Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора Tij{displaystyle T_{ij}} — это симметричный тензор T(ij)=12(Tij+Tji){displaystyle scriptstyle T_{(ij)}={1 over 2}left(T_{ij}+T_{ji}right)}, а антисимметризация — антисимметричный тензор T[ij]=12(Tij−Tji){displaystyle scriptstyle T_{[ij]}={1 over 2}left(T_{ij}-T_{ji}right)}.

Операция симметризации:

A(m1…mk)mk+1mqn1…np=1k!∑σ(m1…mk)Aσ(m1)…σ(mk)mk+1mqn1…np{displaystyle A_{(m_{1}ldots m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}ldots n_{p}}={frac {1}{k!}}sum _{sigma (m_{1}ldots m_{k})}A_{sigma (m_{1})ldots sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}ldots n_{p}}}.

Суммирование ведётся по всем перестановкам σ(m1…mk){displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{k})} индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

A(klm)=13!(Aklm+Almk+Amkl+Akml+Alkm+Amlk){displaystyle A_{(klm)}={frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})}.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

A[m1…mk]mk+1mqn1…np=1k!∑σ(m1…mk)sgn⁡σ⋅Aσ(m1)…σ(mk)mk+1mqn1…np{displaystyle A_{[m_{1}ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}ldots n_{p}}={frac {1}{k!}}sum _{sigma (m_{1}ldots m_{k})}operatorname {sgn} sigma cdot A_{sigma (m_{1})ldots sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}ldots n_{p}}}.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам σ(m1…mk){displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{k})} индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки sgn⁡σ{displaystyle operatorname {sgn} sigma }. Примеры:

A[klm]=13!(Aklm+Almk+Amkl−Akml−Alkm−Amlk){displaystyle A_{[klm]}={frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})};

Akq[lBprm]=12!(AkqlBprm−AkqmBprl){displaystyle A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m}-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})}.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель 1k!{displaystyle {frac {1}{k!}}} в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризации

• Если Ti1…in{displaystyle T_{i_{1}ldots i_{n}}}  симметричен по i1…in,{displaystyle i_{1}ldots i_{n},}  то симметризация по этим индексам совпадает с T,{displaystyle T,}  а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности T{displaystyle T}  по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с T{displaystyle T} , а симметризация даст нулевой тензор.
• Если Tij∈V⊗V,{displaystyle T_{ij}in Votimes V,}  то T(ij)∈V∨V,{displaystyle T_{(ij)}in Vvee V,}  T[ij]∈V∧V.{displaystyle T_{[ij]}in Vwedge V.}  Здесь ∨{displaystyle vee }  — симметричное, а ∧{displaystyle wedge }  — внешнее произведение векторных пространств.