Бесконечно малая и бесконечно большая

Разделы:

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Содержание

1 Исчисление бесконечно малых и больших
2 Сравнение бесконечно малых
- 2.1 Определения
- 2.2 Примеры сравнения
3 Эквивалентные величины
4 История
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность an{displaystyle a_{n}}

называется бесконечно малой, если limn→∞an=0{displaystyle lim limits _{nto infty }a_{n}=0} $lim limits _{{nto infty }}a_{n}=0$ . Например, последовательность чисел an=1n{displaystyle a_{n}={dfrac {1}{n}}} $a_{n}={dfrac {1}{n}}$ — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ , если limx→x0f(x)=0{displaystyle lim limits _{xto x_{0}}f(x)=0} $lim limits _{{xto x_{0}}}f(x)=0$ .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=0{displaystyle lim limits _{xto +infty }f(x)=0}

$lim limits _{{xto +infty }}f(x)=0$ либо limx→−∞f(x)=0{displaystyle lim limits _{xto -infty }f(x)=0} $lim limits _{{xto -infty }}f(x)=0$ .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если limx→+∞f(x)=a{displaystyle lim limits _{xto +infty }f(x)=a}

$lim limits _{{xto +infty }}f(x)=a$ , то f(x)−a=α(x){displaystyle f(x)-a=alpha (x)} $f(x)-a=alpha (x)$ , limx→+∞(f(x)−a)=0{displaystyle lim limits _{xto +infty }(f(x)-a)=0} $lim limits _{{xto +infty }}(f(x)-a)=0$ .

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении x{displaystyle x}

$x$ к a{displaystyle a} $a$ (из limx→af(x)=0{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=0} $lim limits _{{xto a}}f(x)=0$ )] делается меньше произвольного числа (ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ ). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.[1]

Бесконечно большая

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin⁡x{displaystyle xsin x}

$xsin x$ , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при, x→+∞{displaystyle xto +infty } $xto +infty$ .

Последовательность an{displaystyle a_{n}}

$a_n$ называется бесконечно большой, если limn→∞an=∞{displaystyle lim limits _{nto infty }a_{n}=infty } $lim limits _{{nto infty }}a_{n}=infty$ .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ , если limx→x0f(x)=∞{displaystyle lim limits _{xto x_{0}}f(x)=infty } .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=∞{displaystyle lim limits _{xto +infty }f(x)=infty }

$lim limits _{{xto +infty }}f(x)=infty$ либо limx→−∞f(x)=∞{displaystyle lim limits _{xto -infty }f(x)=infty } $lim limits _{{xto -infty }}f(x)=infty$ .

Как и в случае, бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

Свойства бесконечно малых

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an{displaystyle a_{n}} $a_n$ — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то bn=1an{displaystyle b_{n}={dfrac {1}{a_{n}}}} $b_{n}={dfrac {1}{a_{n}}}$ — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же x→a{displaystyle xto a}

$xto a$ величины α(x){displaystyle alpha (x)} $alpha(x)$ и β(x){displaystyle beta (x)} $beta(x)$ (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если limx→aβα=0{displaystyle lim limits _{xto a}{dfrac {beta }{alpha }}=0} $lim limits _{{xto a}}{dfrac {beta }{alpha }}=0$ , то β{displaystyle beta } $beta$ — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α{displaystyle alpha } $alpha$ . Обозначают β=o(α){displaystyle beta =o(alpha )} $beta =o(alpha )$ или β≺α{displaystyle beta prec alpha } $betaprecalpha$ .
Если limx→aβα=∞{displaystyle lim limits _{xto a}{dfrac {beta }{alpha }}=infty } $lim limits _{{xto a}}{dfrac {beta }{alpha }}=infty$ , то β{displaystyle beta } $beta$ — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α{displaystyle alpha } $alpha$ . Соответственно α=o(β){displaystyle alpha =o(beta )} $alpha =o(beta )$ или α≺β{displaystyle alpha prec beta } $alphaprecbeta$ .
Если limx→aβα=c{displaystyle lim limits _{xto a}{dfrac {beta }{alpha }}=c} $lim limits _{{xto a}}{dfrac {beta }{alpha }}=c$ (пре
дел конечен и не равен 0), то α{displaystyle alpha } $alpha$ и β{displaystyle beta } $beta$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β{displaystyle alpha asymp beta } $alphaasympbeta$ или как одновременное выполнение отношений β=O(α){displaystyle beta =O(alpha )} $beta =O(alpha )$ и α=O(β){displaystyle alpha =O(beta )} $alpha =O(beta )$ . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
Если limx→aβαm=c{displaystyle lim limits _{xto a}{dfrac {beta }{alpha ^{m}}}=c} $lim limits _{{xto a}}{dfrac {beta }{alpha ^{m}}}=c$ (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β{displaystyle beta } $beta$ имеет m{displaystyle m} $m$ -й порядок малости относительно бесконечно малой α{displaystyle alpha } $alpha$ .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При x→0{displaystyle {xto 0}} ${xto 0}$ величина x5{displaystyle x^{5}} $x^{5}$ имеет высший порядок малости относительно x3{displaystyle x^{3}} $x^{3}$ , так как limx→0x5x3=0{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0} $lim limits _{{xto 0}}{dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ . С другой стороны, x3{displaystyle x^{3}} $x^{3}$ имеет низший порядок малости относительно x5{displaystyle x^{5}} $x^{5}$ , так как limx→0x3x5=∞{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=infty } $lim limits _{{xto 0}}{dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=infty$ .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5=o(x3){displaystyle x^{5}=o(x^{3})}

x^{5}=o(x^{3})

limx→02×2+6xx=limx→02x+61=limx→0(2x+6)=6,{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=lim limits _{xto 0}{dfrac {2x+6}{1}}=lim limits _{xto 0}(2x+6)=6,} $lim limits _{{xto 0}}{dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=lim limits _{{xto 0}}{dfrac {2x+6}{1}}=lim limits _{{xto 0}}(2x+6)=6,$ то есть при x→0{displaystyle xto 0} $xto 0$ функции f(x)=2×2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} $f(x)=2x^{2}+6x$ и g(x)=x{displaystyle g(x)=x} $g(x)=x$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2×2+6x=O(x){displaystyle 2x^{2}+6x=O(x)}

2x^{2}+6x=O(x)

и x=O(2×2+6x).{displaystyle x=O(2x^{2}+6x).}

x=O(2x^{2}+6x).

При x→0{displaystyle {xto 0}} ${xto 0}$ бесконечно малая величина 2×3{displaystyle 2x^{3}} $2x^{3}$ имеет третий порядок малости относительно x{displaystyle x} $x$ , поскольку limx→02x3x3=2{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2} $lim limits _{{xto 0}}{dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ , бесконечно малая 0,7×2{displaystyle 0{,}7x^{2}} $0{,}7x^{2}$ — второй порядок, бесконечно малая x{displaystyle {sqrt {x}}} $sqrt{x}$ — порядок 0,5.

Эквивалентные величины

Определение

Если limx→aβα=1{displaystyle lim limits _{xto a}{dfrac {beta }{alpha }}=1}

$lim limits _{{xto a}}{dfrac {beta }{alpha }}=1$ , то бесконечно малые или бесконечно большие величины α{displaystyle alpha } $alpha$ и β{displaystyle beta } $beta$ называются эквивалентными (обозначается как α∼β{displaystyle alpha thicksim beta } $alpha thicksim beta$ ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

При α(x)→x→x00{displaystyle alpha (x){xrightarrow[{xto x_{0}}]{}}0}

$alpha (x){xrightarrow[ {xto x_{0}}]{}}0$ справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

sin⁡α(x)∼α(x);{displaystyle sin alpha (x)thicksim alpha (x);} $sin alpha (x)thicksim alpha (x);$
tgα(x)∼α(x);{displaystyle mathrm {tg} ,alpha (x)thicksim alpha (x);} ${mathrm {tg}},alpha (x)thicksim alpha (x);$
arcsin⁡α(x)∼α(x);{displaystyle arcsin {alpha (x)}thicksim alpha (x);} $arcsin {alpha (x)}thicksim alpha (x);$
arctgα(x)∼α(x);{displaystyle mathrm {arctg} ,alpha (x)thicksim alpha (x);} ${mathrm {arctg}},alpha (x)thicksim alpha (x);$
loga⁡(1+α(x))∼α(x)⋅1ln⁡a{displaystyle log _{a}(1+alpha (x))thicksim alpha (x)cdot {frac {1}{ln {a}}}} $log _{a}(1+alpha (x))thicksim alpha (x)cdot {frac {1}{ln {a}}}$ , где a>0{displaystyle a>0} $a>0$ ;
ln⁡(1+α(x))∼α(x);{displaystyle ln(1+alpha (x))thicksim alpha (x);} $ln(1+alph a (x))thicksim alpha (x);$
aα(x)−1∼α(x)⋅ln⁡a{displaystyle a^{alpha (x)}-1thicksim alpha (x)cdot ln {a}} $a^{{alpha (x)}}-1thicksim alpha (x)cdot ln {a}$ , где a>0{displaystyle a>0} $a>0$ ;
eα(x)−1∼α(x);{displaystyle e^{alpha (x)}-1thicksim alpha (x);} $e^{{alpha (x)}}-1thicksim alpha (x);$
1−cos⁡α(x)∼α2(x)2;{displaystyle 1-cos {alpha (x)}thicksim {frac {alpha ^{2}(x)}{2}};} $1-cos {alpha (x)}thicksim {frac {alpha ^{2}(x)}{2}};$
(1+α(x))μ−1∼μ⋅α(x),μ∈R{displaystyle (1+alpha (x))^{mu }-1thicksim mu cdot alpha (x),quad mu in mathbb {R} } $(1+alpha (x))^{mu }-1thicksim mu cdot alpha (x),quad mu in mathbb{R}$ , поэтому используют выражение:

1+α(x)n≈α(x)n+1{displaystyle {sqrt[{n}]{1+alpha (x)}}approx {frac {alpha (x)}{n}}+1}

{sqrt[ {n}]{1+alpha (x)}}approx {frac {alpha (x)}{n}}+1

, где α(x)→x→x00{displaystyle alpha (x){xrightarrow[{xto x_{0}}]{}}0}

alpha (x){xrightarrow[ {xto x_{0}}]{}}0

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Примеры использования

Найти limx→0sin⁡2xx.{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {sin 2x}{x}}.} $lim limits _{{xto 0}}{dfrac {sin 2x}{x}}.$

Заменяя sin⁡2x{displaystyle sin 2x}

sin 2x

эквивалентной величиной 2x{displaystyle 2x}

2x

, получаем

limx→0sin⁡2xx=limx→02xx=2.{displaystyle lim limits _{xto 0}{dfrac {sin 2x}{x}}=lim limits _{xto 0}{dfrac {2x}{x}}=2.}

lim limits _{{xto 0}}{dfrac {sin 2x}{x}}=lim limits _{{xto 0}}{dfrac {2x}{x}}=2.

Найти limx→π2sin⁡(4cos⁡x)cos⁡x.{displaystyle lim limits _{xto {frac {pi }{2}}}{dfrac {sin(4cos x)}{cos x}}.} $lim limits _{{xto {frac {pi }{2}}}}{dfrac {sin(4cos x)}{cos x}}.$

Так как sin⁡(4cos⁡x)∼4cos⁡x{displaystyle sin(4cos x)thicksim {4cos x}}

sin(4cos x)thicksim {4cos x}

при x→π2{displaystyle xto {dfrac {pi }{2}}}

xto {dfrac {pi }{2}}

, получим

limx→π2sin⁡(4cos⁡x)cos⁡x=limx→π24cos⁡xcos⁡x=4.{displaystyle lim limits _{xto {frac {pi }{2}}}{dfrac {sin(4cos x)}{cos x}}=lim limits _{xto {frac {pi }{2}}}{dfrac {4cos x}{cos x}}=4.}

lim limits _{{xto {frac {pi }{2}}}}{dfrac {sin(4cos x)}{cos x}}=lim limits _{{xto {frac {pi }{2}}}}{dfrac {4cos x}{cos x}}=4.

Вычислить 1,2{displaystyle {sqrt {1{,}2}}} ${sqrt {1{,}2}}$ .

Используя формулу: 1,2≈1+0,22=1,1{displaystyle {sqrt {1{,}2}}approx 1+{frac {0{,}2}{2}}=1{,}1}

{sqrt {1{,}2}}approx 1+{frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

, тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: 1,2≈1,095{displaystyle {sqrt {1{,}2}}approx 1{,}095}

{sqrt {1{,}2}}approx 1{,}095

, таким образом, ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть м
етод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

История

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращённым названием «Аналитик». Полное его название: «Аналитик или рассуждение, обращённое к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры». «Аналитик» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?.. И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?.. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную ск
орость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришёл к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Как ни странно, некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс. В настоящее время термин «бесконечно малая» математики в подавляющем большинстве случаев относят не к числам, а к функциям или последовательностям.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа. С появлением нестандартного анализа стало ясно, почему математики XVIII века, выполняя незаконные с точки зрения классической теории действия, тем не менее получали верные результаты.

См. также

Примечания

↑ Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 337—340. — 480 с.

Литература

Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (11 ноября 2012)