Барицентрические координаты — координаты точки n{displaystyle n}-мерного аффинного пространства An{displaystyle A^{n}}, отнесенные к некоторой фиксированной системе из (n+1){displaystyle (n+1)}-ой точки p0,p1,…,pn{displaystyle p_{0},;p_{1},;ldots ,;p_{n}}, не лежащих в (n−1){displaystyle (n-1)}-мерном подпространстве.
-мерного 
, отнесенные к некоторой фиксированной системе из (n+1){displaystyle (n+1)}
-ой точки p0,p1,…,pn{displaystyle p_{0},;p_{1},;ldots ,;p_{n}}
, не лежащих в (n−1){displaystyle (n-1)}
-мерном подпространстве.Пусть z{displaystyle z} есть произвольная точка в An{displaystyle A^{n}}. Каждая точка x∈An{displaystyle xin A^{n}} может быть единственным образом представлена в виде суммы
есть произвольная точка в An{displaystyle A^{n}}
может быть единственным образом представлена в виде суммы- x=z+α1⋅zp→1+α2⋅zp→2+…+αn⋅zp→n,{displaystyle x=z+alpha _{1}cdot {vec {zp}}_{1}+alpha _{2}cdot {vec {zp}}_{2}+ldots +alpha _{n}cdot {vec {zp}}_{n},}
где α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}} — вещественные числа, удовлетворяющие условию
— вещественные числа, удовлетворяющие условию- α1+α2+…+αn=1.{displaystyle alpha _{1}+alpha _{2}+ldots +alpha _{n}=1.}
Числа α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}} называются барицентрическими координатами точки x{displaystyle x}. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора z{displaystyle z}.
. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора z{displaystyle z}Точка x{displaystyle x}, является центром тяжести масс α1,α2,…,αn{displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{n}}, расположенных в точках p1,p2,…,pn{displaystyle p_{1},;p_{2},;ldots ,;p_{n}}.
.Свойства
- Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
- Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в p1,p2,…,pn{displaystyle p_{1},;p_{2},;ldots ,;p_{n}} неотрицательны и их сумма равна единице.
- Обращение в нуль барицентрической координаты αi{displaystyle alpha _{i}} равносильно тому, что точка лежит на плоскости содержащей грань симплекса, противоположной вершине pi{displaystyle p_{i}} . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
равносильно тому, что точка лежит на плоскости содержащей грань симплекса, противоположной вершине pi{displaystyle p_{i}}
. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек История
Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 году.
