Комплексная плоскость

Разделы:

Ко́мпле́ксная плоскость[1] — это двумерное вещественное пространство R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} $mathbb {R} ^{2}$ , которое изоморфно полю комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$ . Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида (x,y){displaystyle (x,y)} $(x,y)$ , где x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ — вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа z=x+iy{displaystyle z=x+iy} $z=x+iy$ :

x=Rez,{displaystyle x=mathrm {Re} ,z,}

x={mathrm {Re}},z,

y=Imz.{displaystyle y=mathrm {Im} ,z.}

y={mathrm {Im}},z.

Упорядоченную пару (x,y){displaystyle (x,y)} $(x,y)$ естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке (x,y){displaystyle (x,y)} $(x,y)$ .

В силу изоморфизма между C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$ и R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} $mathbb {R} ^{2}$ , алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с
его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.

Рассматривая на комплексной плоскости топологию R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} $mathbb {R} ^{2}$ , можно вводить понятия открытых, замкнутых множеств, и давать определения таким объектам как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также, между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Содержание

1 Множества на комплексной плоскости
2 Связность
- 2.1 Расстояние между множествами
- 2.2 Связность
3 Выпуклые, звездные и линейно связные множества
4 Кривые на '»`UNIQ—postMath-00000043-QINU`»‘
- 4.1 Кривые и пути
- 4.2 Гомотопия кривых
5 Бесконечно удалённая точка
6 См. также
7 Литература
8 Примечания

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью Uz0{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}}

${{mathcal U}}_{{z_{0}}}$ точки z0∈C{displaystyle z_{0}in mathbb {C} } $z_{0}in {mathbb C}$ называется множество вида Uz0={z:|z−z0|<r},r>0{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}={zcolon |z-z_{0}|<r},,r>0} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}={zcolon |z-z_{0}|<r},,r>0$ . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности U˙z0=Uz0∖{z0}{displaystyle {dot {mathcal {U}}}_{z_{0}}={mathcal {U}}_{z_{0}}setminus {z_{0}}} ${dot {{mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{mathcal U}}_{{z_{0}}}setminus {z_{0}}$ .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на C{displaystyle mathbb {C} }

$mathbb {C}$ полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка z0∈C{displaystyle z_{0}in mathbb {C} }

$z_{0}in {mathbb C}$ будет предельной для множества G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} } $Gsubset mathbb {C}$ , если для произвольной окрестности Uz0{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечение Uz0∩G{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}cap G} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}cap G$ будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается G′{displaystyle G’} $G'$ .

Множество G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} }

$Gsubset mathbb {C}$ будет называться замкнутым, если для него справедливо включение G′⊂G{displaystyle G’subset G} $G'subset G$ . Ясно видно, что для произвольного множества G{displaystyle G} $G$ множество G¯=G∪G′{displaystyle {overline {G}}=Gcup G’} $overline {G}=Gcup G'$ будет замкнуто; оно называется замыканием множества G{displaystyle G} $G$ .

Граница

Точка z0∈C{displaystyle z_{0}in mathbb {C} }

$z_{0}in {mathbb C}$ будет называться граничной для множества G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} } $Gsubset mathbb {C}$ , если для произвольной окрестности Uz0{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечения Uz0∩G{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}cap G} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}cap G$ и Uz0∩(C∖G){displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}cap ({mathbb {C} }setminus G)} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}cap ({{mathbb C}}setminus G)$ будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством ∂G{displaystyle partial G} $partial G$ или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество E⊂C{displaystyle Esubset mathbb {C} }

$Esubset {mathbb C}$ будет называться всюду плотным в ином множестве G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} } $Gsubset mathbb {C}$ , если для произвольной точки z0∈G{displaystyle z_{0}in G} $z_{0}in G$ и любой окрестности Uz0{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечение Uz0∩E{displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}cap E} ${{mathcal U}}_{{z_{0}}}cap E$ непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой z0{displaystyle z_{0}}

$z_{0}$ и некоторым множеством G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} } $Gsubset mathbb {C}$ как величину dist(z0,G)=infz∈G|z−z0|{displaystyle mathrm {dist} ,(z_{0},G)=inf _{zin G}|z-z_{0}|} ${mathrm {dist}},(z_{0},G)=inf _{{zin G}}|z-z_{0}|$ .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в C{displaystyle mathbb {C} }

$mathbb {C}$ : dist(G1,G2)=infz∈G1dist(z,G2)=infz∈G2dist(z,G1){displaystyle mathrm {dist} ,(G_{1},G_{2})=inf _{zin G_{1}}mathrm {dist} ,(z,G_{2})=inf _{zin G_{2}}mathrm {dist} ,(z,G_{1})} ${mathrm {dist}},(G_{1},G_{2})=inf _{{zin G_{1}}}{mathrm {dist}},(z,G_{2})=inf _{{zin G_{2}}}{mathrm {dist}},(z,G_{1})$ .

Связность

Множество G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} }

$Gsubset mathbb {C}$ называется связным, если для него выполнено соотношение infz1,z2∈G|z1−z2|=0{displaystyle inf _{z_{1},z_{2}in G}|z_{1}-z_{2}|=0} $inf _{{z_{1},z_{2}in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество G{displaystyle G} $G$ можно представить в виде объединения (конечного или счетного) ∑Gn{displaystyle sum G_{n}} $sum G_{n}$ , где Gn{displaystyle G_{n}} $G_{n}$ — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества G{displaystyle G} $G$ . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} }

$Gsubset mathbb {C}$ называется звездным относительно точки z0∈G{displaystyle z_{0}in G} $z_{0}in G$ , если для произвольной точки z∈G{displaystyle zin G} $zin G$ выполняется включение z0z¯⊂G{displaystyle {overline {z_{0}z}}subset G} $overline {z_{0}z}subset G$ .

Множество G⊂C{displaystyle Gsubset mathbb {C} }

$Gsubset mathbb {C}$ называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество G∗{displaystyle G^{*}} $G^{*}$ называется выпуклой оболочкой множества G{displaystyle G} $G$ , если оно выпукло, G⊂G∗{displaystyle Gsubset G^{*}} $Gsubset G^{*}$ и для любого выпуклого множества G∗∗{displaystyle G^{**}} $G^{{**}}$ , содержащего множество G{displaystyle G} $G$ выполняется включение G∗⊂G∗∗{displaystyle G^{*}subset G^{**}} $G^{*}subset G^{{**}}$ .

Ломаной Γ{displaystyle Gamma }

$Gamma$ называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество G{displaystyle G} $G$ называется линейно связным, если для двух произвольных точек z1,z2∈G{displaystyle z_{1},z_{2}in G} $z_{1},z_{2}in G$ существует ломаная Γ⊂G{displaystyle Gamma subset G} $Gamma subset G$ так
ая, что выполняется z1,z2∈Γ{displaystyle z_{1},z_{2}in Gamma } $z_{1},z_{2}in Gamma$ .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости C{displaystyle mathbb {C} }

$mathbb {C}$ называется отображение вида φ(t):[0;1]→C{displaystyle varphi (t)colon [0;1]to mathbb {C} } $varphi (t)colon [0;1]to {mathbb C}$ . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции φ(t){displaystyle varphi (t)} $varphi (t)$ , но и её направление. Для примера, функции φ(t){displaystyle varphi (t)} $varphi (t)$ и η(t)=φ(1−t){displaystyle eta (t)=varphi (1-t)} $eta (t)=varphi (1-t)$ будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые φ0(t):[0;1]→C{displaystyle varphi _{0}(t)colon [0;1]to mathbb {C} }

$varphi _{0}(t)colon [0;1]to {mathbb C}$ и φ1(t):[0;1]→C{displaystyle varphi _{1}(t)colon [0;1]to mathbb {C} } $varphi _{1}(t)colon [0;1]to {mathbb C}$ называются гомотопными, если существует кривая ξ(t,q):[0;1]×[0;1]→C{displaystyle xi (t,q)colon [0;1]times [0;1]to mathbb {C} } $xi (t,q)colon [0;1]times [0;1]to {mathbb C}$ , зависящая от параметра q{displaystyle q} $q$ таким образом, что ξ(t,0)≡φ0{displaystyle xi (t,0)equiv varphi _{0}} $xi (t,0)equiv varphi _{0}$ и ξ(t,1)≡φ1{displaystyle xi (t,1)equiv varphi _{1}} $xi (t,1)equiv varphi _{1}$ .

Бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: z=∞{displaystyle z=infty }

$z=infty$ . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

z∞=0;z+∞=∞(z≠∞){displaystyle {frac {z}{infty }}=0;z+infty =infty (zneq infty )} ${frac {z}{infty }}=0;z+infty =infty (zneq infty )$
z⋅∞=∞;z0=∞(z≠0){displaystyle zcdot infty =infty ;{frac {z}{0}}=infty (zneq 0)} $zcdot infty =infty ;{frac {z}{0}}=infty (zneq 0)$

ε{displaystyle varepsilon }

$varepsilon$ -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z{displaystyle z} $z$ , модуль которых больше, чем ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ , то есть внешняя часть ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ -окрестностей начала координат.

См. также

Словарь терминов общей топологии

Литература

Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.

Примечания

↑ Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
- Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
- Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
- Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
- В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.