Центральное многообразие

• Разделы:
  • Сноски

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. [1] Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.[2]

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

x˙=Ax+f(x){displaystyle {dot {x}}=Ax+f(x)}

 ,

где x∈Rn{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}

 , A{displaystyle A}  — линейный оператор, f(x){displaystyle f(x)}  — гладкая функция класса Ck+1{displaystyle C^{k+1}} , причем f(0)=0{displaystyle f(0)=0}  и Df(0)=0{displaystyle Df(0)=0} . Иными словами, Ax{displaystyle Ax}  — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех A{displaystyle A}

 -инвариантных подпространств Rn=Ts⊕Tu⊕Tc{displaystyle mathbb {R} ^{n}=T^{s}oplus T^{u}oplus T^{c}} , где Ts,Tu,Tc{displaystyle T^{s},T^{u},T^{c}}  определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

подпространство	название	спектр A
Ts{displaystyle T^{s}}	устойчивое (stable)	Re⁡λ<0{displaystyle operatorname {Re} lambda <0}
Tu{displaystyle T^{u}}	неустойчивое (unstable)	Re⁡λ>0{displaystyle operatorname {Re} lambda >0}
Tc{displaystyle T^{c}}	центральное (center)	Re⁡λ=0{displaystyle operatorname {Re} lambda =0}

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы x˙=Ax{displaystyle {dot {x}}=Ax}

 , решением которой является матричная экспонента x(t)=eAtx0{displaystyle x(t)=e^{At}x_{0}} . Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение: В окрестности особой точки существуют многообразия Ws,Wu{displaystyle W^{s},W^{u}}  и Wc{displaystyle W^{c}}  классов Cr+1,Cr+1{displaystyle C^{r+1},C^{r+1}}  и Cr{displaystyle C^{r}}  соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат Ts,Tu{displaystyle T^{s},T^{u}}  и Tc{displaystyle T^{c}}  и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно. [3]. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется неоднозначным образом.

Пример: седлоузел

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

{x˙=x2y˙=y{displaystyle {begin{cases}{dot {x}}=x^{2}\{dot {y}}=yend{cases}}}

Его неустройчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепарататрис {x=0,y>0}{displaystyle {x=0,y>0}}

  и x=0,y<0{displaystyle x=0,y<0}  и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

y(x)=y0exp⁡(1x−1y0){displaystyle y(x)=y_{0}exp left({frac {1}{x}}-{frac {1}{y
_{0}}}right)}

 ,

где y(x0)=y0{displaystyle y(x_{0})=y_{0}}

 .

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox {x<0,y=0}{displaystyle {x<0,y=0}}

 . В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого x0>0{displaystyle x_{0}>0}  и любого y0{displaystyle y_{0}} . В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча {x<0,y=0}{displaystyle {x<0,y=0}} , точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).

Сноски

1. ↑ Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5., c. 13
2. ↑ Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0., глава 1, п. 2.3
3. ↑ Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0., глава 1, пункт 2.2