Сферическая система координат

• Разделы:
  • Переход к другим системам координат
  • Дифференциальные характеристики
  • Математическое моделирование Земли
  • См. также
  • Ссылки

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами (r,θ,φ){displaystyle (r,;theta ,;varphi )}, где r{displaystyle r} — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а θ{displaystyle theta } и φ{displaystyle varphi } — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы Oxyz{displaystyle Oxyz}, фундаментальной плоскостью будет плоскость xy{displaystyle xy}, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором P{displaystyle P}, будет угол между P{displaystyle P} и осью z{displaystyle z}, а азимутом — угол между проекцией P{displaystyle P} на плоскость xy{displaystyle xy} и осью x{displaystyle x}. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Содержание

• 1 Определения
• 2 Переход к другим системам координат
  • 2.1 Декартова система координат
  • 2.2 Цилиндрическая система координат
• 3 Дифференциальные характеристики
• 4 Математическое моделирование Земли
  • 4.1 Сферическая географическая система координат
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Определения

Положение точки P{displaystyle P}

  в сферической системе координат определяется тройкой (r,θ,φ){displaystyle (r,;theta ,;varphi )} , где

• r⩾0{displaystyle rgeqslant 0}  — расстояние от начала координат до заданной точки P{displaystyle P} .
• 0∘⩽θ⩽180∘{displaystyle 0^{circ }leqslant theta leqslant 180^{circ }}  — угол между осью z{displaystyle z}  и отрезком, соединяющим начало координат и точку P{displaystyle P} .
• 0∘⩽φ<360∘{displaystyle 0^{circ }leqslant varphi <360^{circ }}  — угол между осью x{displaystyle x}  и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P{displaystyle P} , на плоскость xy{displaystyle xy}  (см. рис. 1).

Угол θ{displaystyle theta }

  называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол φ{displaystyle varphi }  — азимутальным. Углы θ{displaystyle theta }  и φ{displaystyle varphi }  не определены при r=0{displaystyle r=0} , также не определён угол φ{displaystyle varphi }  при sin⁡(θ)=0{displaystyle sin(theta )=0}  (то есть при θ=0{displaystyle theta =0}  или θ=180∘{displaystyle theta =180^{circ }} ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла θ{displaystyle theta }

 , используется угол между радиус-вектором точки P{displaystyle P}  и плоскостью xy{displaystyle xy} , равный 90∘−θ{displaystyle 90^{circ }-theta } . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой θ{displaystyle theta } . Широта может изменяться в пределах −90∘⩽θ⩽90∘{displaystyle -90^{circ }leqslant theta leqslant 90^{circ }} . При этом соглашении углы θ{displaystyle theta }  и φ{displaystyle varphi }  не имеют значения при r=0{displaystyle r=0} , так же как и в первом случае, а φ{displaystyle varphi }  не имеет значения при cos⁡(θ)=0{displaystyle cos(theta )=0}  (то есть при θ=−90∘{displaystyle theta =-90^{circ }}  или θ=90∘{displaystyle theta =90^{circ }} ).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки (r,θ,φ){displaystyle (r,;theta ,;varphi )}

 , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

{x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θ.{displaystyle {begin{cases}x=rsin theta cos varphi ,y=rsin theta sin varphi ,z=rcos theta .end{cases}}} 

Обратно, от декартовых к сферическим:

{r=x2+y2+z2,θ=arccos⁡zx2+y2+z2=arctgx2+y2z,φ=arctgyx.{displaystyle {begin{cases}r={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},theta =arccos {dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=mathrm {arctg} {dfrac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},varphi =mathrm {arctg} {dfrac {y}{x}}.end{cases}}} 

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен J=r2sin⁡θ. {displaystyle J=r^{2}sin theta . }

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

dV=dxdydz=J(r,θ,φ)drdθdφ=r2sin⁡θdrdθdφ{displaystyle mathrm {d} V=mathrm {d} x,mathrm {d} y,mathrm {d} z=J(r,theta ,varphi ),mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi =r^{2}sin theta ,,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi } 

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

{ρ=rsin⁡θ,φ=φ,z=rcos⁡θ.{displaystyle {begin{cases}rho =rsin theta ,varphi =varphi ,z=rcos theta .end{cases}}} 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

{r=ρ2+z2,θ=arctgρz,φ=φ.{displaystyle {begin{cases}r={sqrt {rho ^{2}+z^{2}}},theta =mathrm {arctg} {dfrac {rho }{z}},varphi =varphi .end{cases}}} 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим J=r{displaystyle J=r}

 .

Дифференциальные характеристики

Вектор dr{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} }

 , проведённый из точки (r,θ,φ){displaystyle (r,theta ,varphi )}  в точку (r+dr,θ+dθ,φ+dφ){displaystyle (r+mathrm {d} r,,theta +mathrm {d} theta ,,varphi +mathrm {d} varphi )} , равен

dr=drr^+rdθθ^+rsin⁡θdφφ^,{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} =mathrm {d} r,{boldsymbol {hat {r}}}+r,mathrm {d} theta ,{boldsymbol {hat {theta }}}+rsin {theta },mathrm {d} varphi ,mathbf {boldsymbol {hat {varphi }}} ,} 

где

r^=sin⁡θcos⁡φı^+sin⁡θsin⁡φȷ^+cos⁡θk^{displaystyle {boldsymbol {hat {r}}}=sin theta cos varphi {boldsymbol {hat {imath }}}+sin theta sin varphi {boldsymbol {hat {jmath }}}+cos theta {boldsymbol {hat {k}}}} 

θ^=cos⁡θcos⁡φı^+cos⁡θsin⁡φȷ^−sin⁡θk^{displaystyle {boldsymbol {hat {theta }}}=cos theta cos varphi {boldsymbol {hat {imath }}}+cos theta sin varphi {boldsymbol {hat {jmath }}}-sin theta {boldsymbol {hat {k}}}} 

φ^=−sin⁡φı^+cos⁡φȷ^{displaystyle {boldsymbol {hat {varphi }}}=-sin varphi {boldsymbol {hat {imath }}}+cos varphi {boldsymbol {hat {jmath }}}} 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения r,θ,φ{displaystyle r,theta ,varphi }

 , соответственно, а ı^,ȷ^,k^{displaystyle {boldsymbol {hat {imath }}},{boldsymbol {hat {jmath }}},{boldsymbol {hat {k}}}}  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

gij=(1000r2000r2sin2⁡θ),gij=(10001r20001r2sin2⁡θ){displaystyle g_{ij}={begin{pmatrix}1&0&0&r^{2}&0&0&r^{2}sin ^{2}theta end{pmatrix}},quad g^{ij}={begin{pmatrix}1&0&0&{dfrac {1}{r^{2}}}&0&0&{dfrac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}end{pmatrix}}} 

• det(gij)=r4sin2⁡θ. {displaystyle det(g_{ij})=r^{4}sin ^{2}theta . } 
• Квадрат дифференциала длины дуги:

ds2=dr2+r2dθ2+r2sin2⁡θdφ2.{displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2},dtheta ^{2}+r^{2}sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2}.} 

• Коэффициенты Ламе:

Hr=1,Hθ=r,Hφ=rsin⁡θ.{displaystyle H_{r}=1,quad H_{theta }=r,quad H_{varphi }=rsin theta .} 

• Символы Кристоффеля {r,θ,φ}{displaystyle {r,;theta ,;varphi }} :

Γ221=−r,Γ331=−rsin2⁡θ,{displaystyle Gamma _{22}^{1}=-r,quad Gamma _{33}^{1}=-rsin ^{2}theta ,} 

Γ212=Γ122=Γ133=Γ313=1r,{displaystyle Gamma _{21}^{2}=Gamma _{12}^{2}=Gamma _{13}^{3}=Gamma _{31}^{3}={frac {1}{r}},} 

Γ332=−cos⁡θsin⁡θ,Γ233=Γ323=ctgθ.{displaystyle Gamma _{33}^{2}=-cos theta sin theta ,quad Gamma _{23}^{3}=Gamma _{32}^{3}=mathrm {ctg} ,theta .} 

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом[1]:

• ее начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата r{displaystyle r}  отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол θ{displaystyle theta }  есть коширота (дополнение географической широты φ{displaystyle varphi }  до 90∘{displaystyle 90^{circ }} );
• азимутальный угол λ{displaystyle lambda }  совпадает с географической долготой (восточной).

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсфера § Гиперсферические координаты

Ссылки

1. ↑ Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 173—174. ISBN 5-02-000716-1

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.