Главная » wiki

Комплексное число

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный[1]; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида a+bi{displaystyle a+bi}, где a,b{displaystyle a,b} — вещественные числа, i{displaystyle i} — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: i2=−1.{displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом C.{displaystyle mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид a+0i{displaystyle a+0i}. Главное свойство C{displaystyle mathbb {C} } — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n{displaystyle n}-й степени (n⩾1{displaystyle ngeqslant 1}) имеет n{displaystyle n}корней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].

Иерархия чисел

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi{displaystyle a+bi} точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i{displaystyle i} для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[1].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[4][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы[⇨].

Содержание

Содержание

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число z=a+bi{displaystyle z=a+bi}

 , у которого a{displaystyle a}  и b{displaystyle b}  действительны, состоит из двух компонентов[5]:

  • Величина a{displaystyle a}  называется вещественной частью числа z{displaystyle z}  и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается Rez{displaystyle operatorname {Re} ,z}  или Re⁡(z).{displaystyle operatorname {Re} (z).}  В источниках иногда встречается готический символ[6]: ℜ(z).{displaystyle Re (z).} 
    • Если a=0{displaystyle a=0} , то z{displaystyle z}  называется мнимым или чисто мнимым числом. Вместо 0+bi{displaystyle 0+bi}  обычно пишут просто bi.{displaystyle bi.} 
  • Величина b{displaystyle b}  называется мнимой частью числа z{displaystyle z}  и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается Imz{displaystyle operatorname {Im} ,z}  или Im⁡(z).{displaystyle operatorname {Im} (z).}  В источниках иногда встречается готический символ[7]: ℑ(z).{displaystyle Im (z).} 
    • Мнимыми также могут называться любые комплексные числа, у которых b≠0.{displaystyle bneq 0.} 
    • А если b=0{displaystyle b=0} , то z{displaystyle z}  является вещественным числом. Вместо a+0i{displaystyle a+0i}  обычно пишут просто a.{displaystyle a.}  Например, комплексный ноль 0+0i{displaystyle 0+0i}  обозначается просто как 0.{displaystyle 0.} 

Противоположным для комплексного числа z=a+bi{displaystyle z=a+bi}

  является число −z=−a−bi.{displaystyle -z=-a-bi.}  Например, для числа 1−2i{displaystyle 1-2i}  противоположным будет число −1+2i.{displaystyle -1+2i.} 

Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из a<b{displaystyle a<b}

  вытекало a+c<b+c{displaystyle a+c<b+c} ). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно[5]:

  • a+bi=c+di{displaystyle a+bi=c+di}  означает, что a=c{displaystyle a=c}  и b=d{displaystyle b=d}  (два комплексных числа равны между собой, только если равны их вещественные и мнимые части).

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел[5]:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,{displaystyle left(a+biright)+left(c+diright)=left(a+cright)+left(b+dright)i,} 
(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.{displaystyle left(a+biright)-left(c+diright)=left(a-cright)+left(b-dright)i.} 

Следующая таблица[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных u,v,w.{displaystyle u,v,w.}

 

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u} 
Ассоциативность (сочетательность) u+(v+w)=(u+v)+w{displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w} 
Свойство нуля u+0=u{displaystyle u+0=u} 
Свойство противоположного элемента u+(−u)=0{displaystyle u+(-u)=0} 
Выполнение вычитания через сложение u−v=u+(−v){displaystyle u-v=u+(-v)} 

Умножение

Определим произведение[5] комплексных чисел a+bi{displaystyle a+bi}

  и c+di{displaystyle c+di} :

(a+bi)⋅(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(ac−bd)+(bc+ad)i{displaystyle (a+bi)cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i} .

Следующая таблица[5] показывает основные свойства умножения для любых комплексных u,v,w{displaystyle u,v,w}

 .

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) u⋅v=v⋅u{displaystyle ucdot v=vcdot u} 
Ассоциативность (сочетательность) u⋅(v⋅w)=(u⋅v)⋅w{displaystyle ucdot (vcdot w)=(ucdot v)cdot w} 
Свойство единицы u⋅1=u{displaystyle ucdot 1=u} 
Свойство нуля u⋅0=0{displaystyle ucdot 0=0} 
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w{displaystyle ucdot (v+w)=ucdot v+ucdot w} 

Правила для степеней мнимой единицы:

i2=−1;i3=−i;i4=1;i5=i{displaystyle i^{2}=-1;;i^{3}=-i;;i^{4}=1;i^{5}=i}  и т. д.

Таким образом, выражение a+bi{displaystyle a+bi}

  можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Развернём все входящие в него переменные согласно разделу Связанные определения:

(a+0i)+(b+0i)⋅(0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi{displaystyle (a+0i)+(b+0i)cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi} 

Деление

Комплексное число z¯=x−iy{displaystyle {bar {z}}=x-iy}

  называется сопряжённым к комплексному числу z=x+iy{displaystyle z=x+iy}  (см. подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа a+bi{displaystyle a+bi}

 , кроме нуля, можно найти обратное к нему[8] комплексное число 1a+bi{displaystyle {frac {1}{a+bi}}} . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число a−bi{displaystyle a-bi} , комплексно сопряжённое знаменателю

1a+bi=a−bi(a+bi)(a−bi)=a−bia2+b2=aa2+b2−ba2+b2i.{displaystyle {frac {1}{a+bi}}={frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}}={frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.} 

Определим результат деления[5] комплексного числа a+bi{displaystyle a+bi}

  на ненулевое число c+di{displaystyle c+di} :

a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+(bc−adc2+d2)i.{displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {left(a+biright)left(c-diright)}{left(c+diright)left(c-diright)}}={frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+left({frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}right)i.} 

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с комплексными (вещественными или мнимыми) коэффициентами имеет, с учётом кратности, то количество корней (вообще говоря, комплексных), какому равна его степень (основная теорема алгебры)[9].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень n{displaystyle n}

 -й степени из ненулевого числа имеет n{displaystyle n}  различных комплексных значений[10]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨].

Замечания

Число i{displaystyle i}

  не является единственным числом, квадрат которого равен −1{displaystyle -1} . Число −i{displaystyle -i}  также обладает этим свойством и в некотором смысле двойственно числу i:{displaystyle icolon }  при замене комплексных чисел на сопряжённые им все арифметические и алгебраические свойства сохранятся (и, по сути, останутся равносильными).

Выражение −1{displaystyle {sqrt {-1}}}

 , ранее часто использовавшееся вместо i{displaystyle i} , в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как 5+i3{displaystyle 5+i{sqrt {3}}} , а не 5+−3{displaystyle 5+{sqrt {-3}}} , несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[11][12].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

−3⋅−3=(−3)⋅(−3)=(−3)2=9=3{displaystyle {sqrt {-3}}cdot {sqrt {-3}}={sqrt {left(-3right)cdot left(-3right)}}={sqrt {left(-3right)^{2}}}={sqrt {9}}=3} .

Эта ошибка объясняет, что число −3{displaystyle {sqrt {-3}}}

  невозможно определить точным образом — означает ли оно i3{displaystyle i{sqrt {3}}}  или же −i3.{displaystyle -i{sqrt {3}}.}  При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы[12]:

(i3)⋅(i3)=(i⋅3)2=i2⋅(3)2=−3.{displaystyle left(i{sqrt {3}}right)cdot left(i{sqrt {3}}right)=left(icdot {sqrt {3}}right)^{2}=i^{2}cdot left({sqrt {3}}right)^{2}=-3.} 

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Основная статья: Комплексная плоскость  Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу z=x+iy{displaystyle z=x+iy}

  соответствует точка плоскости с координатами {x,y}{displaystyle left{x,yright}}  (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[13].  Модуль r{displaystyle r}  и аргумент φ{displaystyle varphi }  комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние r{displaystyle r}

  до начала координат (модуль[⇨]) и угол φ{displaystyle varphi }  радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее можно обосновать, в частности, через формулы суммы косинуса и синуса). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[14]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[15].

Пример: умножение на i{displaystyle i}

  поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на −i{displaystyle -i}  радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа z=x+iy{displaystyle z=x+iy}

  обозначается |z|{displaystyle left|zright|}  (иногда r{displaystyle r}  или ρ{displaystyle rho } ) и определяется выражением[14]

|z|=x2+y2{displaystyle left|zright|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}} .

Если z{displaystyle z}

  является вещественным числом, то |z|{displaystyle left|zright|}  совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых z,z1,z2∈C{displaystyle z,z_{1},z_{2}in mathbb {C} }

  имеют место следующие свойства модуля[14][16]:

1) |z|⩾0{displaystyle left|zright|geqslant 0} , причём |z|=0{displaystyle left|zright|=0} , только если z=0{displaystyle z=0} ;
2) |z1+z2|⩽|z1|+|z2|{displaystyle left|z_{1}+z_{2}right|leqslant left|z_{1}right|+left|z_{2}right|}  (неравенство треугольника);
3) |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|{displaystyle left|z_{1}cdot z_{2}right|=left|z_{1}right|cdot left|z_{2}right|} ;
4) |z1z2|=|z1||z2|{displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}} .
5) Для пары комплексных чисел z1{displaystyle z_{1}}  и z2{displaystyle z_{2}}  модуль их разности |z1−z2|{displaystyle left|z_{1}-z_{2}right|}  равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
6) Модуль числа z{displaystyle z}  связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:
−|z|⩽Re⁡(z)⩽|z|;−|z|⩽Im⁡(z)⩽|z|;|z|⩽|Re⁡(z)|+|Im⁡(z)|{displaystyle -|z|leqslant operatorname {Re} (z)leqslant |z|;quad -|z|leqslant operatorname {Im} (z)leqslant |z|;quad |z|leqslant |operatorname {Re} (z)|+|operatorname {Im} (z)|} 

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ{displaystyle varphi }

  между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z{displaystyle z}  измеряется в радианах и обозначается Arg⁡(z){displaystyle operatorname {Arg} left(zright)} . Из этого определения следует, что[14]

tg⁡ φ=yx;cos⁡φ=x|z|;sin⁡φ=y|z|{displaystyle operatorname {tg} varphi ={frac {y}{x}};quad cos varphi ={frac {x}{left|zright|}};quad sin varphi ={frac {y}{left|zright|}}} .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z{displaystyle z}

  аргумент определяется с точностью до 2πk{displaystyle 2pi k} , где k{displaystyle k}  — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение φ{displaystyle varphi } , что −π<φ⩽π{displaystyle -pi <varphi leqslant pi } . Главное значение может обозначаться arg⁡(z){displaystyle operatorname {arg} left(zright)} [17].

Некоторые свойства аргумента[16]:

1) Аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
Arg⁡(1z)=−Arg⁡(z).{displaystyle operatorname {Arg} left({frac {1}{z}}right)=-operatorname {Arg} left(zright).} 
2) Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:
Arg⁡(z1z2)=Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2).{displaystyle operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2}).} 
3) Аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:
Arg⁡z1z2=Arg⁡(z1)−Arg⁡(z2).{displaystyle operatorname {Arg} {frac {z_{1}}{z_{2}}}=operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}).} 

Сопряжённые числа

Основная статья: Сопряжённые числа  Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy{displaystyle z=x+iy}

 , то число z¯=x−iy{displaystyle {bar {z}}=x-iy}  называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к z{displaystyle z}  (обозначается также z∗{displaystyle z^{*}} ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком[18]:

  • |z¯|=|z|;Arg⁡(z¯)=−Arg⁡(z){displaystyle left|{bar {z}}right|=left|zright|;quad operatorname {Arg} ({bar {z}})=-operatorname {Arg} (z)} 

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; она имеет следующие свойства[18]:

  • z=z¯{displaystyle z={bar {z}}} , только если z{displaystyle z}  — вещественное число.
  • z¯¯=z{displaystyle {bar {bar {z}}}=z}  (сопряжённое к сопряжённому есть исходное, или, иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z[16]:

  • z⋅z¯=|z|2=x2+y2{displaystyle zcdot {bar {z}}=left|zright|^{2}=x^{2}+y^{2}} 

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число[16]:

  • z+z¯=2Re⁡(z)=2x{displaystyle z+{bar {z}}=2operatorname {Re} left(zright)=2x} 

Другие соотношения[16]:

  • z1+z2¯=z¯1+z¯2{displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={bar {z}}_{1}+{bar {z}}_{2}} 
  • z1−z2¯=z¯1−z¯2{displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={bar {z}}_{1}-{bar {z}}_{2}} 
  • z1⋅z2¯=z¯1⋅z¯2{displaystyle {overline {z_{1}cdot z_{2}}}={bar {z}}_{1}cdot {bar {z}}_{2}} 
  • z1/z2¯=z¯1/z¯2{displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}={bar {z}}_{1}/{bar {z}}_{2}} 
  • Rez=z+z¯2;Imz=z−z¯2i.{displaystyle operatorname {Re} ,z={frac {z+{bar {z}}}{2}};quad operatorname {Im} ,z={frac {z-{bar {z}}}{2i}}.} 

Обобщение: p(z)¯=p(z¯){displaystyle {overline {pleft(zright)}}=pleft({bar {z}}right)}

 , где p(z){displaystyle pleft(zright)}  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число z{displaystyle z}  является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число z¯{displaystyle {overline {z}}}  тоже является его корнем. Из этого следует, что мнимые (комплексные невещественные) корни такого многочлена разбиваются на пары комплексно-сопряжённых[16].

Пример

Тот факт, что произведение zz¯{displaystyle z{bar {z}}}

  есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение[19], например:

2+5i3−4i=(2+5i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−14+23i25=−1425+2325i.{displaystyle {frac {2+5i}{3-4i}}={frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={frac {-14+23i}{25}}=-{frac {14}{25}}+{frac {23}{25}}i.} 

Формы представления комплексного числа

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа z{displaystyle z}

  в виде x+iy{displaystyle x+iy} ; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

  Тригонометрическое представление

Если вещественную x{displaystyle x}

  и мнимую y{displaystyle y}  части комплексного числа выразить через модуль r=|z|{displaystyle r=left|zright|}  и аргумент φ{displaystyle varphi }  (то есть x=rcos⁡φ{displaystyle x=rcos varphi } , y=rsin⁡φ{displaystyle y=rsin varphi } ), то всякое комплексное число z{displaystyle z} , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[14]:

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){displaystyle z=rleft(cos varphi +isin varphi right)} 

Как уже сказано выше, для нуля аргумент φ{displaystyle varphi }

  не определён; для ненулевого числа φ{displaystyle varphi }  определяется с точностью до целого кратного 2π{displaystyle 2pi } .

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[19]:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi ,} 

где e{displaystyle e}

  — число Эйлера, cos{displaystyle cos } , sin{displaystyle sin }  — функции косинуса и синуса, eiφ{displaystyle e^{ivarphi }}  — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай мнимого показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[19]:

z=reiφ{displaystyle z=re^{ivarphi }} 

Следствия

(1) Модуль выражения eiφ,{displaystyle e^{ivarphi },}  где φ{displaystyle varphi }  вещественно, равен 1.
(2) cos⁡φ=eiφ+e−iφ2;sin⁡φ=eiφ−e−iφ2i{displaystyle cos varphi ={frac {e^{ivarphi }+e^{-ivarphi }}{2}};quad sin varphi ={frac {e^{ivarphi }-e^{-ivarphi }}{2i}}}  — при мнимом φ{displaystyle varphi }  эти равенства могут служить определением косинуса и синуса.

Пример[20]. Представим в тригонометрической и показательной форме число z=−1−3i:{displaystyle z=-1-{sqrt {3}}i:}

 

|z|=(−1)2+(−3)2=1+3=2{displaystyle |z|={sqrt {(-1)^{2}+(-{sqrt {3}})^{2}}}={sqrt {1+3}}=2} ;
φ=−π+arctg⁡(−3−1)=−π+arctg⁡(3)=−2π3{displaystyle varphi =-pi +operatorname {arctg} {Bigl (}{frac {-{sqrt {3}}}{-1}}{Bigr )}=-pi +operatorname {arctg} ({sqrt {3}})=-{frac {2pi }{3}}}  (поскольку z{displaystyle z}  находится в III координатной четверти).

Отсюда:

z=2(cos⁡−2π3+isin⁡−2π3)=2ei−2π3{displaystyle z=2left(cos {frac {-2pi }{3}}+isin {frac {-2pi }{3}}right)=2e^{i{frac {-2pi }{3}}}} 

Формула Муавра и извлечение корней

Основная статья: Формула Муавра

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[10]:

zn=[r(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ){displaystyle z^{n}=left[rleft(cos varphi +isin varphi right)right]^{n}=r^{n}left(cos nvarphi +isin nvarphi right)} ,

где r{displaystyle r}

  — модуль, а φ{displaystyle varphi }  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом n{displaystyle n} , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n{displaystyle n}

 -й степени из ненулевого комплексного числа[19]:

z1/n=[r(cos⁡(φ+2πk)+isin⁡(φ+2πk))]1/n==rn(cos⁡φ+2πkn+isin⁡φ+2πkn),k∈{0,1,…,n−1}.{displaystyle {begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=left[rleft(cos left(varphi +2pi kright)+isin left(varphi +2pi kright)right)right]^{1/n}=&={sqrt[{n}]{r}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),quad kin {0,;1,;ldots ,;n-1}.end{alignedat}}} 

  Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Это значит, что корни n{displaystyle n}

 -й степени из ненулевого комплексного числа, где n∈N{displaystyle nin mathbb {N} } , всегда существуют, и их количество равно n{displaystyle n} . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n{displaystyle n} -угольника, вписанного в окружность радиуса rn{displaystyle {sqrt[{n}]{r}}}  с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента φ{displaystyle varphi }

  выбрано его главное значение, а в качестве k{displaystyle k}  — 0, то полученное значение корня называется главным значением корня (например, главное значение числа 2+11i3{displaystyle {sqrt[{3}]{2+11i}}}  есть 2+i{displaystyle 2+i} ). Согласно такому определению если показатель корня отрицателен, то главное значение корня обратно главному значению этого же корня, но с противоположным показателем: −38+41i−5=1−38+41i5=12+i=2−i5.{displaystyle {sqrt[{-5}]{-38+41i}}={tfrac {1}{sqrt[{5}]{-38+41i}}}={tfrac {1}{2+i}}={tfrac {2-i}{5}}.} 

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из неотрицательного комплексного числа, записанного в стандартном формате a+bi,{displaystyle a+bi,}

  можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для n=2.{displaystyle n=2.}  Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня: ±(c+di),{displaystyle pm (c+di),}  где[21]:

c=a+a2+b22=a+|a+bi|2,{displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}={sqrt {frac {a+|a+bi|}{2}}},} 
d=sgn⁡(b)−a+a2+b22=sgn⁡(b)−a+|a+bi|2.{displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+|a+bi|}{2}}}.} 

Здесь sgn{displaystyle operatorname {sgn} }

  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением c+di{displaystyle c+di}  в квадрат. Указанное число c+di{displaystyle c+di}  является главным значением квадратного корня.

Но если a+bi{displaystyle a+bi}

  — отрицательное число, то вышеуказанная формула в алгебраическом виде неверна и нужно использовать определение главной части корня непосредственно через саму формулу Муавра: тогда главным значением выбирают число с положительной мнимой частью (к примеру, −4=2i{displaystyle {sqrt {-4}}=2i} ). Однако к извлечению корня чётной степени из отрицательного числа, вообще, нужно относиться с опасением (замечания выше).

Как вывести формулу

Пусть даны такие вещественные числа a,b{displaystyle a,b}

  что b≠0,{displaystyle bneq 0,}  и нужно найти такие вещественные c,d,{displaystyle c,d,}  что (c+di)2=a+bi{displaystyle (c+di)^{2}=a+bi}  ⟺{displaystyle Longleftrightarrow }  (c2−d2)+2cdi=a+bi.{displaystyle (c^{2}-d^{2})+2cdi=a+bi.}  Так как все эти переменные вещественны, то вещественную и мнимую части вышеуказанных чисел можно свести к такой системе уравнений:

{c2−d2=a,2cd=b,{displaystyle {begin{cases}c^{2}-d^{2}=a,2cd=b,end{cases}}}

 

{c2−a24c2=a⟺c2=12(a±a2+b2),d=b2c,{displaystyle {begin{cases}c^{2}-{tfrac {a^{2}}{4c^{2}}}=aLongleftrightarrow c^{2}={tfrac {1}{2}}(apm {sqrt {a^{2}+b^{2}}}),d={tfrac {b}{2c}},end{cases}}}

 

где на месте плюс-минуса нужно выбрать плюс, чтобы число c было вещественным, каким оно и задано,

{c=±12(a+|a+bi|),d=b212(a+|a+bi|)−2=±sgn⁡(b)12(a−|a+bi|).{displaystyle {begin{cases}c=pm {sqrt {{tfrac {1}{2}}(a+|a+bi|)}},d={tfrac {b}{2}}{sqrt[{-2}]{{tfrac {1}{2}}(a+|a+bi|)}}=pm operatorname {sgn}(b){sqrt {{tfrac {1}{2}}(a-|a+bi|)}}.end{cases}}}

 

Пример: для квадратного корня из 3+4i{displaystyle 3+4i}

  формулы дают два значения: 2+i;−2−i,{displaystyle 2+i;;-2-i,}  — первое из каких является главным значением.

Если показатель корня нечётен и не равен ±1

В таком случае если корень из мнимого числа попытаться разложить на действительную и мнимую части в виде радикалов, то в общем случае под этими радикалами снова появятся корни нечётной степени из мнимых чисел и это никак нельзя упростить с помощью радикалов, под которыми были бы только вещественные числа, — таким образом, получается замкнутый круг.

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5+−15{displaystyle 5+{sqrt {-15}}}

  и 5−−15{displaystyle 5-{sqrt {-15}}} . В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[22].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение x3=15x+4{displaystyle x^{3}=15x+4}

  имеет вещественный корень x=4{displaystyle x=4} , однако по формулам Кардано получаем: x=2+11i3+2−11i3{displaystyle x={sqrt[{3}]{2+11i}}+{sqrt[{3}]{2-11i}}} . Бомбелли обнаружил, что 2±11i3=2±i{displaystyle {sqrt[{3}]{2pm 11i}}=2pm i} , так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[23][22].

Выражения, представимые в виде a+b−1{displaystyle a+b{sqrt {-1}}}

 , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где b≠0{displaystyle bneq 0} , стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к мнимым числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты[22].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным (то есть вещественным или мнимым) результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n{displaystyle n}

  из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[24].

Символ i{displaystyle i}

  для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взяв для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[25]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[23]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[26].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее легализации мнимых чисел, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[27]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.[2][28].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции

Аналитические функции

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексная функция одной переменной — это функция w=f(z){displaystyle w=f(z)}

 , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам z{displaystyle z}  этой области комплексные значения w{displaystyle w} [29]. Примеры:

w=z2+z+1;w=z+1z{displaystyle w=z^{2}+z+1;quad w=z+{frac {1}{z}}} 

Каждая комплексная функция w=f(z)=f(x+iy){displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}

  может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f(z)=u(x,y)+iv(x,y){displaystyle f(z)=u(x,;y)+iv(x,;y)} , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u{displaystyle u} , v{displaystyle v}  называются компонентами комплексной функции f(z).{displaystyle f(z).}  Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[29].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль |w|=|f(z)|,{displaystyle |w|=|f(z)|,}

  то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции[30].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них по определению будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[29], например:

sin2⁡z+cos2⁡z=1;eu⋅ev=eu+v{displaystyle sin ^{2}z+cos ^{2}z=1;qquad e^{u}cdot e^{v}=e^{u+v}} 

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[29].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[31].

  • Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
  • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z{displaystyle z}  комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути[32].

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

  • w=z+c{displaystyle w=z+c}  — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки c.{displaystyle c.} 
  • w=uz{displaystyle w=uz} , где u{displaystyle u}  — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу u.{displaystyle u.} 
  • w=z¯{displaystyle w={bar {z}}}  — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции w=uz+c{displaystyle w=uz+c}

  и w=uz¯+c{displaystyle w=u{bar {z}}+c}  дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[33].

Другие линейные преобразования[33]:

  • w=rz{displaystyle w=rz} , где r{displaystyle r}  — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом r{displaystyle r} , если r>1,{displaystyle r>1,}  илисжатие в 1r{displaystyle {tfrac {1}{r}}}  раз, если r<1;{displaystyle r<1;} 
  • преобразования w=az+b{displaystyle w=az+b}  и w=az¯+b{displaystyle w=a{bar {z}}+b} , где a,b{displaystyle a,b}  — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
  • преобразование w=az+bz¯+c,{displaystyle w=az+b{bar {z}}+c,}  где |a|≠|b|,{displaystyle |a|neq |b|,}  — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости; при |a|=|b|{displaystyle |a|=|b|}  преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую.

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[34]:

w=az+bcz+d.{displaystyle w={frac {az+b}{cz+d}}.} 

При этом ad≠bc{displaystyle adneq bc}

  (иначе функция w(z){displaystyle w(z)}  вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности, куда входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[34].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия w=1/z¯,{displaystyle w=1/{bar {z}},}

  функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности, но без отражения относительно некоторой оси комплексной плоскости.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[35]:

  • Три (различные) точки z1,z2,z3{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}  лежат на одной прямой, только если выполняется условие:
z1−z3z2−z3{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}  является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки z1,z2,z3,z4{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}  лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой), только если выполняется условие:
отношение z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}}  является вещественным числом.
  • Если даны три вершины параллелограмма: z1,z2,z3,{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},}  то четвёртая определяется равенством[36]: z4=z1−z2+z3.{displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.} 

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[37]:

z=ut+v,{displaystyle z=ut+v,}  где u,v{displaystyle u,v}  — комплексные числа, u≠0,t{displaystyle uneq 0,t}  — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми z=ut+v{displaystyle z=ut+v}

  и z=u′t+v′{displaystyle z=u’t+v’}  равен arg⁡(u′/u).{displaystyle operatorname {arg} (u’/u).}  В частности, прямые перпендикулярны, только когда u′/u{displaystyle u’/u}  — чисто мнимое число. Две прямые параллельны, только когда u′/u{displaystyle u’/u}  есть вещественное число; если при этом (v′−v)/u{displaystyle (v’-v)/u}  также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая z=ut+v{displaystyle z=ut+v}  рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение t=Im⁡z−vu{displaystyle t=operatorname {Im} {frac {z-v}{u}}}  положительно, на другой — отрицательно[37].

Уравнение окружности с центром c{displaystyle c}

  и радиусом r{displaystyle r}  имеет чрезвычайно простой вид: |z−c|=r.{displaystyle |z-c|=r.}  Неравенство |z−c|<r{displaystyle |z-c|<r}  описывает внутренность окружности (открытый круг)[37]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[38]: z=c+eiφ.{displaystyle z=c+e^{ivarphi }.} 

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} }

  образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел R.{displaystyle mathbb {R} .}  Основное алгебраическое свойство C{displaystyle mathbb {C} }  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что C{displaystyle mathbb {C} }  есть алгебраическое замыкание[39] поля R.{displaystyle mathbb {R} .} 

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность C{displaystyle mathbb {C} }

  как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями R{displaystyle mathbb {R} }  — поле комплексных чисел и тело кватернионов[40].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем R.{displaystyle mathbb {R} .}

 

Поле C{displaystyle mathbb {C} }

  допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[41].

Поля R{displaystyle mathbb {R} }

  и C{displaystyle mathbb {C} }  — единственные связные локально компактные топологические поля[42].

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение[43][44].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида a+bi,{displaystyle a+bi,}

  где a,b{displaystyle a,b}  — целые числа[45]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[46].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

11+x2=1−x2+x4−x6+…{displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+ldots } 

Этот ряд сходится только в интервале (−1;1){displaystyle (-1;;1)}

 , хотя точки ±1{displaystyle pm 1}  не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного f(z)=11+z2{displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}} , у которой обнаруживаются две особые точки: полюса ±i{displaystyle pm i} . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса[47].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[48]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[49]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[50]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[51].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики см. статью Комплексный тип данных.

Конформное отображение

  Пример конформного преобразованияОсновная статья: Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[52]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[53][54] и гидродинамике[55].

Квантовая механика

Основная статья: Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты x^{displaystyle {hat {x}}}

  и импульса p^x{displaystyle {hat {p}}_{x}}  представляет собой мнимое число[56]:

[x^,p^x]=x^p^x−p^xx^=iℏ{displaystyle left[{hat {x}},{hat {p}}_{x}right]={hat {x}}{hat {p}}_{x}-{hat {p}}_{x}{hat {x}}=ihbar } 

Здесь ℏ{displaystyle hbar }

  — редуцированная постоянная Планка h{displaystyle h} , то есть h/2π{displaystyle h/2pi }  (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[56].

Электротехника

Основная статья: Теория электрических цепей

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи[57]. Ввиду того, что традиционно символ i{displaystyle i}

  в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j{displaystyle j,} [58]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из (t,x){displaystyle (t,x)} — в (ω,k){displaystyle (omega ,k)} -пространство (где t{displaystyle t}  — время, ω{displaystyle omega }  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[59].

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Схожие проблемы возникли при попытке расширить поле комплексных чисел до поля с двумя мнимыми единицами. Как оказалось, эта теория действительна привела к внутренним противоречиям — поэтому вместо них Гамильтон предложил кватернионы.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} }

 , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } . А именно, определим C{displaystyle mathbb {C} }  как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и квадратный корень из −1 (мнимую единицу). Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[60][61].

С1: Для всяких комплексных чисел u,v{displaystyle u,v}  определена их сумма u+v{displaystyle u+v} .
С2: Сложение коммутативно: u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u} . Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких u,v,w{displaystyle u,v,w} ».
С3: Сложение ассоциативно: (u+v)+w=u+(v+w).{displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).} 
С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что u+0=u{displaystyle u+0=u} .
С5: Для всякого комплексного числа u{displaystyle u}  существует противоположный ему элемент −u{displaystyle -u}  такой, что u+(−u)=0.{displaystyle u+(-u)=0.} 
С6: Для всяких комплексных чисел u,v{displaystyle u,v}  определено их произведение uv{displaystyle uv} .
С7: Умножение коммутативно: uv=vu.{displaystyle uv=vu.} 
С8: Умножение ассоциативно: (uv)w=u(vw).{displaystyle (uv)w=u(vw).} 
С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: (u+v)w=uw+vw.{displaystyle (u+v)w=uw+vw.} 
С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что u⋅1=u{displaystyle ucdot 1=u} .
С11: Для всякого ненулевого числа u{displaystyle u}  существует обратное ему число u′{displaystyle u’}  такое, что u⋅u′=1.{displaystyle ucdot u’=1.} 
С12: Множество комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} }  содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } . Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой R{displaystyle mathbb {R} } .
С13: Существует элемент i{displaystyle i}  (мнимая единица) такой, что i2+1=0.{displaystyle i^{2}+1=0.} 
С14 (аксиома минимальности): Пусть M{displaystyle M}  — нестрогое подмножество C{displaystyle mathbb {C} } , которое: содержит R{displaystyle mathbb {R} }  и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда M{displaystyle M}  совпадает со всем C{displaystyle mathbb {C} } .

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что C{displaystyle mathbb {C} }

  образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением R.{displaystyle mathbb {R} .}  Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны[62].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[63].

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[64].

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара (a,b){displaystyle (a,b)}

  будет соответствовать комплексному числу a+bi.{displaystyle a+bi.} [65]

Далее определим[64]:

  1. Пары (a,b){displaystyle (a,b)}  и (c,d){displaystyle (c,d)}  считаются равными, если a=c{displaystyle a=c}  и b=d{displaystyle b=d} .
  2. Сложение: сумма пар (a,b){displaystyle (a,b)}  и (c,d){displaystyle (c,d)}  определяется как пара (a+c,b+d){displaystyle (a+c,b+d)} .
  3. Умножение: произведение пар (a,b){displaystyle (a,b)}  и (c,d){displaystyle (c,d)}  определяется как пара (ac−bd,ad+bc){displaystyle (ac-bd,ad+bc)} .

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}

 :

(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+i(ad+bc){displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)} 

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами (a,0){displaystyle (a,0)}

 , образующими подполе R{displaystyle mathbb {R} } , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары (0,0){displaystyle (0,0)}  и (1,0){displaystyle (1,0)}  соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара (0,1){displaystyle (0,1)}

 . Квадрат её равен (−1,0){displaystyle left(-1,;0right)} , то есть −1.{displaystyle -1.}  Любое комплексное число можно записать в виде (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.{displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.} 

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[64].

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

(x−yyx){displaystyle {begin{pmatrix}x&-yy&xend{pmatrix}}} 

с обычным матричным сложением и умножением[2]. Вещественной единице будет соответствовать

(1001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0&1end{pmatrix}}} ,

мнимой единице —

(0−110){displaystyle {begin{pmatrix}0&-11&0end{pmatrix}}} .

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy{displaystyle x+iy}

  является линейным оператором. В базисе e1=1,e2=i{displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i}  линейный оператор A умножения на x+iy{displaystyle x+iy}  представляется указанной выше матрицей, так как[2]:

(x+iy)⋅1=x⋅1+y⋅i{displaystyle (x+iy)cdot 1=xcdot 1+ycdot i} 
(x+iy)⋅i=(−y)⋅1+x⋅i{displaystyle (x+iy)cdot i=(-y)cdot 1+xcdot i} 

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[66].

Модель факторкольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов R[x]{displaystyle mathbb {R} [x]}

  с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена x2+1{displaystyle x^{2}+1}  (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из R[x]{displaystyle mathbb {R} [x]}  мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен x2+1{displaystyle x^{2}+1}  они дают одинаковые остатки. Например, многочлен x2{displaystyle x^{2}}  будет эквивалентен константе −1{displaystyle -1} , многочлен x3{displaystyle x^{3}}  будет эквивалентен −x{displaystyle -x}  и т. д.[67]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен x2+1{displaystyle x^{2}+1}

  неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен i(x)=x{displaystyle i(x)=x} , поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен −1.{displaystyle -1.}  Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида a+bx{displaystyle a+bx}  (от деления на x2+1{displaystyle x^{2}+1} ), который в силу сказанного можно записать как a+bi.{displaystyle a+bi.}  Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[67].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[68].

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} }

 ). Кроме того, любой базис трансцендентности C{displaystyle mathbb {C} }  над Q{displaystyle mathbb {Q} }  имеет мощность континуум[K 3]. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей[69][70][K 4].

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание Q¯p{displaystyle {overline {mathbb {Q} }}_{p}}

  поля p{displaystyle p} -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако p{displaystyle p} -адическая норма не является архимедовой[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма[71]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в p{displaystyle p} -адическом[71].

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые i,j,k.{displaystyle i,j,k.}

  Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[72].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[72].

Примечания

Комментарии
  1. ↑ Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
    • Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).
  2. ↑ При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.
  3. ↑ То есть отличается от Q(xi),i∈R{displaystyle mathbb {Q} (x_{i}),iin mathbb {R} }  (поля рациональных функций для набора переменных xi{displaystyle x_{i}}  мощности континуум) на алгебраическое расширение
  4. ↑ Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.
Использованная литература
  1. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.
  2. ↑ 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.
  3. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.
  4. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.
  6. ↑ Real Part (неопр.). Дата обращения: 16 января 2018.
  7. ↑ Imaginary Part (неопр.). Дата обращения: 16 января 2018.
  8. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.
  9. ↑ История математики, том III, 1972, с. 72.
  10. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
  11. ↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66.
  12. ↑ 1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition». — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.
  13. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.
  15. ↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.
  16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.
  17. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.
  18. ↑ 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851.
  19. ↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.
  20. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.
  21. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.
  22. ↑ 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  23. ↑ 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.
  24. ↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61.
  25. ↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.
  26. ↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного (неопр.). Дата обращения: 30 ноября 2017.
  27. ↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).
  28. ↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.
  29. ↑ 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.
  30. ↑ Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.
  31. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.
  32. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.
  33. ↑ 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.
  34. ↑ 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.
  35. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 43.
  36. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.
  37. ↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
  38. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.
  39. ↑ Числовые системы, 1975, с. 165.
  40. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.
  41. ↑ Числовые системы, 1975, с. 167.
  42. ↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.
  43. ↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.
  44. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.
  45. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.
  46. ↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  47. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 14.
  48. ↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.
  49. ↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838.
  50. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.
  51. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.
  52. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.
  53. ↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13).
  54. ↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System (неопр.). Дата обращения: 28 января 2018.
  55. ↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.
  56. ↑ 1 2 Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
  57. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.
  58. ↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.
  59. ↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
  60. ↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165.
  61. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.
  62. ↑ Числовые системы, 1975, с. 166.
  63. ↑ Real and Complex Numbers (неопр.). Дата обращения: 13 февраля 2018.
  64. ↑ 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.
  65. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.
  66. ↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.
  67. ↑ 1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
  68. ↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.
  69. ↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения.
  70. ↑ William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality ℵ1{displaystyle aleph _{1}}  are isomorphic и комментарий после неё.
  71. ↑ 1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле Qp{displaystyle Q_{p}}  локально компактно».
  72. ↑ 1 2 Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 

Литература

Комплексные числа:

Ссылки

Вам также может быть интересно
Художник Алексей Сергиенко намерен продать более 1000 картин за 8 часов
Арт-бизнесмен и художник из Санкт-Петербурга Алексей Сергиенко объявил о старте проекта «Библиотека», призванного поддержать
Мармакс: доля клиентов, заинтересованных в трейд-ин, выросла до 50%
В современных реалиях на рынке недвижимости набирает популярность услуга трейд-ин. По данным экспертов девелоперской