Алгебра

• Разделы:
  • Элементарная алгебра
  • Линейная алгебра
  • Общая алгебра
  • Универсальная алгебра
  • Исторический очерк
  • Примечания
  • Литература
  • Ссылки

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎ аль-джабр «восполнение»[1]) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[2].

Трёхмерный правильный коноид, описанный алгебраическими тригонометрическими уравнениями x=v×cos⁡(u){displaystyle x=vtimes cos(u)}, y=v×sin⁡(u){displaystyle y=vtimes sin(u)}, z=2×sin⁡(u){displaystyle z=2times sin(u)}

Содержание

• 1 Классификация
• 2 Элементарная алгебра
• 3 Линейная алгебра
• 4 Общая алгебра
  • 4.1 Теория групп
  • 4.2 Теория колец
• 5 Универсальная алгебра
• 6 Исторический очерк
• 7 Примечания
• 8 Литература
• 9 Ссылки

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

• Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра[3].
• Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.
• Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
• Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
• Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра

Основная статья: Элементарная алгебра  Формула корней квадратного уравнения выражает решение уравнения второй степени ax2+bx+c=0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}  через его коэффициенты a,b,c{displaystyle a,b,c} , где a{displaystyle a}  не равно нулю.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a,b,c,x,y{displaystyle a,b,c,x,y}

  и так далее). Такой подход полезен, потому что:

• Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}  для любых a{displaystyle a}  и b{displaystyle b} ), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
• Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 3x+1=10{displaystyle 3x+1=10} » или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что ax+b=c{displaystyle ax+b=c} ». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
• Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали x{displaystyle x}  билетов, то ваша прибыль составит 3x−10{displaystyle 3x-10}  рублей, или f(x)=3x−10{displaystyle f(x)=3x-10} , где f{displaystyle f}  — функция, и x{displaystyle x}  — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Основная статья: Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)[4]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств[5].

Линейное, или векторное пространство V(F){displaystyle Vleft(Fright)}

  над полем F{displaystyle F}  — это упорядоченная четвёрка (V,F,+,⋅){displaystyle (V,F,+,cdot )} , где

V{displaystyle V}  — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

F{displaystyle F}  — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

+:V×V→V{displaystyle +colon Vtimes Vto V}  — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов x,y{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} }  множества V{displaystyle V}  единственный элемент множества V{displaystyle V} , обозначаемый x+y{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} } ;

⋅:F×V→V{displaystyle cdot colon Ftimes Vto V}  — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу λ{displaystyle lambda }  поля ∈F{displaystyle in F}  и каждому элементу x{displaystyle mathbf {x} }  множества V{displaystyle V}  единственный элемент множества V{displaystyle V} , обозначаемый λx{displaystyle lambda mathbf {x} } ;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. x+y=y+x{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {y} +mathbf {x} } , для любых x,y∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in V}  (коммутативность сложения);
2. x+(y+z)=(x+y)+z{displaystyle mathbf {x} +(mathbf {y} +mathbf {z} )=(mathbf {x} +mathbf {y} )+mathbf {z} } , для любых x,y,z∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} ,mathbf {z} in V}  (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент θ∈V{displaystyle theta in V} , что x+θ=x{displaystyle mathbf {x} +theta =mathbf {x} }  для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V}  (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V{displaystyle V}  не пусто;
4. для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V}  существует такой элемент −x∈V{displaystyle -mathbf {x} in V} , что x+(−x)=θ{displaystyle mathbf {x} +(-mathbf {x} )=theta }  (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. α(βx)=(αβ)x{displaystyle alpha (beta mathbf {x} )=(alpha beta )mathbf {x} }  (ассоциативность умножения на скаляр);
6. 1⋅x=x{displaystyle 1cdot mathbf {x} =mathbf {x} }  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
7. (α+β)x=αx+βx{displaystyle (alpha +beta )mathbf {x} =alpha mathbf {x} +beta mathbf {x} }  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. α(x+y)=αx+αy{displaystyle alpha (mathbf {x} +mathbf {y} )=alpha mathbf {x} +alpha mathbf {y} } (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп[5].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа[4]. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории[5].

Общая алгебра

Основная статья: Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов[2]. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре[6].

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли[6].

Теория групп

Основная статья: Теория групп

Непустое множество G{displaystyle G}

  с заданной на нём бинарной операцией ∗:G×G→G{displaystyle *,colon Gtimes Gto G}  называется группой (G,∗){displaystyle (G,*)} , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: ∀(a,b,c∈G):(a∗b)∗c=a∗(b∗c){displaystyle forall (a,b,cin G):(a*b)*c=a*(b*c)} ;
2. наличие нейтрального элемента: ∃e∈G∀a∈G:(e∗a=a∗e=a){displaystyle exists ein Gquad forall ain G:(e*a=a*e=a)} ;
3. наличие обратного элемента: ∀a∈G∃a−1∈G:(a∗a−1=a−1∗a=e){displaystyle forall ain Gquad exists a^{-1}in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)} 

  Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Основная статья: Теория колец

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. ∀a,b∈R(a+b=b+a){displaystyle forall a,bin Rleft(a+b=b+aright)}  — коммутативность сложения;
2. ∀a,b,c∈R(a+(b+c))=((a+b)+c){displaystyle forall a,b,cin Rleft(a+(b+c))=((a+b)+cright)}  — ассоциативность сложения;
3. ∃0∈R∀a∈R(a+0=0+a=a){displaystyle exists 0in R;forall ain Rleft(a+0=0+a=aright)}  — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. ∀a∈R∃b∈R(a+b=b+a=0){displaystyle forall ain R;exists bin Rleft(a+b=b+a=0right)}  — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. ∀a,b,c∈R(a×b)×c=a×(b×c){displaystyle forall a,b,cin R;(atimes b)times c=atimes (btimes c)}  — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[7])
6. ∀a,b,c∈R{a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a{displaystyle forall a,b,cin Rleft{{begin{matrix}atimes (b+c)=atimes b+atimes c(b+c)times a=btimes a+ctimes aend{matrix}}right.}  — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Основная статья: Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: A=⟨A,F,R⟩{displaystyle {mathfrak {A}}=langle A,F,Rrangle }

 , F=⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩{displaystyle F=langle f_{1}:A^{n_{1}}to A,dots f_{i}:A^{n_{i}}to A,dots rangle } , R=⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩{displaystyle R=langle r_{1}subseteq A^{m_{1}},dots r_{i}subseteq A^{m_{i}},dots rangle } . Множество A{displaystyle A}  в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями ⟨F,R,⟨n1,…ni,…⟩,⟨m1…mi,…⟩⟩{displaystyle langle F,R,langle n_{1},dots n_{i},dots rangle ,langle m_{1}dots m_{i},dots rangle rangle }  — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра (R,+,×){displaystyle left(R,+,times right)}

 , такая, что алгебра (R,+){displaystyle left(R,+right)}  — абелева группа, и операция +{displaystyle +}  дистрибутивна слева и справа относительно ×{displaystyle times } . Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов EndA{displaystyle mathbf {End} {mathfrak {A}}}

 , группа всех автоморфизмов AutA{displaystyle mathbf {Aut} {mathfrak {A}}} , решётки всех подалгебр SubA{displaystyle mathbf {Sub} {mathfrak {A}}}  и всех конгруэнций ConA{displaystyle mathbf {Con} {mathfrak {A}}} [8].

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры[6].

Исторический очерк

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[10].

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение x3+ax+b=0{displaystyle x^{3}+ax+b=0}

 . Отдельные задачи решались с помощью конических сечений[14].

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя[17].

  Страница из Аль-Хорезми Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение»[1].

В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации.Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах.Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Примечания

1. ↑ 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.
2. ↑ 1 2 Алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
3. ↑ 1 2 Виноградов И. М. Алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
4. ↑ 1 2 Линейная алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
5. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
6. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Общая алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
7. ↑ Алгебра — статья из Математической энциклопедии
8. ↑ Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
9. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 29—30.
10. ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 42.
11. ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 42—46.
12. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 78—80.
13. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 82—86.
14. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 86—87.
15. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 144—146.
16. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 146—150.
17. ↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Литература

• История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174-204. — 208 с. — (История науки и техники).

Ссылки

	В Викисловаре есть статья «алгебра»

• Алгебра в каталоге ссылок Curlie (dmoz)
• Информация на начало XX века: Алгебра // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.