Эллипсоидальные координаты

• Разделы:
  • Масштабные множители и дифференциальные операторы
  • См. также
  • Литература
  • Ссылки

Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат (λ,μ,ν){displaystyle (lambda ,mu ,nu )}, являющаяся обобщением двумерной эллиптической системы координат. Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка.

Содержание

• 1 Основные формулы
• 2 Масштабные множители и дифференциальные операторы
• 3 См. также
• 4 Литература
• 5 Ссылки

Основные формулы

Декартовы координаты (x,y,z){displaystyle (x,y,z)}

  получаются из эллипсоидальных координат (λ,μ,ν){displaystyle (lambda ,mu ,nu )}  при помощи уравнений

x2=(a2+λ)(a2+μ)(a2+ν)(a2−b2)(a2−c2),{displaystyle x^{2}={frac {left(a^{2}+lambda right)left(a^{2}+mu right)left(a^{2}+nu right)}{left(a^{2}-b^{2}right)left(a^{2}-c^{2}right)}},} 

y2=(b2+λ)(b2+μ)(b2+ν)(b2−a2)(b2−c2),{displaystyle y^{2}={frac {left(b^{2}+lambda right)left(b^{2}+mu right)left(b^{2}+nu right)}{left(b^{2}-a^{2}right)left(b^{2}-c^{2}right)}},} 

z2=(c2+λ)(c2+μ)(c2+ν)(c2−b2)(c2−a2),{displaystyle z^{2}={frac {left(c^{2}+lambda right)left(c^{2}+mu right)left(c^{2}+nu right)}{left(c^{2}-b^{2}right)left(c^{2}-a^{2}right)}},} 

при этом на координаты накладываются ограничения

−λ<c2<−μ<b2<−ν<a2.{displaystyle -lambda <c^{2}<-mu <b^{2}<-nu <a^{2}.} 

Поверхности с постоянной λ{displaystyle lambda }

  являются эллипсоидами:

x2a2+λ+y2b2+λ+z2c2+λ=1,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+lambda }}=1,} 

Поверхности с постоянной μ{displaystyle mu }

  являются однополостными гиперболоидами

x2a2+μ+y2b2+μ+z2c2+μ=1,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+mu }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+mu }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+mu }}=1,} 

поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной ν{displaystyle nu }

  являются двуполостными гиперболоидами

x2a2+ν+y2b2+ν+z2c2+ν=1,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+nu }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+nu }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+nu }}=1,} 

поскольку два последних слагаемых отрицательны.

При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.

Масштабные множители и дифференциальные операторы

Для краткости в уравнениях ниже введём функцию

S(σ) =def (a2+σ)(b2+σ)(c2+σ),{displaystyle S(sigma ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} left(a^{2}+sigma right)left(b^{2}+sigma right)left(c^{2}+sigma right),} 

где σ{displaystyle sigma }

  может представлять любую из величин (λ,μ,ν){displaystyle (lambda ,mu ,nu )} . Используя данную функцию, можем записать масштабные множители

hλ=12(λ−μ)(λ−ν)S(λ),{displaystyle h_{lambda }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left(lambda -mu right)left(lambda -nu right)}{S(lambda )}}},} 

hμ=12(μ−λ)(μ−ν)S(μ),{displaystyle h_{mu }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left(mu -lambda right)left(mu -nu right)}{S(mu )}}},} 

hν=12(ν−λ)(ν−μ)S(ν).{displaystyle h_{nu }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left(nu -lambda right)left(nu -mu right)}{S(nu )}}}.} 

Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде

dV=(λ−μ)(λ−ν)(μ−ν)8−S(λ)S(μ)S(ν) dλdμdν,{displaystyle dV={frac {left(lambda -mu right)left(lambda -nu right)left(mu -nu right)}{8{sqrt {-S(lambda )S(mu )S(nu )}}}} dlambda dmu dnu ,} 

а лапласиан имеет вид

∇2Φ=4S(λ)(λ−μ)(λ−ν)∂∂λ[S(λ)∂Φ∂λ] +{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {4{sqrt {S(lambda )}}}{left(lambda -mu right)left(lambda -nu right)}}{frac {partial }{partial lambda }}left[{sqrt {S(lambda )}}{frac {partial Phi }{partial lambda }}right] +} 

+4S(μ)(μ−λ)(μ−ν)∂∂μ[S(μ)∂Φ∂μ] + 4S(ν)(ν−λ)(ν−μ)∂∂ν[S(ν)∂Φ∂ν].{displaystyle +{frac {4{sqrt {S(mu )}}}{left(mu -lambda right)left(mu -nu right)}}{frac {partial }{partial mu }}left[{sqrt {S(mu )}}{frac {partial Phi }{partial mu }}right] + {frac {4{sqrt {S(nu )}}}{left(nu -lambda right)left(nu -mu right)}}{frac {partial }{partial nu }}left[{sqrt {S(nu )}}{frac {partial Phi }{partial nu }}right].} 

Другие дифференциальные операторы, такие как ∇⋅F{displaystyle nabla cdot mathbf {F} }

  и ∇×F{displaystyle nabla times mathbf {F} } , можно выразить в координатах (λ,μ,ν){displaystyle (lambda ,mu ,nu )}  путём подстановки масштабных множителей в общие формулы для ортогональных координат.

См. также

• Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)

Литература

• Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.). — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 663.
• Zwillinger D. Handbook of Integration (неопр.). — Boston, MA: Jones and Bartlett  (англ.) (рус., 1992. — С. 114. — ISBN 0-86720-293-9.
• Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.). — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 101—102.
• Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 176.
• Margenau H., Murphy G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.). — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 178—180.
• Moon P. H., Spencer D. E. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd, 3rd print. — New York: Springer Verlag, 1988. — P. 40—44 (Table 1.10). — ISBN 0-387-02732-7.

Ссылки

• Описание софокусных эллипсоидальных координат на MathWorld