Распределение (дифференциальная геометрия)

• Разделы:
  • Инволютивные распределения
  • Задание распределения системой 1-форм
  • Интегрируемость распределения
  • См. также
  • Литература

Распределением на многообразии M{displaystyle M} называется подрасслоение касательного расслоения многообразия.Другими словами, в каждой точке x∈M{displaystyle xin M} выбрано линейное подпространство Δx{displaystyle Delta _{x}}касательного пространства TxM{displaystyle T_{x}M} которое гладко зависит от точки x{displaystyle x}.

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Инволютивные распределения
• 3 Задание распределения системой 1-форм
• 4 Интегрируемость распределения
  • 4.1 Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
  • 4.2 Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
• 5 См. также
• 6 Литература

Определение

Пусть M{displaystyle M}

  — гладкое n{displaystyle n} -мермое многообразие и k≤n{displaystyle kleq n} . Предположим в каждой точке x∈M{displaystyle xin M}  выбрано k{displaystyle k} -мерное подпространство Δx⊂Tx(M){displaystyle Delta _{x}subset T_{x}(M)}  касательного пространства такое, что у любой точки x∈M{displaystyle xin M}  существует окрестность Ux⊂M{displaystyle U_{x}subset M}  и k{displaystyle k}  линейно независимых гладких векторных полей X1,…,Xk{displaystyle X_{1},ldots ,X_{k}} , причем для любой точки y∈Ux{displaystyle yin U_{x}} , векторы X1(y),…,Xk(y){displaystyle X_{1}(y),ldots ,X_{k}(y)}  составляют базис подпространства Δy⊂Ty(M){displaystyle Delta _{y}subset T_{y}(M)} .

В этом случае, совокупность Δ{displaystyle Delta }

  всех подпространств Δx{displaystyle Delta _{x}} , x∈M{displaystyle xin M} , называется k{displaystyle k} -мерным распределением на многообразии M{displaystyle M} .

При этом векторные поля {X1,…,Xk}{displaystyle {X_{1},ldots ,X_{k}}}

  называется локальным базисом распределения Δ.{displaystyle Delta .} 

Инволютивные распределения

Распределение Δ{displaystyle Delta }

  на M{displaystyle M}  называется инволютивным, если в окрестности каждой точки x∈M{displaystyle xin M}  существует локальный базис распределения {X1,…,Xk}{displaystyle {X_{1},ldots ,X_{k}}}  такой, что все скобки Ли векторных полей [Xi,Xj]{displaystyle [X_{i},X_{j}]}  принадлежат линейной оболочке {X1,…,Xk}{displaystyle {X_{1},ldots ,X_{k}}} , то есть [Xi,Xj]{displaystyle [X_{i},X_{j}]}  являются линейными комбинациями векторов {X1,…,Xk}.{displaystyle {X_{1},ldots ,X_{k}}.}  Условие инволютивности распределения Δ{displaystyle Delta }  записывается как [Δ,Δ]⊂Δ{displaystyle [Delta ,Delta ]subset Delta } .

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

На открытом множестве U⊂M{displaystyle Usubset M}

  k{displaystyle k} -мерное распределение Δ{displaystyle Delta }  может быть задано системой гладких 1-форм ω1,…,ωn−k{displaystyle omega _{1},dots ,omega _{n-k}} , определенных в U{displaystyle U}  и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями ωi(ξ)=0{displaystyle omega _{i}(xi )=0} . Если {ω1…,ωn−k}{displaystyle {omega _{1}dots ,omega _{n-k}}}  и {ω1′,…,ωn−k′}{displaystyle {omega _{1}’,dots ,omega _{n-k}’}}  — системы 1-форм, определяющие распределение Δ{displaystyle Delta }  в U{displaystyle U}  и в U′{displaystyle U’} , то в пересечении U∩U′{displaystyle Ucap U’}  форма ωi=∑ϕijωj{displaystyle omega _{i}=sum phi _{ij}omega _{j}} , где ϕij{displaystyle phi _{ij}}  — такие гладкие функции, что det(ϕij)≠0{displaystyle det(phi _{ij})neq 0}  в U∩U′{displaystyle Ucap U’} .

Если U=M{displaystyle U=M}

 , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

Распределение называется интегрируемым, если через каждую точку x∈M{displaystyle xin M}

  проходит k{displaystyle k} -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В k{displaystyle k}

 -мерном случае, k>1{displaystyle k>1} , существуют неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: k{displaystyle k}

 -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: k{displaystyle k}

 -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм ω1,…,ωn−k{displaystyle omega _{1},dots ,omega _{n-k}} , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

dωi=∑jηji∧ωj{displaystyle domega _{i}=sum _{j}eta _{j}^{i}wedge omega _{j}}

 ,

где ηji{displaystyle eta _{j}^{i}}

  — гладкие 1-формы. Если определяющие формы ωi{displaystyle omega _{i}}  независимы, это условие эквивалентно системе

ω1∧⋯∧ωn−k∧dωi=0{displaystyle omega _{1}wedge dots wedge omega _{n-k}wedge domega _{i}=0}

 .

Интегрируемое распределение Δ{displaystyle Delta }

  определяет слоение на многообразии M{displaystyle M} : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что 1{displaystyle 1} -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает 1{displaystyle 1} -мерное слоение.

См. также

• Слоение

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.. — М.: Наука, 1989.