot }$ » соответственно — векторное и скалярное произведение, а n — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором n образует также правый базис; в противном случае минус.
a∨b=0{displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =mathbf {0} } ${displaystyle mathbf {a} vee mathbf {b} =mathbf {0} }$ — необходимое и достаточное условие параллельности (или антипараллельности) векторов на плоскости.

Свойства

См. также