Трапеция

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения).

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Содержание

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Приведённые ниже формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.

Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция

Общие свойства

Основной источник: [6]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2xyx+y{displaystyle {frac {2xy}{x+y}}} ${frac {2xy}{x+y}}$ среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
Если отношение оснований равно K{displaystyle K} $K$ , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно K2{displaystyle K^{2}} $K^{2}$ .
Высота трапеции определяется формулой:

h=c2−14(c2−d2b−a+b−a)2{displaystyle h={sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}}

h={sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}

где b{displaystyle b}

b

— большее основание, a{displaystyle a}

a

— меньшее основание, c{displaystyle c}

c

и d{displaystyle d}

d

— боковые стороны.

Диагонали трапеции d1{displaystyle d_{1}} $d_{1}$ и d2{displaystyle d_{2}} $d_{2}$ связаны со сторонами соотношением:

d12+d22=2ab+c2+d2{displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Их можно выразить в явном виде:

d1=AC=ab+d2+b(c2−d2)b−a{displaystyle d_{1}=AC={sqrt {ab+d^{2}+{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}

d_{1}=AC={sqrt {ab+d^{2}+{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

d2=BD=ab+c2−b(c2−d2)b−a{displaystyle d_{2}=BD={sqrt {ab+c^{2}-{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}

d_{2}=BD={sqrt {ab+c^{2}-{frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

a=(c2−d12)2−(d2−d22)22(c2−d2+d12−d22){displaystyle a={sqrt {frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}

{displaystyle a={sqrt {frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}

b=(c2−d22)2−(d2−d12)22(c2−d2−d12+d22){displaystyle b={sqrt {frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}

{displaystyle b={sqrt {frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

c=a(d22−b2)+b(d12−a2)a+b{displaystyle c={sqrt {frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}

{displaystyle c={sqrt {frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}

d=a(d12−b2)+b(d22−a2)a+b{displaystyle d={sqrt {frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}

{displaystyle d={sqrt {frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}

Если же известна высота h{displaystyle h}

h

, то

d1=b2+d2−2bd2−h2=h2+(b−d2−h2)2{displaystyle d_{1}={sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {d^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}}

d_{1}={sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {d^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}

d2=b2+c2−2bc2−h2=h2+(b−c2−h2)2{displaystyle d_{2}={sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {c^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}}

d_{2}={sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={sqrt {h^{2}+left(b-{sqrt {c^{2}-h^{2}}}right)^{2}}}

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
углы при любом основании равны;
сумма противоположных углов равна 180°;
длины диагоналей равны;
вокруг этой трапеции можно описать окружность;
вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 6 июля 2015 года.

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме бо
ковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 1857 дней]

R=bcd14p(p−b)(p−c)(p−d1)=ab+c24−(b−ac)2{displaystyle R={frac {bcd_{1}}{4{sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={sqrt {frac {ab+c^{2}}{4-left({frac {b-a}{c}}right)^{2}}}}}

R={frac {bcd_{1}}{4{sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={sqrt {frac {ab+c^{2}}{4-left({frac {b-a}{c}}right)^{2}}}}

где p=12(b+c+d1),c{displaystyle p={frac {1}{2}}(b+c+d_{1}),,,c}

p={frac {1}{2}}(b+c+d_{1}),,,c

— боковая сторона, b{displaystyle b}

b

— бо́льшее основание, a{displaystyle a}

a

— меньшее основание, d1=d2{displaystyle d_{1}=d_{2}}

d_{1}=d_{2}

— диагонали равнобедренной трапеции.

Если a+b=2c{displaystyle a+b=2c} $a+b=2c$ , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

r=h2=ab2{displaystyle r={frac {h}{2}}={frac {sqrt {ab}}{2}}}

r={frac {h}{2}}={frac {sqrt {ab}}{2}}

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r{displaystyle r} $r$ , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — v{displaystyle v} $v$ и w{displaystyle w} $w$ — то r=vw{displaystyle r={sqrt {vw}}} $r={sqrt {vw}}$ .

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

В случае, если a{displaystyle a} $a$ и b{displaystyle b} $b$ — основания и h{displaystyle h} $h$ — высота, формула площади:

S=(a+b)2h{displaystyle S={frac {(a+b)}{2}}h}

S={frac {(a+b)}{2}}h

В случае, если m{displaystyle m} $m$ — средняя линия и h{displaystyle h} $h$ — высота, формула площади:

S=mh{displaystyle S=displaystyle mh}

S=displaystyle mh

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

m=(a+b)2{displaystyle m={frac {(a+b)}{2}}}

m={frac {(a+b)}{2}}

Формула, где a<b{displaystyle a<b} $a<b$ — основания, c{displaystyle c} $c$ и d{displaystyle d} $d$ — боковые стороны трапеции:

S=a+b4(b−a)(a+c+d−b)(a+d−b−c)(a+c−b−d)(b+c+d−a).{displaystyle S={frac {a+b}{4(b-a)}}{sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}

S={frac {a+b}{4(b-a)}}{sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.

или

S=a+b2c2−14(c2−d2b−a+b−a)2{displaystyle S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}}

S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}left({frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-aright)^{2}}}

Средняя линия m{displaystyle m} $m$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[7]

S1S2=3a+ba+3b{displaystyle {frac {S_{1}}{S_{2}}}={frac {3a+b}{a+3b}}}

{displaystyle {frac {S_{1}}{S_{2}}}={frac {3a+b}{a+3b}}}

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r{displaystyle r} $r$ , и углом при основании α{displaystyle alpha } $alpha$ :

S=4r2sin⁡α{displaystyle S={frac {4r^{2}}{sin {alpha }}}}

S={frac {4r^{2}}{sin {alpha }}}

Площадь равнобедренной трапеции:

S=(b−ccos⁡γ)csin⁡γ=(a+ccos⁡γ)csin⁡γ{displaystyle S=(b-ccos {gamma })csin {gamma }=(a+ccos {gamma })csin {gamma }}

S=(b-ccos {gamma })csin {gamma }=(a+ccos {gamma })csin {gamma }

где c{displaystyle c}

c

— боковая сторона, b{displaystyle b}

b

— бо́льшее основание, a{displaystyle a}

a

— меньшее основание, γ{displaystyle gamma }

gamma

— угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[8].

Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

S=a+b2c2−14(b−a)2{displaystyle S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}

S={frac {a+b}{2}}{sqrt {c^{2}-{frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}

В родственных проектах

Примечания

↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
↑ Вся элементарная математика
↑ Wolfram MathWorld
↑ Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
↑ Четырёхугольники.
↑ Сканави М.И. 202. Площадь трапеции // Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.
↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184