Бинарная операция

Разделы:

Бинарная операция — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Типы бинарных операций
4 Примеры
5 Записи
- 5.1 Мультипликативная запись
- 5.2 Аддитивная запись
6 Обратная операция
7 См. также
8 Литература

Определение

Пусть A,B,C{displaystyle A,;B,;C}

$A,;B,;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,B{displaystyle A,;B} $A,;B$ со значениями в C{displaystyle C} $C$ называется отображение P→C{displaystyle Pto C} $Pto C$ , где P⊂A×B{displaystyle Psubset Atimes B} $Psubset Atimes B$

Если A=B=C{displaystyle A=B=C}

$A=B=C$ , то действие называется внутренним, если A=C{displaystyle A=C} $A=C$ или B=C{displaystyle B=C} $B=C$ — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ∘{displaystyle circ }

$circ$ результат её применения к двум элементам x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ записывается в виде x∘y{displaystyle xcirc y} $xcirc y$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

префиксная (польская запись) — ∘xy{displaystyle circ ,x;y} $circ ,x;y$ ;
постфиксная (обратная польская запись) — xy∘{displaystyle x;y,circ } $x;y,circ$ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция ∘{displaystyle circ }

$circ$ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x∘y=y∘x,∀x,y∈M.{displaystyle xcirc y=ycirc x,quad forall x,;yin M.}

xcirc y=ycirc x,quad forall x,;yin M.

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция ∘{displaystyle circ }

$circ$ называется ассоциативной, если

(x∘y)∘z=x∘(y∘z),∀x,y,z∈M.{displaystyle (xcirc y)circ z=xcirc (ycirc z),quad forall x,;y,;zin M.}

(xcirc y)circ z=xcirc (ycirc z),quad forall x,;y,;zin M.

Для ассоциативной операции ∘{displaystyle circ }

$circ$ результат вычисления x1∘x2∘…∘xn{displaystyle x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}} $x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x1∘x2∘…∘xn{displaystyle x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}} $x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}$ при n>2{displaystyle n>2} $n>2$ однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция ∘{displaystyle circ }

$circ$ называется альтернати́вной если

(x∘x)∘y=x∘(x∘y){displaystyle (xcirc x)circ y=xcirc (xcirc y)}

(xcirc x)circ y=xcirc (xcirc y)

и y∘(x∘x)=(y∘x)∘x,∀x,y∈M{displaystyle ycirc (xcirc x)=(ycirc x)circ x,quad forall x,;yin M}

ycirc (xcirc x)=(ycirc x)circ x,quad forall x,;yin M

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на M{displaystyle M}

$M$ называют умноже́нием, то её результат для элементов x,y∈M{displaystyle x,;yin M} $x,;yin M$ называют их произведе́нием и обозначают x⋅y{displaystyle xcdot y} $xcdot y$ или xy{displaystyle xy} $xy$ . В этом случае нейтральный элемент e∈M{displaystyle ein M} $ein M$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x⋅e=e⋅x=x,∀x∈M,{displaystyle xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M,}

xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,y∈M{displaystyle x,;yin M}

$x,;yin M$ называют су́ммой и обозначают x+y{displaystyle x+y} $x+y$ . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0=0+x=x,∀x∈M.{displaystyle x+0=0+x=x,quad forall xin M.}

x+0=0+x=x,quad forall xin M.

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

См. также

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.