Теорема о сумме углов треугольника

• Разделы:
  • Следствия
  • Обобщение для симплексов
  • В неевклидовых геометриях
  • См. также

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что

Треугольник

Содержание

• 1 Доказательство
• 2 Следствия
• 3 Обобщение для симплексов
• 4 В неевклидовых геометриях
• 5 См. также

Доказательство

Пусть ΔABC{displaystyle Delta ABC}

  — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.

Обобщение для симплексов

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если Lij{displaystyle L_{ij}}

  — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

|1−cos⁡L12−cos⁡L13…−cos⁡L1(n+1)−cos⁡L211−cos⁡L23…−cos⁡L2(n+1)−cos⁡L31−cos⁡L321…−cos⁡L3(n+1)⋮⋮⋮⋱⋮−cos⁡L(n+1)1−cos⁡L(n+1)2−cos⁡L(n+1)3…1|=0{displaystyle {begin{vmatrix}1&-cos L_{12}&-cos L_{13}&dots &-cos L_{1(n+1)}-cos L_{21}&1&-cos L_{23}&dots &-cos L_{2(n+1)}-cos L_{31}&-cos L_{32}&1&dots &-cos L_{3(n+1)}vdots &vdots &vdots &ddots &vdots &-cos L_{(n+1)1}&-cos L_{(n+1)2}&-cos L_{(n+1)3}&dots &1end{vmatrix}}=0} .

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и n+1{displaystyle n+1}

  вектор в n{displaystyle n} -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

В неевклидовых геометриях

  Сферический треугольник

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

См. также

• Треугольник
• Теорема о сумме углов многоугольника