Дифференциал (математика)

• Разделы:
  • Использование знака дифференциала
  • Определения
  • Связанные определения
  • Свойства
  • История
  • Вариации и обобщения
  • Литература

У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал.

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Стоит заметить, что понятие дифференциала из математического анализа содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать в разные стороны, в зависимости от направления получая важные, но совершенно различные объекты. Элементарное отображение касательных пространств зашито в дифференциале отображения, возможность интегрирования — в дифференциальных формах, дифференциалы более высокого порядка — в тензорных расслоениях и струях, общее понятие интегрирования — в теории меры, понятие бесконечной малости лучше всего описывает нестандартный анализ, формальные алгебраические свойства рассматриваются в алгебраической геометрии, функциональный анализ обобщает дифференциал в форме, не вполне очевидно связанной с конструкциями из дифференциальной геометрии, а дифференциал Ито показывает его применение к случайным процессам.

Содержание

• 1 Обозначения
• 2 Использование знака дифференциала
• 3 Определения
  • 3.1 Для функций
  • 3.2 Для отображений
• 4 Связанные определения
• 5 Свойства
• 6 История
• 7 Вариации и обобщения
• 8 Литература

Обозначения

Обычно дифференциал функции f{displaystyle f}

  обозначается df{displaystyle df} .Некоторые авторы предпочитают обозначать df{displaystyle {rm {d}}f}  шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x0{displaystyle x_{0}}

  обозначается dx0f{displaystyle d_{x_{0}}f} , а иногда dfx0{displaystyle df_{x_{0}}}  или df[x0]{displaystyle df[x_{0}]} ,а также df{displaystyle df} , если значение x0{displaystyle x_{0}}  ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x0{displaystyle x_{0}}

  от h{displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){displaystyle d_{x_{0}}f(h)} , а иногда dfx0(h){displaystyle df_{x_{0}}(h)}  или df[x0](h){displaystyle df[x_{0}](h)} ,а также df(h){displaystyle df(h)} , если значение x0{displaystyle x_{0}}  ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ∫f(x)dx{displaystyle int f(x),dx} . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал dx{displaystyle dx}  вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной f′(x0)=dfdx(x0){displaystyle f'(x_{0})={frac {df}{dx}}(x_{0})} . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции f{displaystyle f}  и тождественной функции x{displaystyle x}  верно соотношение

  dx0f=f′(x0)⋅dx0x.{displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){cdot }d_{x_{0}}x.} 

Определения

Для функций

Дифференциал функции f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} }

  в точке x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} }  может быть определён как линейная функция

dx0f(h)=f′(x0)h,{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,} 

где f′(x0){displaystyle f'(x_{0})}

  обозначает производную f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}} , а h{displaystyle h}  — приращение аргумента при переходе от x0{displaystyle x_{0}}  к x0+h{displaystyle x_{0}+h} .

Таким образом df{displaystyle df}

  есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){displaystyle dfcolon (x_{0},h)mapsto d_{x_{0}}f(h)} .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){displaystyle d_{x_{0}}f(h)}

 , линейно зависящая от h{displaystyle h} , и для которой верно следующее соотношение

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).} 

Для отображений

Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}

  в точке x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}  называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{displaystyle d_{x_{0}}fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}  такой, что выполняется условие

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).} 

Связанные определения

• Отображение f:Rn→Rm{displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}  называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}  если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{displaystyle d_{x_{0}}fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} .

Свойства

• Матрица линейного оператора dx0f{displaystyle d_{x_{0}}f}  равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные f{displaystyle f} .
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции f{displaystyle f}  связан с её градиентом ∇f{displaystyle nabla f}  следующим определяющим соотношением

  dx0f(h)=⟨(∇f)(x0),h⟩{displaystyle d_{x_{0}}f(h)=langle (nabla f)(x_{0}),hrangle } 

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем.Изначально dx{displaystyle dx}

  применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю.Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

• Дифференциалы высших порядков
• Внешний дифференциал
• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Производная Пеано
• Производная Фреше

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»