Параболическая система координат

• Разделы:
  • Дифференциальные характеристики двумерных координат
  • Трёхмерные параболические координаты
  • Дифференциальные характеристики трёхмерных координат
  • Обратные преобразования
  • Внешние ссылки

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Содержание

• 1 Двумерные параболические координаты
• 2 Дифференциальные характеристики двумерных координат
• 3 Трёхмерные параболические координаты
• 4 Дифференциальные характеристики трёхмерных координат
• 5 Обратные преобразования
• 6 Внешние ссылки

Двумерные параболические координаты

Коэффициенты Ламэ для параболических кординат равны

Hσ=Hτ=σ2+τ2.{displaystyle H_{sigma }=H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}}.} 

Таким образом, элемент площади равен

dS=(σ2+τ2)dσdτ,{displaystyle dS=(sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,} 

а лапласиан равен

ΔΦ=1σ2+τ2(∂2Φ∂σ2+∂2Φ∂τ2).{displaystyle Delta Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial sigma ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial tau ^{2}}}right).} 

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

  Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ=2{displaystyle scriptstyle {tau =2}} , синий параболоид соответствует σ=1{displaystyle scriptstyle {sigma =1}} , а жёлтая полуплоскость соответствует φ=−60∘{displaystyle scriptstyle {varphi =-60^{circ }}} . Три поверхности пересекаются в точке P{displaystyle scriptstyle {P}}  (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно (1,0,−1,732,1,5){displaystyle scriptstyle {(1{,}0,;-1{,}732,;1{,}5)}} .

  вдоль оси z{displaystyle z}  и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

{x=στcos⁡φ,y=στsin⁡φ,z=12(τ2−σ2).{displaystyle {begin{cases}x=sigma tau cos varphi ,\y=sigma tau sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(tau ^{2}-sigma ^{2}).end{cases}}} 

Ось параболоидов совпадает с осью z{displaystyle z}

 , так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол φ{displaystyle varphi }  определяется как

tgφ=yx.{displaystyle mathrm {tg} ,varphi ={frac {y}{x}}.} 

Поверхности постоянной σ{displaystyle sigma }

  являются конфокальными параболоидами

2z=x2+y2σ2−σ2{displaystyle 2z={frac {x^{2}+y^{2}}{sigma ^{2}}}-sigma ^{2}} 

направленными вверх (вдоль луча +z{displaystyle +z}

 ), а поверхности постоянной τ{displaystyle tau }  — это конфокальные параболоиды

2z=−x2+y2τ2+τ2{displaystyle 2z=-{frac {x^{2}+y^{2}}{tau ^{2}}}+tau ^{2}} 

направленные вниз (вдоль луча −z{displaystyle -z}

 ). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

Hσ=σ2+τ2,{displaystyle H_{sigma }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},} 

Hτ=σ2+τ2,{displaystyle H_{tau }={sqrt {sigma ^{2}+tau ^{2}}},} 

Hφ=στ.{displaystyle H_{varphi }=sigma tau .} 

Как видно, коэффициенты Hσ{displaystyle H_{sigma }}

  и Hτ{displaystyle H_{tau }}  совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

dV=hσhτhφ=στ(σ2+τ2)dσdτdφ,{displaystyle dV=h_{sigma }h_{tau }h_{varphi }=sigma tau (sigma ^{2}+tau ^{2}),dsigma ,dtau ,dvarphi ,} 

а лапласиан равен

∇2Φ=1σ2+τ2[1σ∂∂σ(σ∂Φ∂σ)+1τ∂∂τ(τ∂Φ∂τ)]+1σ2τ2∂2Φ∂φ2.{displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left[{frac {1}{sigma }}{frac {partial }{partial sigma }}left(sigma {frac {partial Phi }{partial sigma }}right)+{frac {1}{tau }}{frac {partial }{partial tau }}left(tau {frac {partial Phi }{partial tau }}right)right]+{frac {1}{sigma ^{2}tau ^{2}}}{frac {partial ^{2}Phi }{partial varphi ^{2}}}.} 

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат (x,y,z){displaystyle (x,;y,;z)}

  к параболическим (η,ξ,φ){displaystyle (eta ,;xi ,;varphi )}  осуществляется по формулам:

{η=−z+x2+y2+z2,ξ=z+x2+y2+z2,φ=arctgyx,{displaystyle {begin{cases}eta =-z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\xi =z+{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\varphi =mathrm {arctg} {dfrac {y}{x}},end{cases}}} 

при этом η⩾0,ξ⩾0.{displaystyle eta geqslant 0,quad xi geqslant 0.}

|dηdξdφ|=|xx2+y2+z2yx2+y2+z2−1+zx2+y2+z2xx2+y2+z2yx2+y2+z21+zx2+y2+z2−yx2+y2xx2+y20|⋅|dxdydz|.{displaystyle {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{dfrac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\{dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}.} 

При φ=0{displaystyle varphi =0}

  получаем ограничение координат на плоскость XZ{displaystyle XZ} :

η=−z+x2+z2,{displaystyle eta =-z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}},} 

ξ=z+x2+z2.{displaystyle xi =z+{sqrt {x^{2}+z^{2}}}.} 

Линия уровня η=c{displaystyle eta =c}

 :

z|η=c=x22c−c2.{displaystyle z|_{eta =c}={frac {x^{2}}{2c}}-{frac {c}{2}}.} 

Это парабола, фокус которой при любом c{displaystyle c}

  расположен в начале координат.

Аналогично при ξ=c{displaystyle xi =c}

  получаем

z|ξ=c=c2−x22c.{displaystyle z|_{xi =c}={frac {c}{2}}-{frac {x^{2}}{2c}}.} 

Координатные параболы пересекаются в точке

P:(bc,b−c2).{displaystyle P:left({sqrt {bc}},;{frac {b-c}{2}}right).} 

Пара парабол пересекается в двух точках, но при φ=0{displaystyle varphi =0}

  точка оказывается заключена в полуплоскости x>0{displaystyle x>0} , так как x<0{displaystyle x<0}  соответствует φ=π{displaystyle varphi =pi } .

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке P{displaystyle P}

 :

dzcdx=xc=bcc=bc=sc,{displaystyle {frac {dz_{c}}{dx}}={frac {x}{c}}={frac {sqrt {bc}}{c}}={sqrt {frac {b}{c}}}=s_{c},} 

dzbdx=−xb=−bcb=−cb=sb;{displaystyle {frac {dz_{b}}{dx}}=-{frac {x}{b}}={frac {-{sqrt {bc}}}{b}}=-{sqrt {frac {c}{b}}}=s_{b};} 

scsb=−bccb=−1.{displaystyle s_{c}s_{b}=-{sqrt {frac {b}{c}}}{sqrt {frac {c}{b}}}=-1.} 

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара (ξ;η){displaystyle (xi ;;eta )}

  определяет координаты в полуплоскости. При изменении φ{displaystyle varphi }  от 0 до 2π{displaystyle 2pi }  полуплоскость вращается вокруг оси z{displaystyle z} , в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина φ{displaystyle varphi }  определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

{x=ξηcos⁡φ,y=ξηsin⁡φ,z=12(ξ−η).{displaystyle {begin{cases}x={sqrt {xi eta }}cos varphi ,\y={sqrt {xi eta }}sin varphi ,\z={dfrac {1}{2}}(xi -eta ).end{cases}}} 

|dxdydz|=|12ξηcos⁡φ12ηξcos⁡φ−ξηsin⁡φ12ξηsin⁡φ12ηξsin⁡φξηcos⁡φ−12120|⋅|dηdξdφ|.{displaystyle {begin{vmatrix}dx\dy\dzend{vmatrix}}={begin{vmatrix}{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}cos varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}cos varphi &-{sqrt {xi eta }}sin varphi \{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {xi }{eta }}}sin varphi &{dfrac {1}{2}}{sqrt {dfrac {eta }{xi }}}sin varphi &{sqrt {xi eta }}cos varphi \-{dfrac {1}{2}}&{dfrac {1}{2}}&0end{vmatrix}}cdot {begin{vmatrix}deta \dxi \dvarphi end{vmatrix}}.} 

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.