Топологическое пространство

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Топологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией);является основным объектом изучения раздела геометрии под названием топология.

Исторически понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства.Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Содержание

1 Определение
2 Связанные определения
- 2.1 Дополнительные аксиомы
3 Примеры
4 Способы задания топологии
5 Непрерывные отображения
6 Вариации и обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Литература

Определение

Пусть дано множество X{displaystyle X}

$X$ . Система T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ его подмножеств называется тополо́гией на X{displaystyle X} $X$ , если выполнены следующие условия:

Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ , принадлежит T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ , то есть если Uα∈T∀α∈A{displaystyle U_{alpha }in {mathcal {T}}quad forall alpha in A} $U_{alpha} in mathcal{T} quad forall alpha in A$ , то ⋃α∈AUα∈T{displaystyle bigcup limits _{alpha in A}U_{alpha }in {mathcal {T}}} $bigcuplimits_{alpha in A} U_{alpha} in mathcal{T}$ .
Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ , принадлежит T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ , то есть если Ui∈Ti=1,…,n{displaystyle U_{i}in {mathcal {T}}quad i=1,;ldots ,;n} $U_{i} in mathcal{T} quad i = 1,;ldots,;n$ , то ⋂i=1nUi∈T{displaystyle bigcap limits _{i=1}^{n}U_{i}in {mathcal {T}}} $bigcaplimits_{i=1}^n U_i in mathcal{T}$ .
X,∅∈T{displaystyle X,;varnothing in {mathcal {T}}} $X,;varnothing in mathcal{T}$ .

Пара (X,T){displaystyle (X,;{mathcal {T}})}

$(X,;mathcal{T})$ называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие T{displaystyle {mathcal {T}}} $mathcal{T}$ , называются открытыми множествами.

Связанные определения

Множества, дополнительные к открытым, называются замкнутыми.
Всякое открытое множество, содержащее данную точку, называется её окрестностью.

Дополнительные аксиомы

Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, часто дополняются теми или иными аксиомами отделимости, в зависимости от которых выделяют различные классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.

Кроме этого, на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счётности — первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счётной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счётной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счётности. Кроме того, например, регулярные пространства со счётной базой являются нормальными и более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счётной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счётной базы топологии и сепарабельность — эквивалентны.

Примеры

Связное двоеточие — двуточечное топологическое пространство.

Вещественная прямая R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов {(a,b)∣a,b∈R}{displaystyle {(a,;b)mid a,;bin mathbb {R} }} ${(a,;b)mid a,;binR}$ является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, R→{displaystyle mathbb {R} _{to }} $R_to$ , прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид (a,∞){displaystyle (a,infty )} $(a,infty)$ , или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.

Вообще, евклидовы пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

Рассмотрим множество C(X,Y){displaystyle C(X,;Y)} $C(X,;Y)$ непрерывных отображений топологического пространства X{displaystyle X} $X$ в топологическое пространство Y{displaystyle Y} $Y$ . Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами C(K,U){displaystyle C(K,;U)} $C(K,;U)$ , состоящими из отображений, при которых образ компакта K{displaystyle K} $K$ в X{displaystyle X} $X$ лежит в открытом множестве U{displaystyle U} $U$ в Y{displaystyle Y} $Y$ .

Произвольное множество X{displaystyle X} $X$ можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств X{displaystyle X} $X$ , а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство X{displaystyle X} $X$ .

Способы задания топологии

Задание топологии с помощью базы или предбазы

Основная статья: База топологии

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии B⊂T{displaystyle {mathfrak {B}}subset {mathcal {T}}}

$mathfrak{B} subset mathcal{T}$ называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из B{displaystyle {mathfrak {B}}} ${mathfrak {B}}$ , то есть

∀U∈T∃{Uα}α∈A⊂B:U=⋃α∈AUα.{displaystyle forall Uin {mathcal {T}};exists {U_{alpha }}_{alpha in A}subset {mathfrak {B}}colon U=bigcup limits _{alpha in A}U_{alpha }.}

forall U in mathcal{T}; exists {U_{alpha}}_{alpha in A} subset mathfrak{B}colon U = bigcuplimits_{alpha in A} U_{alpha}.

Ещё более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов.Для того, чтобы систему множеств P{displaystyle {mathfrak {P}}}

${mathfrak {P}}$ можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество X{displaystyle X} $X$ .

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на X{displaystyle X}

$X$ семейством отображений (см. далее).

Индуцированная топология

Пусть f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ — произвольное отображение множества X{displaystyle X} $X$ в топологическое пространство Y{displaystyle Y} $Y$ .Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X{displaystyle X} $X$ : За открытые множества в X{displaystyle X} $X$ берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y{displaystyle Y} $Y$ ; то есть U∈X{displaystyle Uin X} $Uin X$ открыто, если существует открытое V∈Y{displaystyle Vin Y} $Vin Y$ такое что U=f−1V{displaystyle U=f^{-1}V} $U=f^{-1}V$ .Топология на X{displaystyle X} $X$ описанная выше является минимальной и единственной(по включению) топологией, в которой данное отображение является непрерывным.

Пример Пусть X{displaystyle X}

$X$ топологическое пространство, A{displaystyle A} $A$ его подмножество.Если применить конструкцию, описанную выше к теоретико-множественному вложению i:A→X{displaystyle i:Ato X} $i:Ato X$ , то получим топологию на подмножестве, обычно называемую также индуцированной.

Фактор-топология

Пусть X{displaystyle X}

$X$ — топологическое пространство, пусть также на нём задано некоторое отношение эквивалентности ∼{displaystyle sim } $sim$ , в таком случае есть естественный способ задать топологию на фактор-множестве X/∼{displaystyle X/{sim }} $X/{sim }$ . Мы объявляем подмножество фактора открытым тогда и только тогда, когда его прообраз при отображении факторизации является открытым в X{displaystyle X} $X$ . Легко проверить во-первых,что это действительно определяет топологию, во-вторых, что это максимальная и единственная (по включению) топология, в которой указанное отображение факторизации непрерывно. Такая топология обычно называется фактор-топологией на X/∼{displaystyle X/{sim }} $X/{sim }$

Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество F⊂X{displaystyle Fsubset X}

$Fsubset X$ называется замкнутым, если его дополнение U=X∖F{displaystyle U=Xsetminus F} $U = X setminus F$ — открытое множество.Задать топологию на X{displaystyle X} $X$ системой замкнутых множеств — значит предъявить систему P{displaystyle {mathcal {P}}} ${mathcal {P}}$ подмножеств X со свойствами:

Система P{displaystyle {mathcal {P}}} ${mathcal {P}}$ замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

∀α∈AFα∈P⇒⋂α∈AFα∈P{displaystyle forall alpha in Aquad F_{alpha }in {mathcal {P}}Rightarrow bigcap limits _{alpha in A}F_{alpha }in {mathcal {P}}} $forall alphain A quad F_{alpha}inmathcal{P} Rightarrow bigcaplimits_{alphain A} F_{alpha} in mathcal{P}$
Система P{displaystyle {mathcal {P}}} ${mathcal {P}}$ замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

F1,F2∈P⇒F1∪F2∈P{displaystyle F_{1},;F_{2}in {mathcal {P}}Rightarrow F_{1}cup F_{2}in {mathcal {P}}} $F_1,;F_2in mathcal{P} Rightarrow F_1cup F_2in mathcal{P}$
Множества X,∅{displaystyle X,;varnothing } $X,;varnothing$ включены в систему P{displaystyle {mathcal {P}}} ${mathcal {P}}$ .

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система T{displaystyle {mathcal {T}}}

$mathcal{T}$ открытых множеств, задающая топологию на X{displaystyle X} $X$ .

T={X∖F:F∈P}.{displaystyle {mathcal {T}}={Xsetminus F:Fin {mathcal {P}}}.}

mathcal{T} = {Xsetminus F: Fin mathcal{P}}.

Пример. Пусть B{displaystyle B}

$B$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца B{displaystyle B} $B$ называется множество X=SpecB{displaystyle X=mathrm {Spec} ,B} $X = mathrm{Spec}, B$ всех его простых идеалов.На множестве X{displaystyle X} $X$ топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть a{displaystyle {mathfrak {a}}} $mathfrak{a}$ — произвольный идеал кольца B{displaystyle B} $B$ (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

V(a)={p∈X:a⊂p}.{displaystyle V({mathfrak {a}})={{mathfrak {p}}in X:{mathfrak {a}}subset {mathfrak {p}}}.}

V(mathfrak{a}) = {mathfrak{p}in X:mathfrak{a}subsetmathfrak{p}}.

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

⋂α∈AV(aα)=V(∑α∈Aaα),V(a)∪V(b)=V(a⋅b),V((0))=X,V((1))=∅.{displaystyle bigcap limits _{alpha in A}V({mathfrak {a}}_{alpha })=Vleft(sum limits _{alpha in A}{mathfrak {a}}_{alpha }right),quad V({mathfrak {a}})cup V({mathfrak {b}})=V({mathfrak {a}}cdot {mathfrak {b}}),quad V((0))=X,quad V((1))=varnothing .}

bigcaplimits_{alphain A}V(mathfrak{a}_{alpha}) = Vleft(sumlimits_{alphain A} mathfrak{a}_{alpha}right),quad V(mathfrak{a})cup V(mathfrak{b}) = V(mathfrak{a}cdotmathfrak{b}),quad V((0)) = X, quad V((1)) = varnothing.

Спектр кольца — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве X=Cn{displaystyle X=mathbf {C} ^{n}}

$X=mathbf{C}^n$ также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов C[z1,z2,…,zn]{displaystyle mathbf {C} [z_{1},;z_{2},;ldots ,;z_{n}]} $mathbf{C}[z_1,;z_2,;ldots,;z_n]$ и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.

Пространство X=Cn{displaystyle X=mathbf {C} ^{n}}

$X = mathbf{C}^n$ естественно вложено в спектр кольца многочленов Y=SpecC[z1,z2,…,zn]{displaystyle Y=mathrm {Spec} ,mathbf {C} [z_{1},;z_{2},;ldots ,;z_{n}]} $Y = mathrm{Spec},mathbf{C}[z_1,;z_2,;ldots,;z_n]$ (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на X{displaystyle X} $X$ совпадает с той, что индуцирована топологией пространства Y{displaystyle Y} $Y$ .

Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f:(X,TX)→(Y,TY){displaystyle f:(X,;{mathcal {T}}_{X})to (Y,;{mathcal {T}}_{Y})}

$f:(X,;mathcal{T}_X)to(Y,;mathcal{T}_Y)$ называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория Top{displaystyle mathrm {Top} }

$mathrm{Top}$ всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящён раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

Вариации и обобщения

Псевдотопологическое пространство [1].

См. также

Глоссарий общей топологии

Примечания

↑ Фрёлихер, 1970, с. 21.

Литература

Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.
Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология.
Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.
Добавить иллюстрации.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.