Вектор-функция

• Разделы:
  • Вектор-функция нескольких скалярных переменных
  • Литература

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в линейном пространстве V{displaystyle mathbb {V} } двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в V{displaystyle mathbb {V} } некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в V{displaystyle mathbb {V} }, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на V{displaystyle mathbb {V} }.

Содержание

• 1 Вектор-функция одной скалярной переменной
  • 1.1 Производная вектор-функции по параметру
• 2 Вектор-функция нескольких скалярных переменных
• 3 Литература

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной r(t){displaystyle mathbf {r} (t)}

  отображает некоторый интервал вещественных чисел t1⩽t⩽t2{displaystyle t_{1}leqslant tleqslant t_{2}}  в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты i^,j^,k^{displaystyle mathbf {hat {i}} ,mathbf {hat {j}} ,mathbf {hat {k}} }

 , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

r(t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)k^{displaystyle mathbf {r} (t)=x(t)mathbf {hat {i}} +y(t)mathbf {hat {j}} +z(t)mathbf {hat {k}} } 

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция r(t){displaystyle mathbf {r} (t)}

  имеет предел r0{displaystyle mathbf {r_{0}} }  в точке t=t0{displaystyle t=t_{0}} , если limt→t0|r(t)−r0|=0{displaystyle lim _{tto t_{0}}|mathbf {r} (t)-mathbf {r_{0}} |=0}  (здесь и далее |v|{displaystyle |mathbf {v} |}  обозначают модуль вектора v{displaystyle mathbf {v} } ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции r(t){displaystyle mathbf {r} (t)}

  по параметру:

ddtr(t)=limh→0r(t+h)−r(t)h{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {r} (t)=lim _{hto 0}{frac {mathbf {r} (t+h)-mathbf {r} (t)}{h}}} .

Если производная в точке t{displaystyle t}

  существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут x′(t), y′(t), z′(t){displaystyle x'(t), y'(t), z'(t)} .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ddt(r1(t)+r2(t))=dr1(t)dt+dr2(t)dt{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {r_{1}} (t)+mathbf {r_{2}} (t))={frac {dmathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{frac {dmathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}  — производная суммы есть сумма производных
• ddt(f(t)r(t))=df(t)dtr(t)+f(t)dr(t)dt{displaystyle {frac {d}{dt}}(f(t)mathbf {r} (t))={frac {df(t)}{dt}}mathbf {r} (t)+f(t){frac {dmathbf {r} (t)}{dt}}}  — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• ddt(r1(t)r2(t))=dr1(t)dtr2(t)+r1(t)dr2(t)dt{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {r_{1}} (t)mathbf {r_{2}} (t))={frac {dmathbf {r_{1}} (t)}{dt}}mathbf {r_{2}} (t)+mathbf {r_{1}} (t){frac {dmathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}  — дифференцирование скалярного произведения.
• ddt[r1(t)r2(t)]=[dr1(t)dtr2(t)]+[r1(t)dr2(t)dt]{displaystyle {frac {d}{dt}}[mathbf {r_{1}} (t)mathbf {r_{2}} (t)]=left[{frac {dmathbf {r_{1}} (t)}{dt}}mathbf {r_{2}} (t)right]+left[mathbf {r_{1}} (t){frac {dmathbf {r_{2}} (t)}{dt}}right]}  — дифференцирование векторного произведения.
• ddt(a(t),b(t),c(t))=(da(t)dt,b(t),c(t))+(a(t),db(t)dt,c(t))+(a(t),b(t),dc(t)dt){displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {a} (t),mathbf {b} (t),mathbf {c} (t))=left({frac {dmathbf {a} (t)}{dt}},mathbf {b} (t),mathbf {c} (t)right)+left(mathbf {a} (t),{frac {dmathbf {b} (t)}{dt}},mathbf {c} (t)right)+left(mathbf {a} (t),mathbf {b} (t),{frac {dmathbf {c} (t)}{dt}}right)}  — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции r(u,v){displaystyle mathbf {r} (u,v)}

  (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение r=r(u, v){displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (u, v)}

  имеет вид:

x=x(u, v); y=y(u, v); z=z(u, v){displaystyle x=x(u, v); y=y(u, v); z=z(u, v)} 

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будут две: ∂r∂u,∂r∂v{displaystyle {frac {partial mathbf {r} }{partial u}},{frac {partial mathbf {r} }{partial v}}}

 . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём [∂r∂u,∂r∂v]{displaystyle left[{frac {partial mathbf {r} }{partial u}},{frac {partial mathbf {r} }{partial v}}right]}  не обращается тождественно в ноль.  Координатная сетка на сфере

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярной переменной см.: Теория поверхностей.

Литература

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965.