Симплекс

Разделы:

Запрос «Симплекс» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Содержание

1 Определение
2 Связанные определения
- 2.1 Стандартный симплекс
3 Свойства
4 Построение
5 Описанная сфера
6 Число граней симплекса
7 Соотношения в правильном симплексе
8 Формулы для правильного симплекса
9 Литература
10 См. также
11 Ссылки

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка (n + 1) точек (n+k){displaystyle (n+k)}

${displaystyle (n+k)}$ -мерного аффинного пространства (k=0,1,2,…{displaystyle k=0,1,2,ldots } ${displaystyle k=0,1,2,ldots }$ ), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в одной гиперплоскости). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}

$mathbb {R} ^{n+1}$ , определяемое как:

Δn={(t0,…,tn)∣(∑i=0nti=1)∧(∀iti⩾0)}.{displaystyle Delta ^{n}={(t_{0},dots ,t_{n})mid {left(sum _{i=0}^{n}t_{i}=1right)}wedge {(forall i;t_{i}geqslant 0)}}.}

{displaystyle Delta ^{n}={(t_{0},dots ,t_{n})mid {left(sum _{i=0}^{n}t_{i}=1right)}wedge {(forall i;t_{i}geqslant 0)}}.}

Его вершинами являются точки:

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин (v0,v1,…,vn){displaystyle (v_{0},v_{1},dots ,v_{n})}

$(v_{0},v_{1},dots ,v_{n})$ :

(t0,…,tn)↦∑itivi.{displaystyle (t_{0},dots ,t_{n})mapsto sum _{i}t_{i}v_{i}.}

(t_{0},dots ,t_{n})mapsto sum _{i}t_{i}v_{i}.

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

n-мерный симплекс имеет n+1{displaystyle n+1} вершин, любые k+1{displaystyle k+1} из которых образуют k-мерную грань.
- В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту (n+1k+1).{displaystyle {tbinom {n+1}{k+1}}.} ${tbinom {n+1}{k+1}}.$
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно n+1{displaystyle n+1} $n+1$ .
Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

V=1n!det(v1−v0,v2−v0,…,vn−v0){displaystyle V={frac {1}{n!}}det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},dots ,v_{n}-v_{0})} $V={frac {1}{n!}}det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},dots ,v_{n}-v_{0})$
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
  
  V2=(−1)n−12n(n!)2|0111…110d012d022…d0n21d1020d122…d1n21d202d2120…d2n2⋮⋮⋮⋮⋱⋮1dn02dn12dn22…0|{displaystyle V^{2}={frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &11&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&dots &d_{0n}^{2}1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&dots &d_{1n}^{2}1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&dots &d_{2n}^{2}vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots 1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&dots &0end{vmatrix}}} $V^{2}={frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &11&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&dots &d_{0n}^{2}1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&dots &d_{1n}^{2}1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&dots &d_{2n}^{2}vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots 1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&dots &0end{vmatrix}}$

где dij=|vi−vj|{displaystyle d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|}

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

— расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен n+1n!⋅2n/2.{displaystyle {frac {sqrt {n+1}}{n!cdot 2^{n/2}}}.} ${frac {sqrt {n+1}}{n!cdot 2^{n/2}}}.$

Радиус R{displaystyle R} $R$ описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

(R⋅V)2=T,{displaystyle (R{cdot }V)^{2}=T,} $(R{cdot }V)^{2}=T,$

где V{displaystyle V}

V

-объем симплекса и

T=(−1)n2n+1n!2|0d122d132…d1(n+1)2d2120d232…d2(n+1)2d312d3220…d3(n+1)2⋮⋮⋮⋱⋮d(n+1)12d(n+1)22d(n+1)32…0|{displaystyle T={frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^{2}}}{begin{vmatrix}0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}vdots &vdots &vdots &ddots &vdots &d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0end{vmatrix}}}

T={frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^{2}}}{begin{vmatrix}0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}vdots &vdots &vdots &ddots &vdots &d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0end{vmatrix}}

Построение

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n + 1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

0-симплекс (точка) – 1 вершина;
1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Доказательство Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудаленные от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера Sn-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n – 1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

x12+x22+x32+…+xn−12=r2.(1){displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+…+x_{n-1}^{2}=r^{2}.qquad (1)}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}=r^{2}.qquad (1)

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, … 0, hS) и радиусом R, причём

R2=r2+hS2.{displaystyle R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.}

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Уравнение этой сферы

x12+x22+x32+…+xn−12+(xn−hS)2=r2+hS2{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+…+x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}

или

x12+x22+x32+…+xn−12=r2−xn2+2xnhS.(2){displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+…+x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.qquad (2)}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.qquad (2)

Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn-1 является подмножеством сферы Sn, а именно – её сечением плоскостью xn = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (x1, x2, x3, …, xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду

x12+x22+x32+…+xn−12+xn2=r2+2xnhS{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+…+x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

и подставим в него координаты точки С:

X12+X22+X32+…+Xn−12+Xn2=r2+2XnhS.{displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+…+X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.}

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+...+X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

RC2=r2+2XnhS,{displaystyle R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},}

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

откуда можно выразить параметр hS:

hS=RC2−r22Xn.{displaystyle h_{S}={frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.}

h_{S}={frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn–1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, …, hS) будет лежать и сфера Sn-1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n-1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n-1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

K(L,n)=Cn+1L+1,{displaystyle K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},}

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

где Cnm{displaystyle C_{n}^{m}}

$C_{n}^{m}$ – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

K(0,n)=K(n−1,n)=n+1.{displaystyle K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.}

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a обозначим:

Hn — высоту;
Vn — объём;
Rn — радиус описанной сферы;
rn — радиус вписанной сферы;
αn — двугранный угол.

Тогда

Hn=an+12n=Rnn+1n{displaystyle H_{n}=a{sqrt {frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{frac {n+1}{n}}} $H_{n}=a{sqrt {frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{frac {n+1}{n}}$
Vn=ann!n+12n=Rnnn!(n+1n)n{displaystyle V_{n}={frac {a^{n}}{n!}}{sqrt {frac {n+1}{2^{n}}}}={frac {R_{n}^{n}}{n!}}{sqrt {left({frac {n+1}{n}}right)^{n}}}} $V_{n}={frac {a^{n}}{n!}}{sqrt {frac {n+1}{2^{n}}}}={frac {R_{n}^{n}}{n!}}{sqrt {left({frac {n+1}{n}}right)^{n}}}$
Rn=an2(n+1){displaystyle R_{n}=a{sqrt {frac {n}{2(n+1)}}}} $R_{n}=a{sqrt {frac {n}{2(n+1)}}}$
rn=a2n(n+1)=Rnn{displaystyle r_{n}={frac {a}{sqrt {2n(n+1)}}}={frac {R_{n}}{n}}} $r_{n}={frac {a}{sqrt {2n(n+1)}}}={frac {R_{n}}{n}}$
cos⁡α=1n{displaystyle cos alpha ={frac {1}{n}}} $cos alpha ={frac {1}{n}}$
Rn=Hnnn−1{displaystyle R_{n}=H_{n}{frac {n}{n-1}}} $R_{n}=H_{n}{frac {n}{n-1}}$
a2=Hn2+Rn−12{displaystyle a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}} $a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
Vn=1nVn−1Hn{displaystyle V_{n}={frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}} $V_{n}={frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
rn=Rn2−Rn−12{displaystyle r_{n}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}} $r_{n}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}$

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	K(L,n)=(n+1L+1){displaystyle K(L,n)={tbinom {n+1}{L+1}}} $K(L,n)={tbinom {n+1}{L+1}}$
Высота	Hn=an+12n{displaystyle H_{n}=a{sqrt {frac {n+1}{2n}}}} $H_{n}=a{sqrt {frac {n+1}{2n}}}$	Hn=Rnn+1n{displaystyle H_{n}=R_{n}{frac {n+1}{n}}} $H_{n}=R_{n}{frac {n+1}{n}}$	H2=a32{displaystyle H_{2}=a{frac {sqrt {3}}{2}}} $H_{2}=a{frac {sqrt {3}}{2}}$	H3=a63{displaystyle H_{3}=a{frac {sqrt {6}}{3}}} $H_{3}=a{frac {sqrt {6}}{3}}$	H4=a104{displaystyle H_{4}=a{frac {sqrt {10}}{4}}} $H_{4}=a{frac {sqrt {10}}{4}}$
Объём	Vn=ann!n+12n{displaystyle V_{n}={frac {a^{n}}{n!}}{sqrt {frac {n+1}{2^{n}}}}} $V_{n}={frac {a^{n}}{n!}}{sqrt {frac {n+1}{2^{n}}}}$	Vn=Rnnn!(n+1n)n{displaystyle V_{n}={frac {R_{n}^{n}}{n!}}{sqrt {left({frac {n+1}{n}}right)^{n}}}} $V_{n}={frac {R_{n}^{n}}{n!}}{sqrt {left({frac {n+1}{n}}right)^{n}}}$	V2=a234{displaystyle V_{2}=a^{2}{frac {sqrt {3}}{4}}} $V_{2}=a^{2}{frac {sqrt {3}}{4}}$	V3=a3212{displaystyle V_{3}=a^{3}{frac {sqrt {2}}{12}}} $V_{3}=a^{3}{frac {sqrt {2}}{12}}$	V4=a4596{displaystyle V_{4}=a^{4}{frac {sqrt {5}}{96}}} $V_{4}=a^{4}{frac {sqrt {5}}{96}}$
Радиус описанной сферы	Rn=an2(n+1){displaystyle R_{n}=a{sqrt {frac {n}{2(n+1)}}}} $R_{n}=a{sqrt {frac {n}{2(n+1)}}}$	a=Rn2(n+1)n{displaystyle a=R_{n}{sqrt {frac {2(n+1)}{n}}}} $a=R_{n}{sqrt {frac {2(n+1)}{n}}}$	R2=a33{displaystyle R_{2}=a{frac {sqrt {3}}{3}}} $R_{2}=a{frac {sqrt {3}}{3}}$	R3=a64{displaystyle R_{3}=a{frac {sqrt {6}}{4}}} $R_{3}=a{frac {sqrt {6}}{4}}$	R4=a105{displaystyle R_{4}=a{frac {sqrt {10}}{5}}} $R_{4}=a{frac {sqrt {10}}{5}}$
Радиус вписанной сферы	rn=a2n(n+1){displaystyle r_{n}={frac {a}{sqrt {2n(n+1)}}}} $r_{n}={frac {a}{sqrt {2n(n+1)}}}$	rn=Rnn{displaystyle r_{n}={frac {R_{n}}{n}}} $r_{n}={frac {R_{n}}{n}}$	r2=a36{displaystyle r_{2}=a{frac {sqrt {3}}{6}}} $r_{2}=a{frac {sqrt {3}}{6}}$	r3=a612{displaystyle r_{3}=a{frac {sqrt {6}}{12}}} $r_{3}=a{frac {sqrt {6}}{12}}$	r4=a1020{displaystyle r_{4}=a{frac {sqrt {10}}{20}}} $r_{4}=a{frac {sqrt {10}}{20}}$
Двугранный угол	cos⁡α=1n{displaystyle cos alpha ={frac {1}{n}}} $cos alpha ={frac {1}{n}}$