Непрерывное отображение

Разделы:

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т.п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т.д.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Содержание

1 Определения
2 Свойства непрерывных отображений
3 Связанные определения
4 См. также
5 Ссылки
6 Примечания
7 Литература

Определения

Наиболее общее определение даётся в топологии. Это определение глобально, поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать локально в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Общее топологическое определение

Отображение f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}

$fcolon Xto Y$ топологического пространства (X,TX){displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X})} $(X,mathcal{T}_X)$ в топологическое пространство (Y,TY){displaystyle (Y,{mathcal {T}}_{Y})} $(Y,mathcal{T}_Y)$ называется непрерывным в целом или просто непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

∀V∈TYf−1(V)∈TX{displaystyle forall Vin {mathcal {T}}_{Y}quad f^{-1}(V)in {mathcal {T}}_{X}}

forall Vin {mathcal {T}}_{Y}quad f^{{-1}}(V)in {mathcal {T}}_{X}

Существуют также и другие эквивалентные определения непрерывности отображения:

прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Непрерывность в точке

В математическом анализе принято исходить из непрерывности в точке.

Отображение f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}

$fcolon Xto Y$ называется непрерывным в точке x{displaystyle x} $x$ , если для любой окрестности образа точки V=Vf(x){displaystyle V=V_{f(x)}} ${displaystyle V=V_{f(x)}}$ найдется такая окрестность U=Ux{displaystyle U=U_{x}} ${displaystyle U=U_{x}}$ , что f(U)⊂V{displaystyle f(U)subset V} $f(U)subset V$ .

Отображение непрерывно на некотором множестве, если оно непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение непрерывно (в целом) тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства. В рамках глобального топологического определения последнее утверждение является теоремой. В математическом анализе это обычно определение.

Непрерывность и предел

Непрерывность отображения определяется также на основании общего понятия сходящейся последовательности точек топологического пространства следующим образом: отображение f{displaystyle f}

$f$ называется непрерывным в точке x{displaystyle x} $x$ , если для любой последовательности xn{displaystyle x_{n}} $x_{n}$ , сходящейся к x{displaystyle x} $x$ , последовательность f(xn){displaystyle f(x_{n})} ${displaystyle f(x_{n})}$ сходится к f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ , то есть:

xn→x⇒f(xn)→f(x){displaystyle x_{n}rightarrow xRightarrow f(x_{n})rightarrow f(x)}

${displaystyle x_{n}rightarrow xRightarrow f(x_{n})rightarrow f(x)}$ или limn→∞f(xn)=f(limn→∞xn)=f(x){displaystyle lim _{nrightarrow infty }f(x_{n})=f(lim _{nrightarrow infty }x_{n})=f(x)} ${displaystyle lim _{nrightarrow infty }f(x_{n})=f(lim _{nrightarrow infty }x_{n})=f(x)}$

Определенная таким образом непрерывность может быть названа секвенциальной непрерывностью (не является общепринятым термином). В случае, если топология удовлетворяет первой аксиоме счётности секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики («эпсилон-дельта» — определение):

Отображение f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}

$fcolon Xto Y$ метрического пространства (X,ρX){displaystyle (X,rho _{X})} $(X,rho _{X})$ в метрическое пространство (Y,ρY){displaystyle (Y,rho _{Y})} $(Y,rho _{Y})$ называется непрерывным в точке a{displaystyle a} $a$ , если для всякого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует δ>0{displaystyle delta >0} $delta >0$ , что для всякого x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ , такого, что ρX(x,a)<δ{displaystyle rho _{X}(x,a)<delta } $rho _{X}(x,a)<delta$ , выполняется неравенство: ρY(f(x),f(a))<ε{displaystyle rho _{Y}(f(x),f(a))<varepsilon } $rho _{Y}(f(x),f(a))<varepsilon$ .

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, f:N1→N2{displaystyle fcolon {N_{1}}to {N_{2}}}

$fcolon {N_{1}}to {N_{2}}$ отображение между нормированными пространствами с нормами ‖∗‖1{displaystyle |{*}|_{1}} $|{*}|_{1}$ и ‖∗‖2{displaystyle |{*}|_{2}} $|{*}|_{2}$ соответственно. Функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ , если для любого числа ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ найдётся такое число δ>0{displaystyle delta >0} $delta >0$ , что для всех точек x∈N1{displaystyle xin N_{1}} $xin N_{1}$ , таких что ‖x−a‖1<δ{displaystyle |x-a|_{1}<delta } $|x-a|_{1}<delta$ выполнено неравенство ‖f(x)−f(a)‖2<ε{displaystyle |f(x)-f(a)|_{2}<varepsilon } $|f(x)-f(a)|_{2}<varepsilon$ ,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала f:X→R{displaystyle f:Xrightarrow mathbb {R} }

$f:Xrightarrow {mathbb {R}}$ (или C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$ .), где X{displaystyle X} $X$ — произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал f{displaystyle f}

$f$ , называется непрерывным в точке a∈X{displaystyle ain X} $ain X$ , если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ найдется окрестность Σa{displaystyle Sigma _{a}} $Sigma _{a}$ этой точки, такая, что ∀x∈Σa{displaystyle forall xin Sigma _{a}} $forall xin Sigma _{a}$ выполнено условие |f(x)−f(a)|<ε{displaystyle |f(x)-f(a)|<varepsilon } $|f(x)-f(a)|<varepsilon$ .

Множество непрерывных на X{displaystyle X}

$X$ функционалов (функций) принято обозначать C(X){displaystyle C(X)} $C(X)$ . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

Основная статья: Непрерывная функция

Пусть, f:R⊃E→R{displaystyle fcolon mathbb {R} supset Eto mathbb {R} }

$fcolon {mathbb {R}}supset Eto {mathbb {R}}$ . (или C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$ .). Функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ , если для любого числа ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ найдётся такое число δ>0{displaystyle delta >0} $delta >0$ , что для всех точек x∈E{displaystyle xin E} $xin E$ условие |x−a|<δ{displaystyle |x-a|<delta } $|x-a|<delta$ влечет |f(x)−f(a)|<ε{displaystyle |f(x)-f(a)|<varepsilon } $|f(x)-f(a)|<varepsilon$ .

Другими словами, функция f{displaystyle f}

$f$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ , предельной для множества E{displaystyle E} $E$ , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

f∈C({a})⇔limx→af(x)=f(a){displaystyle fin C({a})Leftrightarrow lim limits _{xto a}f(x)=f(a)}

fin C({a})Leftrightarrow lim limits _{{xto a}}f(x)=f(a)

Функция f{displaystyle f}

$f$ непрерывна на множестве E{displaystyle E} $E$ , если она непрерывна в каждой точке данного множества.В этом случае говорят, что функция f{displaystyle f} $f$ класса C0{displaystyle C^{0}} $C^{0}$ и пишут: f∈C0(E){displaystyle fin C^{0}(E)} $fin C^{0}(E)$ или, подробнее, f∈C0(E,R){displaystyle fin C^{0}(E,mathbb {R} )} $fin C^{0}(E,mathbb {R} )$ .

Свойства непрерывных отображений

Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

Образ связного множества при непрерывном отображении — связное множество.

(Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть C(X){displaystyle C(X)} $C(X)$ — пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве X{displaystyle X} $X$ . Пусть B(X){displaystyle B(X)} $B(X)$ — подмножество C(X){displaystyle C(X)} $C(X)$ , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае B(X)=C(X){displaystyle B(X)=C(X)} $B(X)=C(X)$ тогда и только тогда, когда ∀x1,x2∈X{displaystyle forall x_{1},x_{2}in X} $forall x_{1},x_{2}in X$ , существует f∈B{displaystyle fin B} $fin B$ , такая что f(x1)≠f(x2){displaystyle f(x_{1})not =f(x_{2})} $f(x_{1})not =f(x_{2})$ .

Связанные определения

Гомеоморфизм — непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
Равномерная непрерывность

См. также

Ссылки

Математические Этюды Мультик про непрерывность

Примечания

Литература

Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.

Шаблон:Link FA