Главная » wiki

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Plot of the six trigonometric functions, the unit circle, and a line for the angle θ = 0.7 radians. The points labelled 1, Sec(θ), Csc(θ) represent the length of the line segment from the origin to that point. Sin(θ), Tan(θ), and 1 are the heights to the line starting from the x-axis, while Cos(θ), 1, and Cot(θ) are lengths along the x-axis starting from the origin.

The functions sine, cosine and tangent of an angle are sometimes referred to as the primary or basic trigonometric functions. Their usual abbreviations are sin(θ), cos(θ) and tan(θ), respectively, where θ denotes the angle. The parentheses around the argument of the functions are often omitted, e.g., sin θ and cos θ, if an interpretation is unambiguously possible.

The sine of an angle is defined, in the context of a right triangle, as the ratio of the length of the side that is opposite to the angle divided by the length of the longest side of the triangle (the hypotenuse).

sin⁡θ=oppositehypotenuse.{displaystyle sin theta ={frac {text{opposite}}{text{hypotenuse}}}.}

The cosine of an angle in this context is the ratio of the length of the side that is adjacent to the angle divided by the length of the hypotenuse.

cos⁡θ=adjacenthypotenuse.{displaystyle cos theta ={frac {text{adjacent}}{text{hypotenuse}}}.}

The tangent of an angle in this context is the ratio of the length of the side that is opposite to the angle divided by the length of the side that is adjacent to the angle. This i
s the same as the ratio of the sine to the cosine of this angle, as can be seen by substituting the definitions of sin and cos from above:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=oppositeadjacent.{displaystyle tan theta ={frac {sin theta }{cos theta }}={frac {text{opposite}}{text{adjacent}}}.}

The remaining trigonometric functions secant (sec), cosecant (csc), and cotangent (cot) are defined as the reciprocal functions of cosine, sine, and tangent, respectively. Rarely, these are called the secondary trigonometric functions:

sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ.{displaystyle sec theta ={frac {1}{cos theta }},quad csc theta ={frac {1}{sin theta }},quad cot theta ={frac {1}{tan theta }}={frac {cos theta }{sin theta }}.}

These definitions are sometimes referred to as ratio identities.

Содержание

Основные тригонометрические формулы

№ Формула Допустимые значения аргумента
1.1 sin2⁡α+cos2⁡α=1{displaystyle operatorname {sin} ^{2}alpha +operatorname {cos} ^{2}alpha =1}  ∀α{displaystyle forall alpha } 
1.2 tg2⁡α+1=1cos2⁡α=sec2⁡α{displaystyle operatorname {tg} ^{2}alpha +1={frac {1}{cos ^{2}alpha }}=operatorname {sec} ^{2}alpha }  α≠π2+πn,n∈Z{displaystyle alpha neq {frac {pi }{2}}+pi n,nin mathbb {Z} } 
1.3 ctg2⁡α+1=1sin2⁡α=cosec2⁡α{displaystyle operatorname {ctg} ^{2}alpha +1={frac {1}{sin ^{2}alpha }}=operatorname {cosec} ^{2}alpha }  α≠πn,n∈Z{displaystyle alpha neq pi n,nin mathbb {Z} } 
1.4 tg⁡α⋅ctg⁡α=1{displaystyle operatorname {tg} alpha cdot operatorname {ctg} alpha =1}  α≠πn2,n∈Z{displaystyle alpha neq {frac {pi n}{2}},nin mathbb {Z} } 
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на cos2⁡α{displaystyle cos ^{2}alpha }  и sin2⁡α{displaystyle sin ^{2}alpha }  соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Замечание

Есть и другие тригонометрические функции.

Формулы сложения и вычитания аргументов

№ Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1 sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{displaystyle sin left(alpha pm beta right)=sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta } 
2.2 cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{displaystyle cos left(alpha pm beta right)=cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta } 
2.3 tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β{displaystyle operatorname {tg} left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta }{1mp operatorname {tg} alpha operatorname {tg} beta }}} 
2.4 ctg⁡(α±β)=ctg⁡αctg⁡β∓1ctg⁡β±ctg⁡α{displaystyle operatorname {ctg} left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {ctg} alpha operatorname {ctg} beta mp 1}{operatorname {ctg} beta pm operatorname {ctg} alpha }}} 

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Вывод формул для sin⁡(α+β), cos⁡(α+β){displaystyle sin(alpha +beta ), cos(alpha +beta )}   Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что AB=1,∠DAC=α,∠DAB=β;{displaystyle AB=1,angle DAC=alpha ,angle DAB=beta ;}

 

По построению: ∠ABC=90−α−β;∠ABD=90−β;{displaystyle angle ABC=90-alpha -beta ;angle ABD=90-beta ;}

 

Тогда: ∠OBD=∠ABD−∠ABO=α;{displaystyle angle OBD=angle ABD-angle ABO=alpha ;}

 

Из треугольника ABD:

BD=sin⁡β;AD=cos⁡β;{displaystyle BD=sin beta ;AD=cos beta ;} 

Из треугольника BOD:

OB=BDcos⁡α=sin⁡βcos⁡α;{displaystyle OB={frac {BD}{cos alpha }}={frac {sin beta }{cos alpha }};} 
OD=OB⋅sin⁡α=sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{displaystyle OD=OBcdot sin alpha ={frac {sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}} 

Так как O лежит на отрезке AD:

AO=AD−OD=cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{displaystyle AO=AD-OD=cos beta -{frac {sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}={frac {cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta }{cos alpha }}} 

Тогда сразу:

cos⁡(α+β)=AC=AO⋅cos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β{displaystyle cos(alpha +beta )=AC=AOcdot cos alpha =cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta } 

Из треугольника AOC:

OC=AO⋅sin⁡α=sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α{displaystyle OC=AOcdot sin alpha ={frac {sin alpha cdot (cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta )}{cos alpha }}} 

Следовательно:

sin⁡(α+β)=BC=OB+OC=sin⁡βcos⁡α+sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α={displaystyle sin(alpha +beta )=BC=OB+OC={frac {sin beta }{cos alpha }}+{frac {sin alpha cdot (cos alpha cdot cos beta -sin alpha cdot sin beta )}{cos alpha }}=} 
sin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅(1−sin2⁡α)cos⁡α=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β{displaystyle sin alpha cdot cos beta +{frac {sin beta cdot (1-sin ^{2}alpha )}{cos alpha }}=sin alpha cdot cos beta +cos alpha cdot sin beta } 

Что и требовалось доказать[источник не указан 2552 дня].

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:

№ Формулы двойного угла
3.1 sin⁡2α=2sin⁡α cos⁡α=2tg⁡α1+tg2⁡α{displaystyle operatorname {sin} 2alpha =2{sin alpha } {cos alpha }={frac {2operatorname {tg} alpha }{1+operatorname {tg} ^{2}alpha }}} 
3.2 cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α{displaystyle operatorname {cos} 2alpha ={cos ^{2}alpha }-{sin ^{2}alpha }} 
cos⁡2α=2cos2⁡α−1=1−2sin2⁡α{displaystyle operatorname {cos} 2alpha =2{cos ^{2}alpha }-1=1-2{sin ^{2}alpha }} 
3.3 tg⁡2α=2tg⁡α1−tg2⁡α{displaystyle operatorname {tg} 2alpha ={frac {2operatorname {tg} alpha }{1-operatorname {tg} ^{2}alpha }}} 
3.4 ctg⁡2α=ctg2⁡α−12ctg⁡α{displaystyle operatorname {ctg} 2alpha ={frac {operatorname {ctg} ^{2}alpha -1}{2operatorname {ctg} alpha }}} 

Примечания

для формулы tg⁡2α{displaystyle operatorname {tg} 2alpha }

 :

  • α≠π4+π2n,n∈Z,{displaystyle alpha not ={frac {pi }{4}}+{frac {pi }{2}}n,nin mathbb {Z} ,} 
  • α≠π2+πn,n∈Z,{displaystyle alpha not ={frac {pi }{2}}+pi n,nin mathbb {Z} ,} 

для формулы ctg⁡2α{displaystyle operatorname {ctg} 2alpha }

 : α≠π2+πn,n∈Z.{displaystyle alpha not ={frac {pi }{2}}+pi n,nin mathbb {Z} .} 

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

№ Формулы половинного угла
3.5 sin⁡α2=±1−cos⁡α2{displaystyle sin {alpha over 2}=pm {sqrt {1-cos alpha over 2}}} 
3.6 cos⁡α2=±1+cos⁡α2{displaystyle cos {alpha over 2}=pm {sqrt {1+cos alpha over 2}}} 
3.7 tg⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α{displaystyle operatorname {tg} {alpha over 2}=pm {sqrt {1-cos alpha over 1+cos alpha }}={sin alpha over 1+cos alpha }={1-cos alpha over sin alpha }} 

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:

№ Формулы тройного угла
4.1 sin⁡3α=3sin⁡α−4sin3⁡α{displaystyle sin 3alpha =3sin alpha -4sin ^{3}alpha } 
4.2 cos⁡3α=4cos3⁡α−3cos⁡α{displaystyle cos 3alpha =4cos ^{3}alpha -3cos alpha } 
4.3 tg⁡3α=3tg⁡α−tg3⁡α1−3tg2⁡α{displaystyle operatorname {tg} 3alpha ={frac {3operatorname {tg} alpha -operatorname {tg} ^{3}alpha }{1-3operatorname {tg} ^{2}alpha }}} 
4.4 ctg⁡3α=3ctg⁡α−ctg3⁡α1−3ctg2⁡α{displaystyle operatorname {ctg} 3alpha ={frac {3operatorname {ctg} alpha -operatorname {ctg} ^{3}alpha }{1-3operatorname {ctg} ^{2}alpha }}} 

Примечания

для формулы tg⁡3α{displaystyle operatorname {tg} 3alpha }

 : α≠π6+π3n,n∈Z{displaystyle alpha not ={frac {pi }{6}}+{frac {pi }{3}}n,nin mathbb {Z} } 
для формулы ctg⁡3α{displaystyle operatorname {ctg} 3alpha } : α≠π3n+πn,n∈Z{displaystyle alpha not ={frac {pi }{3}}n+pi n,nin mathbb {Z} } ;

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№ Синус № Косинус
5.1 sin2⁡α=1−cos⁡2α2{displaystyle sin ^{2}alpha ={frac {1-cos 2alpha }{2}}}  5.5 cos2⁡α=1+cos⁡2α2{displaystyle cos ^{2}alpha ={frac {1+cos 2alpha }{2}}} 
5.2 sin3⁡α=3sin⁡α−sin⁡3α4{displaystyle sin ^{3}alpha ={frac {3sin alpha -sin 3alpha }{4}}}  5.6 cos3⁡α=3cos⁡α+cos⁡3α4{displaystyle cos ^{3}alpha ={frac {3cos alpha +cos 3alpha }{4}}} 
5.3 sin4⁡α=3−4cos⁡2α+cos⁡4α8{displaystyle sin ^{4}alpha ={frac {3-4cos 2alpha +cos 4alpha }{8}}}  5.7 cos4⁡α=3+4cos⁡2α+cos⁡4α8{displaystyle cos ^{4}alpha ={frac {3+4cos 2alpha +cos 4alpha }{8}}} 
5.4 sin5⁡α=10sin⁡α−5sin⁡3α+sin⁡5α16{displaystyle sin ^{5}alpha ={frac {10sin alpha -5sin 3alpha +sin 5alpha }{16}}}  5.8 cos5⁡α=10cos⁡α+5cos⁡3α+cos⁡5α16{displaystyle cos ^{5}alpha ={frac {10cos alpha +5cos 3alpha +cos 5alpha }{16}}} 
№ Произведение
5.9 sin2⁡αcos2⁡α=1−cos⁡4α8{displaystyle sin ^{2}alpha cos ^{2}alpha ={frac {1-cos 4alpha }{8}}} 
5.10 sin3⁡αcos3⁡α=3sin⁡2α−sin⁡6α32{displaystyle sin ^{3}alpha cos ^{3}alpha ={frac {3sin 2alpha -sin 6alpha }{32}}} 
5.11 sin4⁡αcos4⁡α=3−4cos⁡4α+cos⁡8α128{displaystyle sin ^{4}alpha cos ^{4}alpha ={frac {3-4cos 4alpha +cos 8alpha }{128}}} 
5.12 sin5⁡αcos5⁡α=10sin⁡2α−5sin⁡6α+sin⁡10α512{displaystyle sin ^{5}alpha cos ^{5}alpha ={frac {10sin 2alpha -5sin 6alpha +sin 10alpha }{512}}} 

Формулы преобразования произведения функций

№ Формулы преобразования произведений функций
6.1 sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2{displaystyle sin alpha sin beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{2}}} 
6.2 sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2{displaystyle sin alpha cos beta ={frac {sin(alpha -beta )+sin(alpha +beta )}{2}}} 
6.3 cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2{displaystyle cos alpha cos beta ={frac {cos(alpha -beta )+cos(alpha +beta )}{2}}} 

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).Например, из формулы (2.1) следует:

sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β={displaystyle sin(alpha +beta )+sin(alpha -beta )=sin alpha cos beta +cos alpha sin beta +sin alpha cos beta -cos alpha sin beta =} 
=2sin⁡αcos⁡β{displaystyle =2sin alpha cos beta } .

То есть:

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2{displaystyle sin alpha cos beta ={frac {sin(alpha +beta )+sin(alpha -beta )}{2}}}     — формула (6.2).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

№ Формулы преобразования суммы функций
7.1 sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2cos⁡α∓β2{displaystyle sin alpha pm sin beta =2sin {frac {alpha pm beta }{2}}cos {frac {alpha mp beta }{2}}} 
7.2 cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2{displaystyle cos alpha +cos beta =2cos {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}}} 
7.3 cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2{displaystyle cos alpha -cos beta =-2sin {frac {alpha +beta }{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}}} 
7.4 tg⁡α±tg⁡β=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β{displaystyle operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }}} 
7.5 ctg⁡α±ctg⁡β=sin⁡(β±α)sin⁡αsin⁡β{displaystyle operatorname {ctg} alpha pm operatorname {ctg} beta ={frac {sin(beta pm alpha )}{sin alpha sin beta }}} 

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

α=α′+β′2{displaystyle alpha ={frac {alpha ‘+beta ‘}{2}}} 

и

β=α′−β′2{displaystyle beta ={frac {alpha ‘-beta ‘}{2}}} .

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

sin⁡α′+β′2sin⁡α′−β′2=cos⁡β′−cos⁡α′2{displaystyle sin {frac {alpha ‘+beta ‘}{2}}sin {frac {alpha ‘-beta ‘}{2}}={frac {cos beta ‘-cos alpha ‘}{2}}} , то есть
cos⁡α′−cos⁡β′=−2sin⁡α′+β′2sin⁡α′−β′2{displaystyle cos alpha ‘-cos beta ‘=-2sin {frac {alpha ‘+beta ‘}{2}}sin {frac {alpha ‘-beta ‘}{2}}}     — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.Из формулы (2.3) следует:

tg⁡α+tg⁡β=tg⁡(α+β)(1−tg⁡(α)tg⁡(β))={displaystyle operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta =operatorname {tg} (alpha +beta )(1-operatorname {tg} (alpha )operatorname {tg} (beta ))=} 
=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)⋅cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β{displaystyle ={frac {sin(alpha +beta )}{cos(alpha +beta )}}cdot {frac {cos alpha cos beta -sin alpha sin beta }{cos alpha cos beta }}} 
=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)⋅cos⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β{displaystyle ={frac {sin(alpha +beta )}{cos(alpha +beta )}}cdot {frac {cos(alpha +beta )}{cos alpha cos beta }}} , то есть
tg⁡α±tg⁡β=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β{displaystyle operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }}qquad qquad }    — формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :α +β +γ =360∘{displaystyle alpha +beta +gamma =360^{circ }}

  :

sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=4sin⁡α2 sin⁡β2 sin⁡γ2{displaystyle sin alpha +sin beta +sin gamma =4sin {frac {alpha }{2}} sin {frac {beta }{2}} sin {frac {gamma }{2}}}  (7.6)

Решение простых тригонометрических уравнений

  • sin⁡x=a.{displaystyle sin x=a.} 
Если |a|>1{displaystyle |a|>1}  — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{displaystyle |a|leqslant 1}  — решением является число вида x=(−1)narcsin⁡a+πn; n∈Z.{displaystyle x=(-1)^{n}arcsin a+pi n; nin mathbb {Z} .} 
  • cos⁡x=a.{displaystyle cos x=a.} 
Если |a|>1{displaystyle |a|>1}  — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{displaystyle |a|leqslant 1}  — решением является число вида x=±arccos⁡a+2πn; n∈Z.{displaystyle x=pm arccos a+2pi n; nin mathbb {Z} .} 
  • tgx=a.{displaystyle operatorname {tg} ,x=a.} 
Решением является число вида x=arctga+πn; n∈Z.{displaystyle x=operatorname {arctg} ,a+pi n; ni
n mathbb {Z} .} 
  • ctgx=a.{displaystyle operatorname {ctg} ,x=a.} 
Решением является число вида x=arcctga+πn; n∈Z.{displaystyle x=operatorname {arcctg} ,a+pi n; nin mathbb {Z} .} 

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при α≠π+2πn{displaystyle alpha neq pi +2pi n}

 ).

sin⁡α=2tgα21+tg2⁡α2{displaystyle sin alpha ={frac {2,{operatorname {tg} },{frac {alpha }{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}}}  cos⁡α=1−tg2⁡α21+tg2⁡α2{displaystyle cos alpha ={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}}} 
tgα=2tgα21−tg2⁡α2{displaystyle operatorname {tg} ,alpha ={frac {2,{operatorname {tg} },{frac {alpha }{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}}}  ctgα=1−tg2⁡α22tgα2{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha ={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}{2,{operatorname {tg} },{frac {alpha }{2}}}}} 
sec⁡α=1+tg2⁡α21−tg2⁡α2{displaystyle sec alpha ={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}}}  cosecα=1+tg2⁡α22tgα2{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha ={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {alpha }{2}}}{2,{operatorname {tg} },{frac {alpha }{2}}}}} 

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ){displaystyle asin x+bcos x={sqrt {a^{2}+b^{2}}}sin(x+varphi )} 

где a,b∈R{displaystyle a,bin mathbb {R} }

 , a{displaystyle a}  и b{displaystyle b}  не равны нулю одновременно, φ{displaystyle varphi }  — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

{sin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=aa2+b2.{displaystyle left{{begin{matrix}sin varphi ={dfrac {b}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\cos varphi ={dfrac {a}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.end{matrix}}right.} 

Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что tgφ=ba{displaystyle mathrm {tg} ,varphi ,=,{tfrac {b}{a}}}

 , однако нельзя всегда считать, что φ=arctgba{displaystyle varphi ,=,mathrm {arctg} ,{tfrac {b}{a}}} . Нужно учитывать знаки a{displaystyle a}  и b{displaystyle b}  для определения, к какой четверти принадлежит угол φ{displaystyle varphi } .

Полезные тождества

В приведённых ниже формулах числа k{displaystyle k}

  и n{displaystyle n}  целые.

sin⁡(π4+x)=cos⁡(π4−x).{displaystyle sin left({frac {pi }{4}}+xright)=cos left({frac {pi }{4}}-xright).}

 

sin⁡(π4−x)=cos⁡(π4+x).{displaystyle sin left({frac {pi }{4}}-xright)=cos left({frac {pi }{4}}+xright).}

 

1±sin⁡x=2cos2⁡(π4∓x2).{displaystyle 1pm sin x=2cos ^{2}left({frac {pi }{4}}mp {frac {x}{2}}right).}

 

1+cos⁡x=2cos2⁡(x2).{displaystyle 1+cos x=2cos ^{2}left({frac {x}{2}}right).}

 

1−cos⁡x=2sin2⁡(x2).{displaystyle 1-cos x=2sin ^{2}left({frac {x}{2}}right).}

 

sin2⁡x=11+ctg2⁡x.{displaystyle sin ^{2}x={frac {1}{1+operatorname {ctg} ^{2}x}}.}

 

cos2⁡x=11+tg2⁡x.{displaystyle cos ^{2}x={frac {1}{1+operatorname {tg} ^{2}x}}.}

 

sin2⁡x−sin2⁡y=sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{displaystyle sin ^{2}x-sin ^{2}y=sin(x-y)cdot sin(x+y).}

 

cos2⁡x−cos2⁡y=−sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{displaystyle cos ^{2}x-cos ^{2}y=-sin(x-y)cdot sin(x+y).}

 

cos2⁡x−sin2⁡y=cos⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{displaystyle cos ^{2}x-sin ^{2}y=cos(x-y)cdot cos(x+y).}

 

sin⁡2x+sin⁡2y=2cos⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{displaystyle sin 2x+sin 2y=2cos(x-y)cdot sin(x+y).}

 

sin⁡2x−sin⁡2y=2sin⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{displaystyle sin 2x-sin 2y=2sin(x-y)cdot cos(x+y).}

 

cos⁡2x+cos⁡2y=2cos⁡(x−y)⋅cos⁡(x+y).{displaystyle cos 2x+cos 2y=2cos(x-y)cdot cos(x+y).}

 

cos⁡2x−cos⁡2y=−2sin⁡(x−y)⋅sin⁡(x+y).{displaystyle cos 2x-cos 2y=-2sin(x-y)cdot sin(x+y).}

 

sin⁡2x+cos⁡2y=2sin⁡(π4+x−y)⋅sin⁡(π4+x+y).{displaystyle sin 2x+cos 2y=2sin left({frac {pi }{4}}+x-yright)cdot sin left({frac {pi }{4}}+x+yright).}

 

sin⁡2x−cos⁡2y=−2sin⁡(π4−x−y)⋅sin⁡(π4−x+y).{displaystyle sin 2x-cos 2y=-2sin left({frac {pi }{4}}-x-yright)cdot sin left({frac {pi }{4}}-x+yright).}

 

sin3⁡x+cos3⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x).{displaystyle sin ^{3}x+cos ^{3}x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x).}

 

sin4⁡x+cos4⁡x=1−2sin2⁡xcos2⁡x=1−12sin2⁡(2x)=34+14cos⁡(4x).{displaystyle sin ^{4}x+cos ^{4}x=1-2sin ^{2}x,cos ^{2}x=1-{frac {1}{2}}sin ^{2}(2x)={frac {3}{4}}+{frac {1}{4}}cos(4x).}

 

sin6⁡x+cos6⁡x=1−3sin2⁡xcos2⁡x=1−3sin2⁡x+3sin4⁡x=1−34sin2⁡(2x)=58+38cos⁡(4x).{displaystyle sin ^{6}x+cos ^{6}x=1-3sin ^{2}x,cos ^{2}x=1-3sin ^{2}x+3sin ^{4}x=1-{frac {3}{4}}sin ^{2}(2x)={frac {5}{8}}+{frac {3}{8}}cos(4x).}

 

1±tg⁡x=2sin⁡(π4±x)cos⁡x.{displaystyle 1pm operatorname {tg} x={frac {{sqrt {2}}sin left({frac {pi }{4}}pm xright)}{cos x}}.}

 

1±ctg⁡x=2sin⁡(π4±x)sin⁡x.{displaystyle 1pm operatorname {ctg} x={frac {{sqrt {2}}sin left({frac {pi }{4}}pm xright)}{sin x}}.}

 

tg⁡x=sin⁡2xcos⁡2x+1=1−cos⁡2xsin⁡2x.{displaystyle operatorname {tg} x={frac {sin 2x}{cos 2x+1}}={frac {1-cos 2x}{sin 2x}}.}

 

ctg2⁡x−tg2⁡x=4cos⁡2xsin2⁡2x.{displaystyle operatorname {ctg} ^{2}x-operatorname {tg} ^{2}x={frac {4cos 2x}{sin ^{2}2x}}.}

 

sin⁡3x=4sin⁡x⋅sin⁡(π3+x)⋅sin⁡(π3−x).{displaystyle sin 3x=4sin xcdot sin left({frac {pi }{3}}+xright)cdot sin left({frac {pi }{3}}-xright).}

 

tg⁡3x=tg⁡x⋅tg⁡(π3+x)⋅tg⁡(π3−x).{displaystyle operatorname {tg} 3x=operatorname {tg} xcdot operatorname {tg} left({frac {pi }{3}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {pi }{3}}-xright).}

 

sin⁡5x=16sin⁡x⋅sin⁡(π5+x)⋅sin⁡(π5−x)⋅sin⁡(2π5+x)⋅sin⁡(2π5−x).{displaystyle sin 5x=16sin xcdot sin left({frac {pi }{5}}+xright)cdot sin left({frac {pi }{5}}-xright)cdot sin left({frac {2pi }{5}}+xright)cdot sin left({frac {2pi }{5}}-xright).}

 

tg⁡5x=tg⁡x⋅tg⁡(π5+x)⋅tg⁡(π5−x)⋅tg⁡(2π5+x)⋅tg⁡(2π5−x).{displaystyle operatorname {tg} 5x=operatorname {tg} xcdot operatorname {tg} left({frac {pi }{5}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {pi }{5}}-xright)cdot operatorname {tg} left({frac {2pi }{5}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {2pi }{5}}-xright).}

 

sin⁡7x=64sin⁡x⋅sin⁡(π7+x)⋅sin⁡(π7−x)⋅sin⁡(2π7+x)⋅sin⁡(2π7−x)⋅sin⁡(3π7+x)⋅sin⁡(3π7−x).{displaystyle sin 7x=64sin xcdot sin left({frac {pi }{7}}+xright)cdot sin left({frac {pi }{7}}-xright)cdot sin left({frac {2pi }{7}}+xright)cdot sin left({frac {2pi }{7}}-xright)cdot sin left({frac {3pi }{7}}+xright)cdot sin left({frac {3pi }{7}}-xright).}

 

tg⁡7x=tg⁡x⋅tg⁡(π7+x)⋅tg⁡(π7−x)⋅tg⁡(2π7+x)⋅tg⁡(2π7−x)⋅tg⁡(3π7+x)⋅tg⁡(3π7−x).{displaystyle operatorname {tg} 7x=operatorname {tg} xcdot operatorname {tg} left({frac {pi }{7}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {pi }{7}}-xright)cdot operatorname {tg} left({frac {2pi }{7}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {2pi }{7}}-xright)cdot operatorname {tg} left({frac {3pi }{7}}+xright)cdot operatorname {tg} left({frac {3pi }{7}}-xright).}

 

sin⁡nx=2n−1∏k=0n−1sin⁡(x+πkn).{displaystyle sin nx=2^{n-1}prod limits _{k=0}^{n-1}sin left(x+{frac {pi k}{n}}right).}

 

tg⁡[(2n+1)x]=(−1)n∏k=02ntg⁡(x+πk2n+1).{displaystyle operatorname {tg} {big [}(2n+1)x{big ]}=(-1)^{n}prod limits _{k=0}^{2n}operatorname {tg} left(x+{frac {pi k}{2n+1}}right).}

 

∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡(n+12x)sin⁡(nx2)sin⁡(x2).{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}sin(kx)=sin left({frac {n+1}{2}}xright){frac {sin left({frac {nx}{2}}right)}{sin left({frac {x}{2}}right)}}.}

 

∑k=1ncos⁡(kx)=cos⁡(n+12x)sin⁡(nx2)sin⁡(x2).{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}cos(kx)=cos left({frac {n+1}{2}}xright){frac {sin left({frac {nx}{2}}right)}{sin left({frac {x}{2}}right)}}.}

 

∑k=1nsin⁡[(2k−1)x]=sin2⁡nxsin⁡x.{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}sin {big [}(2k-1)x{big ]}={frac {sin ^{2}nx}{sin x}}.}

 

∑k=1ncos⁡[(2k−1)x]=sin⁡2nx2sin⁡x.{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}cos {big [}(2k-1)x{big ]}={frac {sin 2nx}{2sin x}}.}

 

∑k=1ncos⁡2πk2n+1=−12.{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}cos {frac {2pi k}{2n+1}}=-{frac {1}{2}}.}

 

∏k=1n−1sin⁡kπn=n2n−1.{displaystyle prod limits _{k=1}^{n-1}sin {frac {kpi }{n}}={frac {n}{2^{n-1}}}.}

 

∏k=1nsin⁡kπ2(n+1)=n+12n.{displaystyle prod limits _{k=1}^{n}sin {frac {kpi }{2(n+1)}}={frac {sqrt {n+1}}{2^{n}}}.}

 

∏k=1nsin⁡kπ2n+1=2n+12n.{displaystyle prod limits _{k=1}^{n}sin {frac {kpi }{2n+1}}={frac {sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.}

 

∏k=12n−1cos⁡kπn=(−1)n−122n−1.{displaystyle prod limits _{k=1}^{2n-1}cos {frac {kpi }{n}}={frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.}

 

∏k=0ncos⁡(2kx)=sin⁡(2n+1x)2n+1sin⁡x.{displaystyle prod limits _{k=0}^{n}cos left(2^{k}xright)={frac {sin left(2^{n+1}xright)}{2^{n+1}sin x}}.}

 

∏k=0ncos⁡x2k=sin⁡2x2n+1sin⁡(x2n).{displaystyle prod limits _{k=0}^{n}cos {frac {x}{2^{k}}}={frac {sin 2x}{2^{n+1}sin left({frac {x}{2^{n}}}right)}}.}

 

∏k=1ncos⁡x2k=sin⁡x2nsin⁡(x2n).{displaystyle prod limits _{k=1}^{n}cos {frac {x}{2^{k}}}={frac {sin x}{2^{n}sin left({frac {x}{2^{n}}}right)}}.}

 

∏k=0∞cos⁡x2k=sin⁡2x2x.{displaystyle prod limits _{k=0}^{infty }cos {frac {x}{2^{k}}}={frac {sin 2x}{2x}}.}

 

∏k=1∞cos⁡x2k=sin⁡xx.{displaystyle prod limits _{k=1}^{infty }cos {frac {x}{2^{k}}}={frac {sin x}{x}}.}

 

cos⁡20∘⋅cos⁡40∘⋅cos⁡80∘=18.{displaystyle cos 20^{circ }cdot cos 40^{circ }cdot cos 80^{circ }={frac {1}{8}}.}

 

cos⁡π7⋅cos⁡4π7⋅cos⁡5π7=18.{displaystyle cos {frac {pi }{7}}cdot cos {frac {4pi }{7}}cdot cos {frac {5pi }{7}}={frac {1}{8}}.}

 

cos⁡π7⋅cos⁡2π7⋅cos⁡4π7=−18.{displaystyle cos {frac {pi }{7}}cdot cos {frac {2pi }{7}}cdot cos {frac {4pi }{7}}=-{frac {1}{8}}.}

 

cos⁡π9⋅cos⁡2π9⋅cos⁡4π9=18.{displaystyle cos {frac {pi }{9}}cdot cos {frac {2pi }{9}}cdot cos {frac {4pi }{9}}={frac {1}{8}}.}

 

cos⁡π9⋅cos⁡5π9⋅cos⁡7π9=18.{displaystyle cos {frac {pi }{9}}cdot cos {frac {5pi }{9}}cdot cos {frac {7pi }{9}}={frac {1}{8}}.}

 

cos⁡24∘+cos⁡48∘+cos⁡96∘+cos⁡168∘=12.{displaystyle cos 24^{circ }+cos 48^{circ }+cos 96^{circ }+cos 168^{circ }={frac {1}{2}}.}

 

cos⁡(2π21)+cos⁡(2⋅2π21)+cos⁡(4⋅2π21)+cos⁡(5⋅2π21)+cos⁡(8⋅2π21)+cos⁡(10⋅2π21)=12.{displaystyle {begin{aligned}&cos left({frac {2pi }{21}}right)+cos left(2cdot {frac {2pi }{21}}right)+cos left(4cdot {frac {2pi }{21}}right)\[10pt]&{}qquad {}+cos left(5cdot {frac {2pi }{21}}right)+cos left(8cdot {frac {2pi }{21}}right)+cos left(10cdot {frac {2pi }{21}}right)={frac {1}{2}}.end{aligned}}}

 

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла α{displaystyle alpha }

  заданного в градусах и радианах:

tg⁡α=360∘⋅απ∑k=1∞1(180∘k−90∘+α)(180∘k−90∘−α)=2α∑k=1∞1(k−1/2)2π2−α2.{displaystyle operatorname {tg} alpha ={frac {360^{circ }cdot alpha }{pi }}sum limits _{k=1}^{infty }{frac {1}{(180^{circ }k-90^{circ }+alpha )(180^{circ }k-90^{circ }-alpha )}}=2alpha sum limits _{k=1}^{infty }{frac {1}{(k-1/2)^{2}pi ^{2}-alpha ^{2}}}.}

 

arctg⁡12+arctg⁡13=π4.{displaystyle operatorname {arctg} {frac {1}{2}}+operatorname {arctg} {frac {1}{3}}={frac {pi }{4}}.}

 

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x{displaystyle x}

  выполнено следующее равенство:

eix=cos⁡x+isin⁡x,{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,} 

где e{displaystyle e}

  — основание натурального логарифма,

i{displaystyle i}  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin⁡x{displaystyle sin x}

  и cos⁡x{displaystyle cos x}  следующим образом :

sin⁡x=eix−e−ix2i,cos⁡x=eix+e−ix2.{displaystyle sin x={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},qquad qquad cos x={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.} 

Отсюда следует, что

tgx=−ieix−e−ixeix+e−ix,ctgx=ieix+e−ixeix−e−ix,{displaystyle operatorname {tg} ,x=-i{frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},qquad qquad operatorname {ctg} ,x=i{frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},} 
sec⁡x=2eix+e−ix,cosecx=2ieix−e−ix.{displaystyle sec x={frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},qquad qquad operatorname {cosec} ,x={frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.} 

См. также

Вам также может быть интересно
Художник Алексей Сергиенко намерен продать более 1000 картин за 8 часов
Арт-бизнесмен и художник из Санкт-Петербурга Алексей Сергиенко объявил о старте проекта «Библиотека», призванного поддержать
Мармакс: доля клиентов, заинтересованных в трейд-ин, выросла до 50%
В современных реалиях на рынке недвижимости набирает популярность услуга трейд-ин. По данным экспертов девелоперской