Гиперсфера

Разделы:

Гиперсфера — гиперповерхность в n{displaystyle n} $n$ —мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при n=1{displaystyle n=1} $n = 1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при n=2{displaystyle n=2} $n = 2$ она представляет собой окружность;
при n=3{displaystyle n=3} $n=3$ гиперсфера является сферой.
при n=4{displaystyle n=4} $n=4$ гиперсфера является 3-сферой.

Стереографическая проекция поверхности 3-сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3-сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу. Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы.Гиперсфера является (n−1){displaystyle (n-1)} $(n-1)$ -мерным подмногообразием в n{displaystyle n} $n$ —мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Содержание

1 Уравнения
2 Гиперсферические координаты
3 Площадь и объём
4 Топология гиперсферы
5 Примечания
6 См. также
7 Ссылки

Уравнения

Гиперсфера радиуса R{displaystyle R}

$R$ с центром в точке a={a1,a2,…an}{displaystyle a=left{a_{1},a_{2},dots a_{n}right}} $a=left{a_{1},a_{2},dots a_{n}right}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

(x1−a1)2+(x2−a2)2+⋯+(xn−an)2=R2{displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}}

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

x=ρ⋅cos⁡α{displaystyle x=rho cdot cos alpha }

x=rho cdot cos alpha

y=ρ⋅sin⁡α{displaystyle y=rho cdot sin alpha }

y=rho cdot sin alpha

а сферические координаты так:

x=ρ⋅cos⁡α⋅sin⁡β{displaystyle x=rho cdot cos alpha cdot sin beta }

x=rho cdot cos alpha cdot sin beta

y=ρ⋅sin⁡α⋅sin⁡β{displaystyle y=rho cdot sin alpha cdot sin beta }

y=rho cdot sin alpha cdot sin beta

z=ρ⋅cos⁡β{displaystyle z=rho cdot cos beta }

z=rho cdot cos beta

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

x1=ρ⋅sin⁡α1⋅sin⁡α2⋅⋯⋅sin⁡αn−1{displaystyle x_{1}=rho cdot sin alpha _{1}cdot sin alpha _{2}cdot dots cdot sin alpha _{n-1}}

x_{1}=rho cdot sin alpha _{1}cdot sin alpha _{2}cdot dots cdot sin alpha _{{n-1}}

x2=ρ⋅cos⁡α1⋅sin⁡α2⋅⋯⋅sin⁡αn−1{displaystyle x_{2}=rho cdot cos alpha _{1}cdot sin alpha _{2}cdot dots cdot sin alpha _{n-1}}

x_{2}=rho cdot cos alpha _{1}cdot sin alpha _{2}cdot dots cdot sin alpha _{{n-1}}

x3=ρ⋅cos⁡α2⋅sin⁡α3⋅⋯⋅sin⁡αn−1{displaystyle x_{3}=rho cdot cos alpha _{2}cdot sin alpha _{3}cdot dots cdot sin alpha _{n-1}}

x_{3}=rho cdot cos alpha _{2}cdot sin alpha _{3}cdot dots cdot sin alpha _{{n-1}}

…{displaystyle dots }

dots

xn=ρ⋅cos⁡αn−1{displaystyle x_{n}=rho cdot cos alpha _{n-1}}

x_{n}=rho cdot cos alpha _{{n-1}}

Якобиан этого преобразования равен

J=ρn−1sinα2⋅sin2α3⋅⋯⋅sinn−2αn−1{displaystyle J=rho ^{n-1}sin ,alpha _{2}cdot sin ^{2},alpha _{3}cdot dots cdot sin ^{n-2},alpha _{n-1}}

J=rho ^{{n-1}}sin ,alpha _{2}cdot sin ^{2},alpha _{3}cdot dots cdot sin ^{{n-2}},alpha _{{n-1}}

Площадь и объём

Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x. Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности Sn{displaystyle ~S_{n}}

$~S_{{n}}$ гиперсферы размерности n{displaystyle ~n} $~n$ и объём Vn{displaystyle ~V_{n}} $~V_{n}$ , ограниченный ею (объём шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:

Sn=nCnRn−1{displaystyle ~S_{n}=nC_{n}R^{n-1}}

~S_{{n}}=nC_{n}R^{{n-1}}

Vn=CnRn {displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n} }

V_{n}=C_{n}R^{n}

где

Cn=πn/2Γ(n2+1){displaystyle C_{n}={frac {pi ^{n/2}}{Gamma ({n over 2}+1)}}}

C_{n}={frac {pi ^{{n/2}}}{Gamma ({n over 2}+1)}}

а Γ(x){displaystyle ~Gamma (x)}

$~Gamma (x)$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

C2k=πkk!{displaystyle C_{2k}={frac {pi ^{k}}{k!}}}

C_{{2k}}={frac {pi ^{k}}{k!}}

C2k+1=2k+1πk(2k+1)!!{displaystyle C_{2k+1}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}}

C_{{2k+1}}={frac {2^{{k+1}}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Здесь n!!{displaystyle ~n!!}

$~n!!$ — двойной факториал.

Так как

Vn/Sn−1=R/n{displaystyle ~V_{n}/S_{n-1}=R/n}

~V_{n}/S_{{n-1}}=R/n

Sn+1/Vn=2πR{displaystyle ~S_{n+1}/V_{n}=2pi R}

~S_{{n+1}}/V_{n}=2pi R

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

Vn=2πR2nVn−2{displaystyle V_{n}={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2}}

V_{n}={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объем для S6{displaystyle S_{6}}

$S_{{6}}$ и V5{displaystyle V_{5}} $V_{{5}}$ соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера	2π{displaystyle 2pi } $2pi$	4π{displaystyle 4pi } $4pi$	2π2{displaystyle 2pi ^{2}} $2pi ^{2}$	83π2{displaystyle {frac {8}{3}}pi ^{2}} ${frac {8}{3}}pi ^{2}$	π3{displaystyle pi ^{3}} $pi ^{3}$	1615π3{displaystyle {frac {16}{15}}pi ^{3}} ${frac {16}{15}}pi ^{3}$	13π4{displaystyle {frac {1}{3}}pi ^{4}} ${frac {1}{3}}pi ^{4}$	32105π4{displaystyle {frac {32}{105}}pi ^{4}} ${frac {32}{105}}pi ^{4}$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар	2{displaystyle 2} $2$	π{displaystyle pi } $pi$	43π{displaystyle {frac {4}{3}}pi } ${frac {4}{3}}pi$	12π2{displaystyle {frac {1}{2}}pi ^{2}} ${frac {1}{2}}pi ^{2}$	815π2{displaystyle {frac {8}{15}}pi ^{2}} ${frac {8}{15}}pi ^{2}$	16π3{displaystyle {frac {1}{6}}pi ^{3}} ${frac {1}{6}}pi ^{3}$	16105π3{displaystyle {frac {16}{105}}pi ^{3}} ${frac {16}{105}}pi ^{3}$	124π4{displaystyle {frac {1}{24}}pi ^{4}} ${frac {1}{24}}pi ^{4}$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

Обратите внимание, что в строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.

Топология гиперсферы

В данном разделе под сферой Sn{displaystyle S_{n}}

$S_{n}$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром Bn{displaystyle B_{n}} $B_{n}$ — n-мерный гипершар, то есть Sn↪Rn+1{displaystyle S_{n}hookrightarrow mathbb {R} ^{n+1}} $S_{n}hookrightarrow mathbb{R} ^{{n+1}}$ , Bn↪Rn{displaystyle B_{n}hookrightarrow mathbb {R} ^{n}} $B_{n}hookrightarrow mathbb{R} ^{n}$ .

Сфера Sn{displaystyle S_{n}} $S_{n}$ гомеоморфна факторизации шара Bn{displaystyle B_{n}} $B_{{n}}$ по его границе.
Шар Bn{displaystyle B_{n}} $B_{n}$ гомеоморфен факторизации Bn≃(Sn−1×[0,1])/(Sn−1×{1}){displaystyle B_{n}simeq (S_{n-1}times [0,1])/(S_{n-1}times {1})} $B_{n}simeq (S_{{n-1}}times [0,1])/(S_{{n-1}}times {1})$ .
Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных B0=pt{displaystyle B_{0}=mathrm {pt} } $B_{0}={mathrm {pt}}$ и Bn{displaystyle B_{n}} $B_{n}$ . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая Sn{displaystyle S_{n}} $S_{n}$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные Bn{displaystyle B_{n}} $B_{n}$ , и сферу Sn−1{displaystyle S_{n-1}} $S_{{n-1}}$ , являющуюся их общей границей.

Примечания

↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также

Расслоение Хопфа