Лента Мёбиуса

Разделы:

Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} $mathbb {R} ^{3}$ .

Лента Мёбиуса Римская мозаика III века нашей эры с изображением кольца, свернутого как лента Мёбиуса, мюнхенская Глиптотека

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.

Содержание

1 Уравнения
2 Свойства
3 Открытые вопросы
4 Если ленту разрезать
5 Искусство и технология
- 5.1 Лента Мёбиуса и знак бесконечности
6 Вариации и обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Литература
10 Ссылки

Уравнения

Параметрическое описание листа Мёбиуса Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные буквой A, так, чтобы направления стрелок совпали

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

$mathbb {R} ^{3}$ является параметризация:

x(u,v)=(1+v2cos⁡u2)cos⁡u,{displaystyle xleft(u,vright)=left(1+{frac {v}{2}}cos {frac {u}{2}}right)cos u,}

xleft(u,vright)=left(1+{frac {v}{2}}cos {frac {u}{2}}right)cos u,

y(u,v)=(1+v2cos⁡u2)sin⁡u,{displaystyle yleft(u,vright)=left(1+{frac {v}{2}}cos {frac {u}{2}}right)sin u,}

yleft(u,vright)=left(1+{frac {v}{2}}cos {frac {u}{2}}right)sin u,

z(u,v)=v2sin⁡u2,{displaystyle zleft(u,vright)={frac {v}{2}}sin {frac {u}{2}},}

zleft(u,vright)={frac {v}{2}}sin {frac {u}{2}},

где 0⩽u<2π{displaystyle 0leqslant u<2pi }

$0leqslant u<2pi$ и −1⩽v⩽1{displaystyle -1leqslant vleqslant 1} $-1leqslant vleqslant 1$ . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости xy{displaystyle xy} $xy$ с центром в (0,0,0){displaystyle left(0,;0,;0right)} $left(0,;0,;0right)$ . Параметр u{displaystyle u} $u$ пробегает вдоль ленты, в то время как v{displaystyle v} $v$ задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r,θ,z){displaystyle left(r,;theta ,;zright)}

$left(r,;theta ,;zright)$ неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

log⁡rsin⁡θ2=zcos⁡θ2,{displaystyle log rsin {frac {theta }{2}}=zcos {frac {theta }{2}},}

{displaystyle log rsin {frac {theta }{2}}=zcos {frac {theta }{2}},}

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства

Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата [0,1]×[0,1]{displaystyle left[0,;1right]times left[0,;1right]} $left[0,;1right]times left[0,;1right]$ по отношению эквивалентности (x,0)∼(1−x,1){displaystyle left(x,;0right)sim left(1-x,;1right)} $left(x,;0right)sim left(1-x,;1right)$ для 0⩽x⩽1{displaystyle 0leqslant xleqslant 1} $0leqslant xleqslant 1$ .
Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
Ленту Мёбиуса возможно поместить в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть C{displaystyle C} будет единичным кругом в плоскости xy{displaystyle xy} в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} . Соединив антиподные точки на C{displaystyle C} (то есть точки под углами θ{displaystyle theta } и θ+π{displaystyle theta +pi } ) дугой круга, получим, что для θ{displaystyle theta } между 0{displaystyle 0} и π/2{displaystyle pi /2} дуги лежат выше плоскости xy{displaystyle xy} , а для других θ{displaystyle theta } — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy{displaystyle xy} ).[источник не указан 2657 дней]
- Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
Примером вложения листа Мебиуса в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ является поверхность, заданная уравнением

z1=sin⁡ηeiφ{displaystyle z_{1}=sin eta ,e^{ivarphi }}

{displaystyle z_{1}=sin eta ,e^{ivarphi }}

z2=cos⁡ηeiφ/2,{displaystyle z_{2}=cos eta ,e^{ivarphi /2},}

{displaystyle z_{2}=cos eta ,e^{ivarphi /2},}

Здесь параметр η{displaystyle eta }

eta

изменяется от 0 до π{displaystyle pi }

pi

. Границей этой поверхности является окружность z1=0,|z2|=1{displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1}

{displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1}

. При стереографической проекции получается вложение в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

mathbb {R} ^{3}

с границей, в точности являющейся окружностью.

Открытые вопросы

Каково минимальное k{displaystyle k} $k$ такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — π2{displaystyle {frac {pi }{2}}} ${frac {pi }{2}}$ , сверху — 3{displaystyle {sqrt {3}}} ${sqrt {3}}$ [1].
Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?[2]
- Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году[3]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений [en].

Если ленту разрезать

Разрезание ленты Мёбиуса на три части

Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты»[4] (англ. The Afghan Bands) с 1904 года[5], его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956)[6] и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году[7]. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами[8].
Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса «Лента Мёбиуса» над входом в институт ЦЭМИ РАН (1976, архитектор Леонид Павлов, художники Э. А. Жаренова и В. К. Васильцов)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II»[9], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo»[10]. Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В визуальной новелле CHARON «Makoto Mobius» главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт — ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова [11] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)[12].

Лента Мёбиуса и знак бесконечности

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ ∞{displaystyle infty }

$infty$ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса[13] (см. Символ бесконечности).

Вариации и обобщения

Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

См. также

Примечания

↑ Фукс Д. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. (1996). “Sides of the Möbius strip”. Archiv der Mathematik. 66: 511—521.
↑ Starostin. E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). “The shape of a Möbius strip”. Nature Materials. DOI:10.1038/nmat1929.
↑ Гарднер М. Профессор, у которого не было ни одной стороны. Примечания автора // Наука и жизнь. — 1977. — № 5. — С. 127.
↑ Professor Hoffmann. Later Magic. — New York, London: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. — P. 471-473.
↑ Norbert Wiener. I Am a Mathematician. — Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. — P. 26-27. В русском переводе: Норберт Винер. Я — математик / Пер. с англ. Ю. С. Родман. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 19—20.
↑ Martin Gardner. Mathematics, Magic and Mystery. — New York: Dover Publications, 1956. — P. 70-73.
↑ Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками // «Квант», № 3, 1974
↑ M.C. Escher — Möbius Strip II
↑ (СПб.: Амфора, 2003)
↑ Мастер вычисления
↑ Архитектор Мария Серова — о «доме с ухом» Леонида Павлова — The Village — The Village
↑ Лента Мёбиуса // Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009

Литература

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.

Ссылки

Медиафайлы на Викискладе

В другом языковом разделе есть более полная статья Möbius strip (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода