Интеграл Римана

Разделы:

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Геометрический смысл интеграла Римана

Содержание

1 Неформальное геометрическое описание
2 Определения
- 2.1 Через интегральные суммы
- 2.2 Через суммы Дарбу
3 Свойства
4 Условия существования интеграла Римана
5 История
6 См. также
7 Примечания
8 Литература
9 Ссылки

Неформальное геометрическое описание

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами Δxi{displaystyle Delta x_{i}}

$Delta x_{i}$ будет интегральной суммой:

S=∑if(xi)Δxi.{displaystyle S=sum _{i}f(x_{i})Delta x_{i}.}

S=sum _{i}f(x_{i})Delta x_{i}.

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения — при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из Δxi{displaystyle Delta x_{i}}

$Delta x_{i}$ стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]}

$[a,b]$ определена вещественнозначная функция f{displaystyle f} $f$ .

Рассмотрим разбиение отрезка a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{n-1}<x_{n}=b}

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ на n отрезков [xi−1,xi],i=1…n{displaystyle [x_{i-1},x_{i}],;i=1dots n} $[x_{{i-1}},x_{{i}}],;i=1dots n$ . Длина наибольшего из отрезков δR=max(Δxi){displaystyle delta R=max(Delta x_{i})} $delta R=max(Delta x_{i})$ называется шагом разбиения, где Δxi=xi−xi−1{displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} $Delta x_{i}=x_{i}-x_{{i-1}}$ — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ξi∈[xi−1,xi]{displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]}

$xi _{i}in [x_{{i-1}},x_{i}]$ . Интегральной суммой называется выражение σx=∑i=1nf(ξi)Δxi{displaystyle sigma _{x}=sum limits _{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}} $sigma _{x}=sum limits _{{i=1}}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}$ .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ξi∈[xi−1,xi]{displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]}

$xi _{i}in [x_{{i-1}},x_{i}]$ , то это число называется интегралом функции f{displaystyle f} $f$ на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , то есть∫abf(x)dx=limδR→0σx{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx=lim limits _{delta Rto 0}sigma _{x}} $int limits _{a}^{b}f(x),dx=lim limits _{{delta Rto 0}}sigma _{x}$ .

В этом случае, сама функция f{displaystyle f}

$f$ называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ ; в противном случае f{displaystyle f} $f$ является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ .

Через суммы Дарбу

Основная статья: Критерий Дарбу

Свойства

Невырожденность: ∫ab1dx=b−a{displaystyle int limits _{a}^{b}1,dx=b-a} $int limits _{{a}}^{{b}}1,dx=b-a$ .
Положительность: Если интегрируемая функция f{displaystyle f} $f$ неотрицательна, то её интеграл на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ также неотрицателен.
Линейность: Если функции f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ интегрируемы, и α,β∈R{displaystyle alpha ,beta in mathbb {R} } $alpha ,beta in mathbb{R}$ , то функция αf+βg{displaystyle alpha f+beta g} $alpha f+beta g$ тоже интегрируема, и ∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}(alpha f(x)+beta g(x)),dx=alpha int limits _{a}^{b}f(x),dx+beta int limits _{a}^{b}g(x),dx} $int limits _{a}^{b}(alpha f(x)+beta g(x)),dx=alpha int limits _{a}^{b}f(x),dx+beta int limits _{a}^{b}g(x),dx$ .
Непрерывность: Если интегрируемые функции fi{displaystyle f_{i}} $f_{i}$ равномерно сходятся на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ к функции f{displaystyle f} $f$ , то f{displaystyle f} $f$ интегрируема, и limi→∞∫abfi(x)dx=∫abf(x)dx{displaystyle lim _{ito infty }int limits _{a}^{b}f_{i}(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx} $lim _{{ito infty }}int limits _{a}^{b}f_{i}(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx$ . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a<b<c{displaystyle a<b<c} $a<b<c$ . Функция f{displaystyle f} $f$ интегрируема на отрезке [a,c]{displaystyle [a,c]} $[a,c]$ , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ и [b,c]{displaystyle [b,c]} $[b,c]$ , при этом ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{c}f(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx+int limits _{b}^{c}f(x),dx} $int limits _{a}^{c}f(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx+int limits _{b}^{c}f(x),dx$ .
Если функция F{displaystyle F} $F$ является первообразной непрерывной функции f{displaystyle f} $f$ , то интеграл функции f{displaystyle f} $f$ на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)−F(a){displaystyle F(b)-F(a)} $F(b)-F(a)$ . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f{displaystyle f} $f$ всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: F(x)=∫axf(t)dt+C{displaystyle F(x)=int limits _{a}^{x}f(t)dt+C} $F(x)=int limits _{{a}}^{{x}}f(t)dt+C$ , где C{displaystyle C} $C$ — произвольная константа.

Условия существования интеграла Римана

Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

Функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]}

$[a,b]$ , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).

Другой критерий

Для того, чтобы функция f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ была интегрируемой на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , необходимо и достаточно, чтобы сумма ∑i=1nωiΔi{displaystyle sum _{i=1}^{n}omega _{i}Delta _{i}} $sum _{{i=1}}^{{n}}omega _{{i}}Delta _{{i}}$ стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d{displaystyle d} $d$ .

Здесь ωi{displaystyle omega _{i}}

$omega _{{i}}$ — колебание функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в сегменте Δi=[xi−1,xi]{displaystyle Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]} $Delta _{{i}}=[x_{{i-1}},x_{{i}}]$ ,

колебание ω{displaystyle omega }

omega

функции f{displaystyle f}

f

на множестве E{displaystyle E}

E

— разность supEf(x)−infEf(x){displaystyle sup _{E}f(x)-inf _{E}f(x)}

sup _{{E}}f(x)-inf _{{E}}f(x)

диаметр разбиения d=supi(xi−xi−1){displaystyle d=sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})}

d=sup _{{i}}(x_{{i}}-x_{{i-1}})

[1].

Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману

Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно[2].

Функции, непрерывные на отрезке [a,b].{displaystyle [a,b].} ${displaystyle [a,b].}$
Функции, ограниченные на [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ и имеющая на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва.
Монотонные ограниченные функции.

История

Приведенное выше определение интеграла дано Коши [3], оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[4]:101-103, на русском языке впервые в 1914 году[5][6]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).

См. также

Интеграл Лебега и равносильные ему интеграл Даниэля, интеграл Юнга
Интеграл Стилтьеса
Кратный интеграл Римана
Несобственный интеграл

Примечания

↑ Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 101—103.
↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
↑ Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
↑ Риманн Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липщиц; Пер. Г.А. Грузинцева и С.Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
↑ Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 186. — ISBN 5-06-003955-2.

Литература

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки

Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
Строгое определение интеграла Римана.

Для улучшения этой статьи желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.