Перпендикулярность

Разделы:

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ:⊥{displaystyle perp } $perp$ , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.Например, перпендикулярность прямых m{displaystyle m} $m$ и n{displaystyle n} $n$ записывают как m⊥n{displaystyle mperp n} ${displaystyle mperp n}$ .

Содержание

1 На плоскости
2 В трёхмерном пространстве
3 В многомерных пространствах
- 3.1 Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
- 3.2 Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
4 См. также
5 Примечания

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Про прямую m{displaystyle m}

$m$ перпендикулярную к прямой ℓ{displaystyle ell } $ell$ проведённую через точку P{displaystyle P} $P$ вне прямой ℓ{displaystyle ell } $ell$ , говорят, что m{displaystyle m} $m$ есть перпендикуляр опущенный из P{displaystyle P} $P$ на ℓ{displaystyle ell } $ell$ .Если же точка P{displaystyle P} $P$ лежит на прямой ℓ{displaystyle ell } $ell$ , то говорят, что m{displaystyle m} $m$ есть перпендикуляр к восстановленный из P{displaystyle P} $P$ к ℓ{displaystyle ell } $ell$ (устаревший термин восставленный[1]).

В координатах

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

y=a⋅x+b{displaystyle y=acdot x+b}

{displaystyle y=acdot x+b}

y=k⋅x+m{displaystyle y=kcdot x+m}

{displaystyle y=kcdot x+m}

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

a⋅k=−1.{displaystyle acdot k=-1.}

{displaystyle acdot k=-1.}

Построение перпендикуляра

‘Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А’ и В.

‘Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

Пусть прямая задаётся точками A(xa,ya){displaystyle A(x_{a},y_{a})}

$A(x_a,y_a)$ и B(xb,yb){displaystyle B(x_{b},y_{b})} $B(x_b,y_b)$ . На прямую опускается перпендикуляр из точки P(xp,yp){displaystyle P(x_{p},y_{p})} $P(x_p,y_p)$ .Тогда основание перпендикуляра O(xo,yo){displaystyle O(x_{o},y_{o})} $O(x_o,y_o)$ можно найти следующим образом.

Если xa=xb{displaystyle x_{a}=x_{b}}

$x_a = x_b$ (вертикаль), то xo=xa{displaystyle x_{o}=x_{a}} $x_o = x_a$ и yo=yp{displaystyle y_{o}=y_{p}} $y_o = y_p$ .Если ya=yb{displaystyle y_{a}=y_{b}} $y_a = y_b$ (горизонталь), то xo=xp{displaystyle x_{o}=x_{p}} $x_o = x_p$ и yo=ya{displaystyle y_{o}=y_{a}} $y_o = y_a$ .

Во всех остальных случаях:

xo=xa⋅(yb−ya)2+xp⋅(xb−xa)2+(xb−xa)⋅(yb−ya)⋅(yp−ya)(yb−ya)2+(xb−xa)2{displaystyle x_{o}={frac {x_{a}cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})cdot (y_{b}-y_{a})cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}}

x_o = frac{x_acdot(y_b-y_a)^2 +x_pcdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)cdot(y_b-y_a)cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

yo=(xb−xa)⋅(xp−xo)(yb−ya)+yp{displaystyle y_{o}={frac {(x_{b}-x_{a})cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}}

y_o = frac{(x_b-x_a)cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[2].

В многомерных пространствах

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (29 июля 2014)

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (42)=6{displaystyle {tbinom {4}{2}}=6}

$tbinom{4}{2}=6$ : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство Wn{displaystyle W^{n}} $W^n$ , а прямая l с направляющим векторным пространством L1{displaystyle L^{1}} $L^1$ и гиперплоскость Πk{displaystyle Pi _{k}} $Pi_{k}$ с направляющим векторным пространством Lk{displaystyle L^{k}} $L^{k}$ (где L1⊂Wn{displaystyle L_{1}subset W^{n}} $L_1 subset W^n$ , Lk⊂Wn, k<n{displaystyle L^{k}subset W^{n}, k<n} $L^k subset W^n, k < n$ ) принадлежат пространству Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Πk{displaystyle Pi _{k}}

$Pi_{k}$ , если подпространство L1{displaystyle L_{1}} $L_{1}$ ортогонально подпространству Lk{displaystyle L^{k}} $L^{k}$ , то есть (∀a→∈L1) (∀b→∈Lk) a→b→=0{displaystyle (forall {vec {a}}in L_{1}) (forall {vec {b}}in L_{k}) {vec {a}}{vec {b}}=0} $(forall vec a in L_1) (forall vec b in L_k) vec a vec b=0$

См. также

Примечания

↑ А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
↑ Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539.