Хорда (геометрия)

• Разделы:
  • Свойства хорд эллипса
  • Основные формулы
  • Связанные понятия
  • Ссылки

У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда.

Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зелёным цветом), 4 — дуга

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.

Содержание

• 1 Свойства хорд окружности
  • 1.1 Хорда и расстояние до центра окружности
  • 1.2 Хорда и диаметр
  • 1.3 Хорда и радиус
  • 1.4 Хорда и вписанный угол
  • 1.5 Хорда и центральный угол
  • 1.6 Хорда и дуга
  • 1.7 Другие свойства
• 2 Свойства хорд эллипса
• 3 Основные формулы
• 4 Связанные понятия
• 5 Ссылки

Свойства хорд окружности

  Если хорда AD{displaystyle AD}  равна хорде BC{displaystyle BC} , то дуга AD{displaystyle AD}  равна дуге BC{displaystyle BC} . Если хорда AD{displaystyle AD}  параллельна хорде BC{displaystyle BC} , то дуга AB{displaystyle AB}  равна дуге CD{displaystyle CD} 

• Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга

• Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
• Из дуг, меньших полуокружности, большая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, меньших полуокружности, большая хорда стягивает большую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
• Из дуг, больших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, большая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, больших полуокружности, большая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает большую дугу.
• Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
• Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства

  Рис. 1. AE⋅EB=CE⋅ED{displaystyle AEcdot EB=CEcdot ED} 

• При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): AE⋅EB=CE⋅ED{displaystyle AEcdot EB=CEcdot ED} .
• Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

Свойства хорд эллипса

Основные формулы

  Рис. 2   Рис. 3

• Длина хорды равна l=2rsin⁡α2{displaystyle l=2rsin {frac {alpha }{2}}} , где r{displaystyle r}  — радиус окружности, α{displaystyle alpha }  — центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
• Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3): (l2)2+d2=r2{displaystyle left({frac {l}{2}}right)^{2}+d^{2}=r^{2}} , где l{displaystyle l}  — длина хорды, r{displaystyle r}  — радиус окружности, d{displaystyle d}  — расстояние от центра окружности до хорды.
• Если известны все четыре отрезка двух пересекающихся хорд, например, a1=AE;,a2=EB;b1=CE;b2=ED{displaystyle a_{1}=AE,;,a_{2}=EB,;,b_{1}=CE,;,b_{2}=ED}  (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:

r=a1a2+(a1−a2)2+(b1−b2)2−2(a1−a2)(b1−b2)|cos⁡(t)|4sin2⁡(t){displaystyle r={sqrt {a_{1}a_{2}+{frac {(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}-2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})|cos(t)|}{4,sin ^{2}(t)}}}}}

 где t{displaystyle t}  — угол между хордами и должно выполняться ограничение a1⋅a2=b1⋅b2{displaystyle a_{1}cdot a_{2}=b_{1}cdot b_{2}} 

Связанные понятия

• Касательная
• Секущая
• Диаметр
• Дуга окружности

Ссылки

• Справочник. Окружности  (неопр.). Архивировано 3 декабря 2012 года.