Функция (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. функция.Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества.

График функции
f(x)=(4×3−6×2+1)x+13−x{displaystyle {begin{aligned}&scriptstyle &textstyle f(x)={frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){sqrt {x+1}}}{3-x}}end{aligned}}} ${begin{aligned}&scriptstyle &textstyle f(x)={frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){sqrt {x+1}}}{3-x}}end{aligned}}$ .

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x{displaystyle x} $x$ однозначно определяет значение выражения x2{displaystyle x^{2}} $x^{2}$ ,также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца.«Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца.

Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

Содержание

1 История
2 Определение
3 Способы задания функции
- 3.1 Аналитический способ
- 3.2 Графический способ
4 Общие свойства
5 Образ и прообраз
- 5.1 Образ и прообраз (при отображении), значение в точке
- 5.2 Свойства образов и прообразов
  - 5.2.1 Свойства образов
  - 5.2.2 Свойства прообразов
6 Поведение
7 Функции в теории множеств
8 Обобщения
- 8.1 Частично определённые функции
- 8.2 Многозначные функции
9 См. также
10 Примечания
11 Литература

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному[1][2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение[2].

Определение

Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Эта статья или раздел нуждается в переработке.Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Функцией f{displaystyle f}

$f$ , определённой на множестве X{displaystyle X} $X$ со значениями в множестве Y{displaystyle Y} $Y$ называют «правило» f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ такое, что ∀x∈X∃!f(x)∈Y{displaystyle forall xin X;exists !,f(x)in Y} ${displaystyle forall xin X;exists !,f(x)in Y}$ (каждому элементу X{displaystyle X} $X$ соответствует элемент f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ лежащий в Y{displaystyle Y} $Y$ и притом только один)[4].

Принятые обозначения: f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ , X⟶fY{displaystyle X{stackrel {f}{longrightarrow }}Y} $X{stackrel {f}{longrightarrow }}Y$ , сокращённо пишут f:x↦y{displaystyle fcolon xmapsto y} $fcolon xmapsto y$ или же просто y=f(x){displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ .

Графиком f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ называют Γf={(x,f(x))∈X×Y∣x∈X}{displaystyle Gamma _{f}={,(x,f(x))in Xtimes Ymid xin X,}} ${displaystyle Gamma _{f}={,(x,f(x))in Xtimes Ymid xin X,}}$ , где X×Y{displaystyle Xtimes Y} $Xtimes Y$ — прямое произведение.

Вообще говоря, понятия функции и её графика эквивалентны, а поскольку последнее определено математически более строго, формальным (с точки зрения теории множеств) определением функции является её график[4].

Для функции f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ :

множество X{displaystyle X} $X$ называется о́бластью задания или областью определения функции, обозначается D(f){displaystyle D(f)} $D(f)$ или domf{displaystyle mathrm {dom} ,f} $mathrm {dom} ,f$ ;
множество Y{displaystyle Y} $Y$ называется о́бластью значе́ний функции, обозначается E(f){displaystyle E(f)} $E(f)$ или codf{displaystyle mathrm {cod} ,f} $mathrm {cod} ,f$ (ranf{displaystyle mathrm {ran} ,f} $mathrm {ran} ,f$ );
каждый элемент x{displaystyle x} $x$ множества X{displaystyle X} $X$ называется независимой переменной или аргументом функции;

элемент y=f(x){displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ , соответствующий фиксированному элементу x{displaystyle x} $x$ называется частным значением функции в точке x{displaystyle x} $x$ .

Замечания:

Функцию f{displaystyle f} $f$ , для которой D(f)≡E(f){displaystyle D(f)equiv E(f)} ${displaystyle D(f)equiv E(f)}$ , называют отображением заданного множества в себя или преобразованием, в частности, если ∀x∈D(f):f(x)=x{displaystyle forall xin D(f):f(x)=x} ${displaystyle forall xin D(f):f(x)=x}$ , то говорят о тождественном преобразовании, часто обозначаемом idX{displaystyle operatorname {id} _{X}} $operatorname{id}_X$ .

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор f{displaystyle f} $f$ действует из множества X{displaystyle X} $X$ в множество Y{displaystyle Y} $Y$ и добавляют запись y=fx{displaystyle y=fx} $y=fx$ .
Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве X{displaystyle X} $X$ задана функция f{displaystyle f} $f$ , принимающая значения из Y{displaystyle Y} $Y$ . Если функция f{displaystyle f} $f$ должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что f{displaystyle f} $f$ — неизвестная или неявно заданная функция. При этом функция всё равно считается заданной, хотя и косвенно.
Поскольку равенство функций (в любом её определении) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции f1(x)=x:R→R{displaystyle f_{1}(x)=xcolon mathbb {R} to mathbb {R} } ${displaystyle f_{1}(x)=xcolon mathbb {R} to mathbb {R} }$ и f2(x)=x:R+→R{displaystyle f_{2}(x)=xcolon mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} } ${displaystyle f_{2}(x)=xcolon mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} }$ , где R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ — множество вещественных чисел, а R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} $mathbb {R} ^{+}$ — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.
Также существует и операторное обозначение функции y=xf{displaystyle y=x^{f}} $y=x^{f}$ , которое можно встретить в общей алгебре.
В лямбда-исчислении Чёрча для функции используется обозначение λx.y{displaystyle lambda x.y} $lambda x.y$ .

Функции нескольких аргументов:

График функции двух переменных f(x,y)=sin⁡(x−sin⁡(2y)){displaystyle f(x,y)=sin(x-sin(2y))} $f(x,y)=sin(x-sin(2y))$

Вообще говоря, функция может быть задана на линейном пространстве, в таком случае имеют дело с функцией нескольких аргументов.

Если множество X{displaystyle X}

$X$ представляет собой декартово произведение множеств X1,X2,…,Xn{displaystyle X_{1},;X_{2},;ldots ,;X_{n}} $X_{1},;X_{2},;ldots ,;X_{n}$ , тогда отображение f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y} $fcolon Xto Y$ (где Y{displaystyle Y} $Y$ — множество вещественных чисел), оказывается n{displaystyle n} $n$ -местным отображением; при этом элементы упорядоченного набора x=(x1,x2,…,xn){displaystyle x=(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})} $x=(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})$ называются аргументами (данной n{displaystyle n} $n$ -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

xi∈Xi{displaystyle x_{i}in X_{i}}

x_{i}in X_{i}

где ∀i:1⩽i⩽n{displaystyle forall i:1leqslant ileqslant n}

{displaystyle forall i:1leqslant ileqslant n}

В этом случае запись y=f(x){displaystyle y=f(x)}

$y=f(x)$ означает, что y=f(x1,x2,…,xn){displaystyle y=f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})} $y=f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})$ .

Способы задания функции

Аналитический способ

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.

Примеры:

Функция, заданная одной формулой:

f(x)=x2+asin⁡(x)−πln⁡(x)(a∈R);{displaystyle f(x)=x^{2}+asin(x)-{frac {pi }{ln(x)}};;(ain mathbb {R} );}

${displaystyle f(x)=x^{2}+asin(x)-{frac {pi }{ln(x)}};;(ain mathbb {R} );}$

Кусочно-заданная функция:

f(x)=|x|={x,∀x⩾0,−x,∀x<0;{displaystyle f(x)=|x|={begin{cases}x,;forall xgeqslant 0,-x,;forall x<0;end{cases}}}

${displaystyle f(x)=|x|={begin{cases}x,;forall xgeqslant 0,-x,;forall x<0;end{cases}}}$

Неявно заданная функция:

f(x)=y:x2+y2=R2(R∈R,R⩾0);{displaystyle f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2};(Rin mathbb {R} ,;Rgeqslant 0);}

${displaystyle f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2};(Rin mathbb {R} ,;Rgeqslant 0);}$

Графический способ

График f(x)=x3−3x{displaystyle f(x)=x^{3}-3x} ${displaystyle f(x)=x^{3}-3x}$ Основная статья: График функции

Функцию можно также задать с помощью графика. Пусть y=f(x1,x2,…,xn){displaystyle y=f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n});}

${displaystyle y=f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n});}$ — вещественная функция n{displaystyle n} $n$ переменных. Тогда её графиком является множество точек в (n+1){displaystyle (n+1)} $(n+1)$ -мерном пространстве:{(x1,x2,…,xn,f(x1,x2,…,xn)}{displaystyle {(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}} ${displaystyle {(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}}$ . Это множество точек часто является гиперповерхностью. В частности, при n=1{displaystyle n=1} $n=1$ график функции в некоторых случаях может быть изображён кривой в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например, каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике, как бывает на графиках комплексных функций).

Общие свойства

Композиция отображений

Основная статья: Композиция функций

Пусть заданы два отображения таких, что множество значений первого является подмножеством области задания второго. Тогда последовательное действие первого и второго отображений на всякий аргумент первого отображения однозначно сопоставляет элемент из области значений второго отображения:

f:X→Y,g:K→Z(Y⊂K)⇒∃h:X→Z,h(x)=g(f(x))(∀x∈X){displaystyle f:Xto Y,;;g:Kto Z;;(Ysubset K);Rightarrow exists ;h:Xto Z,;;h(x)=g(f(x));;(forall xin X)}

${displaystyle f:Xto Y,;;g:Kto Z;;(Ysubset K);Rightarrow exists ;h:Xto Z,;;h(x)=g(f(x));;(forall xin X)}$

В таком случае, h{displaystyle h}

$h$ называется композицией отображений f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ , оно обозначается выражением g∘f{displaystyle gcirc f} $gcirc f$ , которое читается «g{displaystyle g} $g$ после f{displaystyle f} $f$ ». Вообще говоря, композиция некоммутативна: g(f(x))≠f(g(x)),{displaystyle g(f(x))neq f(g(x)),} ${displaystyle g(f(x))neq f(g(x)),}$ или g∘f≠f∘g.{displaystyle gcirc fneq fcirc g.} ${displaystyle gcirc fneq fcirc g.}$

Инъекция

Основная статья: Инъекция (математика)

Функция f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ называется инъективной (или просто инъекцией), если любым двум различным элементам x1,x2{displaystyle x_{1},,x_{2}} ${displaystyle x_{1},,x_{2}}$ из множества X{displaystyle X} $X$ сопоставляются так же различные (неравные) элементы из множества Y{displaystyle Y} $Y$ . Более формально, функция f{displaystyle f} $f$ инъективна, если из f(x1)=f(x2)⇒x1=x2{displaystyle f(x_{1})=f(x_{2});Rightarrow x_{1}=x_{2}} ${displaystyle f(x_{1})=f(x_{2});Rightarrow x_{1}=x_{2}}$ . Иначе говоря, f{displaystyle f} $f$ инъективна, если ∀x1,x2∈X:x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2){displaystyle forall x_{1},x_{2}in X:x_{1}neq x_{2}Rightarrow f(x_{1})neq f(x_{2})} ${displaystyle forall x_{1},x_{2}in X:x_{1}neq x_{2}Rightarrow f(x_{1})neq f(x_{2})}$ .

Сюръекция

Основная статья: Сюръекция

Функция f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ называется сюръективной (или просто сюръекцией), если каждому элементу множества Y{displaystyle Y} $Y$ может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества X{displaystyle X} $X$ . То есть функция f{displaystyle f} $f$ сюръективна, если ∀y∈Y∃x∈X:f(x)=y{displaystyle forall yin Y;exists xin X:f(x)=y} ${displaystyle forall yin Y;exists xin X:f(x)=y}$ .

Такое отображение называется ещё отображением множества X{displaystyle X}

$X$ на множество Y{displaystyle Y} $Y$ . Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества X{displaystyle X} $X$ в множество Y{displaystyle Y} $Y$ .

Биекция

Основная статья: Биекция

Функция, одновременно сюръективная и инъективная, называется биективной или взаимно однозначной (коротко биекцией).

Обратная функция

Основная статья: Обратная функция

Если функция f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}

$fcolon Xto Y$ является биекцией, то существует f−1:Y→X{displaystyle f^{-1}colon Yto X} $f^{{-1}}colon Yto X$ , для которой x=f−1(y)⇔y=f(x){displaystyle x=f^{-1}(y);Leftrightarrow y=f(x)} ${displaystyle x=f^{-1}(y);Leftrightarrow y=f(x)}$ .

Функция f−1{displaystyle f^{-1}}

$f^{-1}$ в таком случае называется обратной по отношению к f{displaystyle f} $f$ ; кроме того, f−1{displaystyle f^{-1}} $f^{-1}$ также биективна.

Пояснение:

Так как f{displaystyle f}

$f$ инъекция, то f−1{displaystyle f^{-1}} $f^{-1}$ вообще говоря функция, из сюръекции f{displaystyle f} $f$ следует в свою очередь, что f−1{displaystyle f^{-1}} $f^{-1}$ задана на Y{displaystyle Y} $Y$ . Функция f−1{displaystyle f^{-1}} $f^{-1}$ инъективна, поскольку f{displaystyle f} $f$ функция, сюръективность же её следует следует из её определения.

В общем случае, отображение, у которого существует обратное, называется обратимым. Свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: f−1∘f=idX{displaystyle f^{-1}circ f=operatorname {id} _{X}}

${displaystyle f^{-1}circ f=operatorname {id} _{X}}$ и f∘f−1=idY{displaystyle fcirc f^{-1}=operatorname {id} _{Y}} ${displaystyle fcirc f^{-1}=operatorname {id} _{Y}}$ .

Сужение и продолжение функции

Основная статья: Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}

$fcolon Xto Y$ и множество M⊊X,{displaystyle Msubsetneq X,} ${displaystyle Msubsetneq X,}$ являющееся строгим подмножеством множества X.{displaystyle X.} $X.$

Отображение g:M→Y{displaystyle gcolon Mto Y}

$gcolon Mto Y$ , которое принимает на M{displaystyle M} $M$ те же значения, что и функция f{displaystyle f} $f$ , называется суже́нием (или иначе ограничением) функции f{displaystyle f} $f$ на множество M{displaystyle M} $M$ .

Сужение функции f{displaystyle f}

$f$ на множество M{displaystyle M} $M$ обозначается как f|M{displaystyle f{big |}_{M}} $f{big |}_{M}$ .

При этом исходная функция f,{displaystyle f,}

$f,$ напротив, называется продолжением функции g{displaystyle g} $g$ на множество X{displaystyle X} $X$ .

Образ и прообраз

Образ и прообраз (при отображении), значение в точке

См. также: Область значений функции

Элемент y=f(x){displaystyle y=f(x)}

$y=f(x)$ , который сопоставлен элементу x{displaystyle x} $x$ , называется образом элемента (точки) x{displaystyle x} $x$ (при отображении f{displaystyle f} $f$ ) или значением отображения f{displaystyle f} $f$ в точке x{displaystyle x} $x$ .

Если взять целиком подмножество A{displaystyle A}

$A$ области задания функции f{displaystyle f} $f$ , то совокупность образов всех элементов этого множества, то есть подмножество области значений (функции f{displaystyle f} $f$ ) вида

f(A):={f(x):x∈A}{displaystyle f(A):={f(x)colon xin A}}

f(A):={f(x)colon xin A}

называется образом множества A{displaystyle A}

$A$ при отображении f{displaystyle f} $f$ . Это множество иногда обозначается как f[A]{displaystyle f[A]} $f[A]$ или Af{displaystyle A^{f}} $A^{f}$ .

Образ всей области определения функции называется образом функции или, если функция является сюръекцией, вообще называется областью значений функции.

И, наоборот, взяв некоторое подмножество B{displaystyle B}

$B$ в области значений функции f{displaystyle f} $f$ , можно рассмотреть совокупность всех элементов области задания функции f{displaystyle f} $f$ , чьи образы попадают в множество B{displaystyle B} $B$ , то есть множество вида

f−1(B):={x:f(x)∈B}{displaystyle f^{-1}(B):={xcolon f(x)in B}}

f^{{-1}}(B):={xcolon f(x)in B}

которое называется (полным) прообразом множества B{displaystyle B}

$B$ (при отображении f{displaystyle f} $f$ ).

В частности, когда множество B{displaystyle B}

$B$ состоит из одного элемента — допустим, B={y}{displaystyle B={y}} $B={y}$ , — то множество f−1({y})={x:f(x)=y}{displaystyle f^{-1}({y})={xcolon f(x)=y}} $f^{{-1}}({y})={xcolon f(x)=y}$ имеет более простое обозначение f−1(y){displaystyle f^{-1}(y)} $f^{{-1}}(y)$ a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[источник не указан 742 дня].

Свойства образов и прообразов

Свойства образов

Пусть A{displaystyle A}

$A$ и B{displaystyle B} $B$ — подмножества области задания функции f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y} $fcolon Xto Y$ . Тогда образы множеств A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ при отображении f{displaystyle f} $f$ обладают следующими свойствами:

f[∅]=∅{displaystyle f[varnothing ]=varnothing } ${displaystyle f[varnothing ]=varnothing }$ ;
A≠∅⇒f[A]≠∅{displaystyle Aneq varnothing Rightarrow f[A]neq varnothing } ${displaystyle Aneq varnothing Rightarrow f[A]neq varnothing }$ ;
A⊆B⇒f[A]⊆f[B]{displaystyle Asubseteq BRightarrow f[A]subseteq f[B]} ${displaystyle Asubseteq BRightarrow f[A]subseteq f[B]}$ .

образ объединения множеств равен объединению образов: f[A∪B]=f[A]∪f[B];{displaystyle f[Acup B]=f[A]cup f[B];} ${displaystyle f[Acup B]=f[A]cup f[B];}$
образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов: f[A∩B]⊆f[A]∩f[B]{displaystyle f[Acap B]subseteq f[A]cap f[B]} ${displaystyle f[Acap B]subseteq f[A]cap f[B]}$ .

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. выше), то прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

образ пересечения равен пересечению образов: f[A∩B]=f[A]∩f[B]{displaystyle f[Acap B]=f[A]cap f[B]} ${displaystyle f[Acap B]=f[A]cap f[B]}$ .

Свойства прообразов

Пусть A{displaystyle A}

$A$ и B{displaystyle B} $B$ — подмножества множества Y{displaystyle Y} $Y$ . Тогда прообразы множеств A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ при отображении f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y} $fcolon Xto Y$ обладает следующими двумя очевидными свойствами:

прообраз объединения равен объединению прообразов: f−1[A∪B]=f−1[A]∪f−1[B]{displaystyle f^{-1}[Acup B]=f^{-1}[A]cup f^{-1}[B]} ${displaystyle f^{-1}[Acup B]=f^{-1}[A]cup f^{-1}[B]}$ ;
прообраз пересечения равен пересечению прообразов: f−1[A∩B]=f−1[A]∩f−1[B]{displaystyle f^{-1}[Acap B]=f^{-1}[A]cap f^{-1}[B]} ${displaystyle f^{-1}[Acap B]=f^{-1}[A]cap f^{-1}[B]}$ .

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Поведение

Возрастание и убывание

Основная статья: Монотонная функция

Пусть дана функция f:M⊆R→R.{displaystyle fcolon Msubseteq mathbb {R} to mathbb {R} .}

${displaystyle fcolon Msubseteq mathbb {R} to mathbb {R} .}$ Тогда

функция f{displaystyle f} $f$ называется неубывающей на M{displaystyle M} $M$ , если

(∀x,y∈M) x>y⇒f(x)≥f(y);{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)geq f(y);}

{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)geq f(y);}

функция f{displaystyle f} $f$ называется невозраста́ющей на M{displaystyle M} $M$ , если

(∀x,y∈M) x>y⇒f(x)≤f(y);{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)leq f(y);}

{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)leq f(y);}

функция f{displaystyle f} $f$ называется возраста́ющей на M{displaystyle M} $M$ , если

(∀x,y∈M) x>y⇒f(x)>f(y);{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)>f(y);}

{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)>f(y);}

функция f{displaystyle f} $f$ называется убыва́ющей на M{displaystyle M} $M$ , если

(∀x,y∈M) x>y⇒f(x)<f(y);{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)<f(y);}

{displaystyle (forall x,yin M) x>yRightarrow f(x)<f(y);}

Невозрастающие и неубывающие функции называются (нестрого) монотонными, а возрастающие и убывающие функции — строго монотонными. Для произвольной функции можно найти промежутки монотонности — подмножества области определения, на которых функция так или иначе (строгость выбирается в большинстве случаев договорно) монотонна.

Периодичность

Основная статья: Периодическая функция

Функция f:M→N{displaystyle fcolon Mto N}

$fcolon Mto N$ называется периодической с пери́одом T≠0{displaystyle Tnot =0} $Tnot =0$ , если выполняется равенство

f(x+T)=f(x),∀x,x+T∈M{displaystyle f(x+T)=f(x),quad forall x,x+Tin M}

{displaystyle f(x+T)=f(x),quad forall x,x+Tin M}

Поскольку периодическая с периодом T{displaystyle T}

$T$ функция также периодична с периодами вида nT(n∈N){displaystyle nT;(nin mathbb {N} )} ${displaystyle nT;(nin mathbb {N} )}$ , то T{displaystyle T} $T$ вообще говоря, наименьший период функции.

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{displaystyle Tin M,,Tnot =0}

$Tin M,,Tnot =0$ , то функция f{displaystyle f} $f$ называется апериоди́ческой.

Чётность

Основная статья: Нечётные и чётные функции

Функция f:X→R{displaystyle fcolon Xto mathbb {R} } $fcolon Xto mathbb {R}$ называется нечётной, если справедливо равенство

f(−x)=−f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=-f(x),quad forall xin X.}

f(-x)=-f(x),quad forall xin X.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f{displaystyle f} $f$ называется чётной, если справедливо равенство

f(−x)=f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=f(x),quad forall xin X.}

f(-x)=f(x),quad forall xin X.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Экстремумы функции

Основная статья: Экстремум

Пусть задана функция f:X→R{displaystyle fcolon Xto mathbb {R} }

${displaystyle fcolon Xto mathbb {R} }$ и точка x0∈X{displaystyle x_{0}in X} $x_{0}in X$ — внутренняя точка области задания f.{displaystyle f.} $f.$ Тогда

x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой локального максимума, если существует окрестность M{displaystyle M} $M$ точки x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ такая, что

∀x∈M,x≠x0:f(x)<f(x0);{displaystyle forall xin M,xneq x_{0}colon quad f(x)<f(x_{0});} ${displaystyle forall xin M,xneq x_{0}colon quad f(x)<f(x_{0});}$
x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ называется точкой локального минимума, если существует окрестность M{displaystyle M} $M$ точки x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ такая, что

∀x∈M,x≠x0:f(x)>f(x0).{displaystyle forall xin M,xneq x_{0}colon quad f(x)>f(x_{0}).} ${displaystyle forall xin M,xneq x_{0}colon quad f(x)>f(x_{0}).}$

Функции в теории множеств

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы — например, о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то эти множества называют эквивалентными или равномощными.Это позволяет провести классификацию множеств по их мощностям, причём наименьшие из них в порядке увеличения таковы:

конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
счётные множества — множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;
множества мощности континуума (например, отрезок вещественной прямой или сама вещественная прямая).

Таким образом получаются следующие виды отображений — по мощности области определения:

конечные функции — отображения конечных множеств;
последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2 основным объектом рассмотрения является заданная на множестве структура (где элементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в группах, кольцах, линейных пространствах) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

структура порядка — частичный или линейный порядок элементов множества;
алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле, заданные на элементах множества;
структура метрического пространства — на элементах множества задаётся функция расстояния;
структура евклидового пространства — на элементах множества задаётся скалярное произведение;
структура топологического пространства — на множестве задаётся совокупность «открытых множеств» (которые не содержат свою границу);
структура измеримого пространства — на множестве задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладают соответствующей структурой. Например, чтобы сформулировать такое свойство, как непрерывность функции, заданной на множестве, на этом множестве нужно задать топологическую структуру.

Обобщения

Частично определённые функции

Частично определённой функцией f{displaystyle f}

$f$ из множества X{displaystyle X} $X$ в множество Y{displaystyle Y} $Y$ называется функция f:X′→Y{displaystyle fcolon X’to Y} $fcolon X'to Y$ с областью задания X′=Domf⊊X{displaystyle X’={rm {Dom}}fsubsetneq X} ${displaystyle X'={rm {Dom}}fsubsetneq X}$ .

Некоторые авторы могут под само́й функцией подразумевать лишь её сужение — такое, чтобы на «суженной» области определения функция была определена целиком. Это имеет свои преимущества: например, возможна запись f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} }

$fcolon mathbb {R} to mathbb {R}$ , где f(x)=1/x,{displaystyle f(x)=1/x,} ${displaystyle f(x)=1/x,}$ — в этом случае имеется в виду Dom⁡f=R∖{0}{displaystyle mathop {rm {Dom}} f=mathbb {R} backslash {0}} ${mathop {rm {Dom}}}f=mathbb {R} backslash {0}$ .

Многозначные функции

Основная статья: Многозначная функция

Заданному значению аргумента должно соответствовать ровно одно значение функции, что связано с самим определением функции. Но, несмотря на это, нередко можно встретить так называемые многозначные функции. В действительности это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть f:X→B{displaystyle fcolon Xto mathbb {B} }

$fcolon Xto mathbb {B}$ , где B{displaystyle mathbb {B} } $mathbb {B}$ — семейство подмножеств множества Y{displaystyle Y} $Y$ . Тогда f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ будет множеством для всякого x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[5].

См. также

Примечания

↑ В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
↑ 1 2 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
↑ Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
↑ 1 2 В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
↑ Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература

Функция. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.
Виленкин Н. Как возникло и развивалось понятие функции // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1977. — № 7. — С. 41—45. — ISSN 0130-2221.
J. J. O’Connor, E. F. Robertson. The function concept (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (октябрь 2005).