Тензорный анализ

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(M){displaystyle D(M)} дифференцируемого многообразия M{displaystyle M}. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры D(M){displaystyle D(M)}.

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X{displaystyle X} — линейное отображение ∇X{displaystyle nabla _{X}} пространства векторных полей D1(M){displaystyle D^{1}(M)} многообразия M{displaystyle M}, зависящее от векторного поля X{displaystyle X} и удовлетворяющее условиям:

∇fX+gVZ=f∇XZ,{displaystyle nabla _{f}X+{}_{gV}Z=fnabla _{X}Z,}

∇X(fZ)=f∇XZ+(Xf)Y,{displaystyle nabla _{X}(fZ)=fnabla _{X}Z+(Xf)Y,}

где X{displaystyle X}, Y{displaystyle Y}, Z∈D′(M){displaystyle Zin D'(M)}, f{displaystyle f}, g{displaystyle g} — гладкие функции на M{displaystyle M}. Определяемые этим оператором связность Γ{displaystyle Gamma } и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(M){displaystyle D(M)} в себя; при этом отображение ∇X{displaystyle nabla X} есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.

В локальных координатах u1,u2,…,un{displaystyle u^{1},u^{2},ldots ,u^{n}} ковариантная производная тензора с компонентами T(Tj1…jmi1…il){displaystyle T(T_{j_{1}ldots {j_{m}}}^{i_{1}ldots {i_{l}}})} относительно вектора X=ξi∂∂ui{displaystyle X=xi ^{i}{frac {partial }{partial u^{i}}}} определяется так:

∇XT=ξs(∂Tj1…mi1…il∂us+Γksi1Tj1…jmk…il+…−Γji,skTk…jmi1…il),{displaystyle nabla _{X}T=xi ^{s}({frac {partial T_{j_{1}ldots m}^{i_{1}ldots i_{l}}}{partial u^{s}}}+Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}ldots j_{m}}^{kldots i_{l}}+ldots -Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{kldots j_{m}}^{i_{1}ldots i_{l}}),}

Γksi{displaystyle Gamma _{ks}^{i}} — объект связности Γ{displaystyle Gamma }.

2) Ли производная вдоль векторного поля X{displaystyle X} — оторажение LX{displaystyle L_{X}} пространства D′(M){displaystyle D'(M)}, определяемое формулой LX : Y→[X, Y]{displaystyle L_{X}~:~Yrightarrow [X,~Y]}, где [X, Y]{displaystyle [X,~Y]} — коммутатор векторных полей X{displaystyle X}, Y{displaystyle Y}. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M){displaystyle D(M)}, сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора T(Tj1…jmi1…il){displaystyle T(T_{j_{1}ldots {j_{m}}}^{i_{1}ldots {i_{l}}})} выражается так:

LXT=ξk∂Tj1…jmi1…il∂uk+Tk…jmi1…il∂ξk∂ui+…−Tj1…jmk…il∂ξi1∂uk−….{displaystyle L_{X}T=xi ^{k}{frac {partial T_{j_{1}ldots j_{m}}^{i_{1}ldots i_{l}}}{partial u^{k}}}+T_{kldots j_{m}}^{i_{1}ldots i_{l}}{frac {partial xi ^{k}}{partial u^{i}}}+ldots -T_{j_{1}ldots j_{m}}^{kldots i_{l}}{frac {partial xi ^{i_{1}}}{partial u^{k}}}-ldots .}

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор d{displaystyle d}, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени p{displaystyle p} форму такого же вида и степени p+1{displaystyle p+1}, удовлетворяющий условиям:

d(ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(−1)rω1∧dω2,    d(dω)=0,{displaystyle d(omega _{1}wedge omega _{2})=domega _{1}wedge omega _{2}+(-1)^{r}omega _{1}wedge domega _{2},~~~~d(domega )=0,}

где ∧{displaystyle wedge } — символ внешнего произведения, r{displaystyle r} — степень ω1{displaystyle omega _{1}}. В локальных координатах внешняя производная тензора ω⟨ωi1…ip⟩{displaystyle omega langle omega _{i_{1}ldots i_{p}}rangle } выражается так:

dω=∑n=0∞(−1)k∂ωi1…i^k…ip+1∂uik.{displaystyle domega =sum _{n=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {partial omega _{i_{1}ldots {hat {i}}_{k}ldots i_{p+1}}}{partial u^{i_{k}}}}.}

Оператор d{displaystyle d} — обобщение оператора rot{displaystyle operatorname {rot} }.

4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора gif{displaystyle g_{if}} представляет собой действие некоторого нелинейного оператора R{displaystyle R}:

gif→Rmlks=∂Γkms∂ul−∂Γkls∂um+∑p(ΓlpsΓkmp−ΓmpsΓklp),{displaystyle g_{if}rightarrow R_{mlk}^{s}={frac {partial Gamma _{km}^{s}}{partial u^{l}}}-{frac {partial Gamma _{kl}^{s}}{partial u^{m}}}+sum _{p}(Gamma _{lp}^{s}Gamma _{km}^{p}-Gamma _{mp}^{s}Gamma _{kl}^{p}),}

где

Γjki=12gis(∂gjs∂uk+∂gks∂us−∂gjk∂us).{displaystyle Gamma _{jk}^{i}={frac {1}{2}}g^{is}({frac {partial g_{js}}{partial u^{k}}}+{frac {partial g_{ks}}{partial u^{s}}}-{frac {partial g_{jk}}{partial u^{s}}}).}