Базис

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Базис (значения).

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре.
Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства.

В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

Содержание

1 Происхождение термина
2 Базис на плоскости и в трёхмерном пространстве
- 2.1 Обозначения
3 Базис Гамеля
- 3.1 Примеры
- 3.2 Базис Гамеля и разрывная линейная функция
4 Базис Шаудера
- 4.1 Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций ’»`UNIQ—postMath-0000002B-QINU`»‘
- 4.2 Проблема базиса
5 Применение в кристаллографии
6 См. также
7 Примечания
8 Литература

Происхождение термина

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Базис на плоскости и в трёхмерном пространстве

Базис на плоскости. Базисные векторы изображены голубым и оранжевым цветом, зелёный вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зелёный = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси.Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

e→1,e→2{displaystyle {vec {e}}_{1},{vec {e}}_{2}}

{vec e}_{1},{vec e}_{2}

или

e→x,e→y{displaystyle {vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y}}

{vec e}_{x},{vec e}_{y}

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются исходящими из общего начала).

e→1,e→2,e→3{displaystyle {vec {e}}_{1},{vec {e}}_{2},{vec {e}}_{3}}

{vec e}_{1},{vec e}_{2},{vec e}_{3}

или

e→x,e→y,e→z{displaystyle {vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y},{vec {e}}_{z}}

vec e_x, vec e_y, vec e_z

— трёхмерного пространства.Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

i→,j→,k→.{displaystyle {vec {i}},{vec {j}},{vec {k}}.}

{vec i},{vec j},{vec k}.

Представление какого-то конкретного (любого) вектора a→{displaystyle {vec {a}}}

$vec a$ пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

a→=axe→x+aye→y+aze→z{displaystyle {vec {a}}=a_{x}{vec {e}}_{x}+a_{y}{vec {e}}_{y}+a_{z}{vec {e}}_{z}}

{vec a}=a_{x}{vec e}_{x}+a_{y}{vec e}_{y}+a_{z}{vec e}_{z}

или

a→=a1e→1+a2e→2+a3e→3{displaystyle {vec {a}}=a_{1}{vec {e}}_{1}+a_{2}{vec {e}}_{2}+a_{3}{vec {e}}_{3}}

{vec a}=a_{1}{vec e}_{1}+a_{2}{vec e}_{2}+a_{3}{vec e}_{3}

или, употребляя знак суммы Σ{displaystyle Sigma }

$Sigma$ :

a→=∑i=13aie→i{displaystyle {vec {a}}=sum _{i=1}^{3}a_{i}{vec {e}}_{i}}

{vec a}=sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{vec e}_{i}

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты (ax,ay,az){displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})}

$(a_{x},a_{y},a_{z})$ называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора a→{displaystyle {vec {a}}} $vec a$ в базисе e→x,e→y,e→z.{displaystyle {vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y},{vec {e}}_{z}.} ${vec e}_{x},{vec e}_{y},{vec e}_{z}.$ (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Гамеля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть S1{displaystyle S_{1}}

$S_{1}$ — полная, а S2{displaystyle S_{2}} $S_{2}$ — линейно независимая система векторов. Тогда система S1{displaystyle S_{1}} $S_{1}$ содержит набор векторов, дополняющий S2{displaystyle S_{2}} $S_{2}$ до базиса пространства V{displaystyle V} $V$ .

Следствием этой леммы являются утверждения:

Каждое линейное пространство обладает базисом.
Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается dim⁡V{displaystyle dim V}

$dim V$ ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры

Векторы e1,e2,…,en{displaystyle e_{1},e_{2},dots ,e_{n}} $e_{1},e_{2},dots ,e_{n}$ пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: det{e1,e2,…,en}≠0{displaystyle det{e_{1},e_{2},dots ,e_{n}}neq 0} $det{e_{1},e_{2},dots ,e_{n}}neq 0$ .
В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: 1,x,x2,…,xn,…{displaystyle 1,x,x^{2},dots ,x^{n},dots } $1,x,x^{2},dots ,x^{n},dots$ .
Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию f(x+y)=f(x)+f(y){displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Пусть {rα}{displaystyle {r_{alpha }}} ${r_{alpha }}$ — базис Гамеля множества действительных чисел R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ над полем рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} } $mathbb {Q}$ . Тогда для каждого x=kα1rα1+⋯+kαnrαn{displaystyle x=k_{alpha _{1}}r_{alpha _{1}}+cdots +k_{alpha _{n}}r_{alpha _{n}}} $x=k_{{alpha _{1}}}r_{{alpha _{1}}}+cdots +k_{{alpha _{n}}}r_{{alpha _{n}}}$ (ki∈Q{displaystyle k_{i}in mathbb {Q} } $k_{i}in {mathbb {Q}}$ ) положим f(x)=kα1+⋯+kαn{displaystyle f(x)=k_{alpha _{1}}+cdots +k_{alpha _{n}}} $f(x)=k_{{alpha _{1}}}+cdots +k_{{alpha _{n}}}$ . Функция f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Базис Шаудера

Система векторов {en}{displaystyle {e_{n}}}

${e_{n}}$ топологического векторного пространства L{displaystyle L} $L$ называется базисом Шаудера (в честь шаблон не поддерживает такой синтаксис), если каждый элемент f∈L{displaystyle fin L} $fin L$ разлагается в единственный, сходящийся к f{displaystyle f} $f$ ряд по {en}{displaystyle {e_{n}}} ${e_{n}}$ :

f=∑i=1∞fiei,{displaystyle f=sum _{i=1}^{infty }f_{i}e_{i},}

f=sum _{{i=1}}^{{infty }}f_{i}e_{i},

где fi{displaystyle f_{i}}

$f_{i}$ — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f{displaystyle f} $f$ по базису {en}{displaystyle {e_{n}}} ${e_{n}}$ .

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций {1,12sin⁡(2πnx),12cos⁡(2πnx)∣n=1,2,…}{displaystyle {1,{frac {1}{sqrt {2}}}sin(2pi nx),{frac {1}{sqrt {2}}}cos(2pi nx)mid n=1,2,dots }}

${1,{frac {1}{{sqrt {2}}}}sin(2pi nx),{frac {1}{{sqrt {2}}}}cos(2pi nx)mid n=1,2,dots }$ является базисом Шаудера в пространстве L2[0,1]{displaystyle L^{2}[0,1]} $L^{2}[0,1]$ . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b]{displaystyle C[a,b]} $C[a,b]$

C[a,b]{displaystyle C[a,b]}

$C[a,b]$ — банахово пространство с нормой ‖f‖=maxx∈[a,b]|f(x)|{displaystyle |f|=max _{xin [a,b]}|f(x)|} $|f|=max _{{xin [a,b]}}|f(x)|$ . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве L2[a,b]{displaystyle L^{2}[a,b]} $L^{2}[a,b]$ , но не в C[a,b]{displaystyle C[a,b]} $C[a,b]$ . Шаудер сконструировал базис Шаудера {en}{displaystyle {e_{n}}} ${e_{n}}$ для C[a,b]{displaystyle C[a,b]} $C[a,b]$ . Пусть {x0,x1,…,xn,…}{displaystyle {x_{0},x_{1},dots ,x_{n},dots }} ${x_{0},x_{1},dots ,x_{n},dots }$ — плотное счетное множество точек на [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , x0=a{displaystyle x_{0}=a} $x_{0}=a$ , x1=b{displaystyle x_{1}=b} $x_{1}=b$ , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , упорядоченными произвольным образом. Положим: e0=1{displaystyle e_{0}=1} $e_{0}=1$ , e1=(x−a)/(b−a){displaystyle e_{1}=(x-a)/(b-a)} $e_{1}=(x-a)/(b-a)$ — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию en(x){displaystyle e_{n}(x)} $e_{n}(x)$ так, чтобы en(xi)=0{displaystyle e_{n}(x_{i})=0} $e_{n}(x_{i})=0$ при i=0,1,…,n−1{displaystyle i=0,1,dots ,n-1} $i=0,1,dots ,n-1$ и en(xn)=1{displaystyle e_{n}(x_{n})=1} $e_{n}(x_{n})=1$ . Точки x0,x1,x2,…,xn−1{displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},dots ,x_{n-1}} $x_{0},x_{1},x_{2},dots ,x_{{n-1}}$ разбивают [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ на n−1{displaystyle n-1} $n-1$ отрезок. Точка xn{displaystyle x_{n}} $x_{n}$ лежит строго внутри одного из них. Пусть это In=[xj,xk]{displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}]} $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ для каких-то j,k∈{0,…,n−1}{displaystyle j,kin {0,dots ,n-1}} $j,kin {0,dots ,n-1}$ (порядок нумерации чисел x0,x1,x2,…{displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},dots } $x_{0},x_{1},x_{2},dots$ не соответствует их величине). Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение L5(x){displaystyle L_{5}(x)} $L_{{5}}(x)$ . Красным цветом на графике выделен участок, на котором L5{displaystyle L_{5}} $L_{{5}}$ отличается от L4{displaystyle L_{4}} $L_{{4}}$ (синяя ломаная).

Положим:

en(x)=0{displaystyle e_{n}(x)=0}

e_{n}(x)=0

вне отрезка In=[xj,xk],{displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}],}

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

en(x)=x−xjxn−xj{displaystyle e_{n}(x)={frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}}

e_{n}(x)={frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

при x∈[xj,xn],{displaystyle xin [x_{j},x_{n}],}

xin [x_{j},x_{n}],

en(x)=xk−xxk−xn{displaystyle e_{n}(x)={frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}}

e_{n}(x)={frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

при x∈[xn,xk].{displaystyle xin [x_{n},x_{k}].}

xin [x_{n},x_{k}].

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f(x)∈C[a,b]{displaystyle f(x)in C[a,b]}

$f(x)in C[a,b]$ по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений f(xi){displaystyle f(x_{i})} $f(x_{i})$ . Частичная сумма первых n+1{displaystyle n+1} $n+1$ членов ряда

Ln(x)=∑i=0nfiei(x),{displaystyle L_{n}(x)=sum _{i=0}^{n}f_{i}e_{i}(x),}

L_{n}(x)=sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ с узлами в точкахx0,x1,x2,…,xn{displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} $x_{0},x_{1},x_{2},dots ,x_{{n}}$ ; формула для коэффициентов fn=f(xn)−Ln−1(xn);f0=f(a){displaystyle f_{n}=f(x_{n})-L_{n-1}(x_{n});;;f_{0}=f(a)} $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});;;f_{0}=f(a)$ (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографии

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами[1]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. также

В Викисловаре есть статья «базис»

Репер — близкое понятие.
Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
Базис Грёбнера
Базис Рисса
Конечномерное пространство
Флаг (математика)

Примечания

↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

В Викисловаре есть статья «базис»

Литература

Кутателадзе С. С., Основы функционального анализа. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.