Конус (топология)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения).

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства X{displaystyle X} $X$ стягиванием подпространства X×{0}{displaystyle Xtimes {0}} $Xtimes {0}$ его цилиндра (X×[0,1]{displaystyle Xtimes [0,1]} $X times [0, 1]$ ) в одну точку, то есть, факторпространство (X×[0,1])/(X×{0}){displaystyle (Xtimes [0,1])/(Xtimes {0})} $(X times [0, 1])/(X times {0})$ . Конус над пространством X{displaystyle X} $X$ обозначается CX{displaystyle mathrm {C} X} $mathrm CX$ .

Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Если X{displaystyle X} $X$ — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над X{displaystyle X} $X$ гомеоморфен объединению отрезков из X{displaystyle X} $X$ в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Содержание

1 Примеры
2 Свойства
3 Конический функтор
4 Приведённый конус
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Примеры

Конус над точкой p{displaystyle p}

$p$ вещественной прямой — это интервал {p}×[0,1]{displaystyle {p}times [0,1]} ${p} times [0,1]$ , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником P{displaystyle P} $P$ — это пирамида с основанием P{displaystyle P} $P$ . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

{(x,y,z)∈R3∣x2+y2=z2∧0⩽z⩽1}{displaystyle {(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}=z^{2}wedge 0leqslant zleqslant 1}}

{(x,y,z) in mathbb R^3 mid x^2 + y^2 = z^2 wedge 0leqslant zleqslant 1}

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому (n+1){displaystyle (n+1)}

$(n+1)$ -мерному шару. Конус над n{displaystyle n} $n$ —симплексом — (n+1){displaystyle (n+1)} $(n+1)$ -симплекс.

Свойства

Конус CX{displaystyle mathrm {C} X}

$mathrm CX$ может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения X→{0}{displaystyle Xto {0}} $X to {0}$ [1].

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой ht(x,s)=(x,(1−t)s){displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)}

$h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$ .

Если X{displaystyle X}

$X$ является компактным и хаусдорфовым, то конус CX{displaystyle mathrm {C} X} $mathrm CX$ можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку X{displaystyle X} $X$ с единственной точкой; если X{displaystyle X} $X$ не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве CX{displaystyle mathrm {C} X} $mathrm CX$ будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих X{displaystyle X} $X$ с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство X{displaystyle X}

$X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

Отображение X↦CX{displaystyle Xmapsto mathrm {C} X}

$Xmapsto mathrm C X$ порождает конический функтор — эндофунктор C:Top→Top{displaystyle mathrm {C} :mathbf {Top} to mathbf {Top} } $mathrm C:mathbf{Top} to mathbf {Top}$ над категорией топологических пространств Top{displaystyle mathbf {Top} } $mathbf {Top}$ .

Приведённый конус

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством [en][2](X,x0){displaystyle (X,x_{0})}

$(X,x_{0})$ :

C(X,x0)=(X×[0,1])/((X×{0})∪({x0}×[0,1])){displaystyle mathrm {C} (X,x_{0})={big (}Xtimes [0,1]{big )}/{big (}(Xtimes left{0right})cup (left{x_{0}right}times [0,1]){big )}}

mathrm C (X, x_0) = big( Xtimes [0,1] big) / big( (Xtimes left{0right}) cup (left{x_0right}times [0,1]) big)

Естественное вложение x↦(x,1){displaystyle xmapsto (x,1)}

$x mapsto (x,1)$ позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса[3].

См. также

Примечания

↑ Спеньер, 1971, с. 77.
↑ Свитцер, 1985, с. 13.
↑ Спеньер, 1971, с. 469.

Литература

Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971.