Полное пространство — метрическое пространство определённого типа.
В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства.Для неполных пространств сущёствует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.
Содержание
Определения
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится.
Пополнение
Всякое метрическое пространство X=(X,ρ){displaystyle X=(X,rho )}
можно вложить в полное пространство Y{displaystyle Y} таким образом, что метрика Y{displaystyle Y} продолжает метрику X{displaystyle X} , а подпространство X{displaystyle X} всюду плотно в Y{displaystyle Y} . Такое пространство Y{displaystyle Y} называется пополнением X{displaystyle X} и обычно обозначается X¯{displaystyle {bar {X}}} .
можно вложить в полное пространство Y{displaystyle Y}
таким образом, что метрика Y{displaystyle Y}
, а подпространство X{displaystyle X}
.Построение
Для метрического пространства X=(X,ρ){displaystyle X=(X,rho )}
, на множестве фундаментальных последовательностей в X{displaystyle X} можно ввести отношение эквивалентности
- (xn)∼(yn)⇔limρ(xn,yn)=0.{displaystyle (x_{n})sim (y_{n})Leftrightarrow lim rho (x_{n},y_{n})=0.}
Множество классов эквивалентности X¯{displaystyle {bar {X}}}
с метрикой, определённой
- ρ¯((xn),(yn))=limρ(xn,yn),{displaystyle {bar {rho }}((x_{n}),(y_{n}))=lim rho (x_{n},y_{n}),}
является метрическим пространством. Само пространство (X,ρ){displaystyle (X,rho )}
изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x∈X{displaystyle xin X} соответствует класс постоянной последовательность xn=x{displaystyle x_{n}=x} . Получившееся пространство (X¯,ρ¯){displaystyle ({bar {X}},{bar {rho }})} и будет пополнением X{displaystyle X} .
изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x∈X{displaystyle xin X}
соответствует класс постоянной последовательность xn=x{displaystyle x_{n}=x}
. Получившееся пространство (X¯,ρ¯){displaystyle ({bar {X}},{bar {rho }})}
и будет пополнением X{displaystyle X}Свойства
- Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
- Пополнение метрического M{displaystyle M} пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
- Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
- Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
- Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
- Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
пространства изометрично замыканию образа при Примеры
Полные пространства
- R{displaystyle mathbb {R} } — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае R{displaystyle mathbb {R} } носит особое название .
- Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
- Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.
— пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае R{displaystyle mathbb {R} }- В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.
Неполные пространства
- Рациональные числа Q{displaystyle mathbb {Q} } со стандартным расстоянием d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|} являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } .
- Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}} .
- Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.
со стандартным расстоянием d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|}
являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }
.Вариации и обобщения
- Если X{displaystyle X} имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.
Литература
- Зорич В.А. «Математический анализ», т.2, гл.IX, §5.
Для улучшения этой статьи желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |
