Симметризация Штайнера

Пусть ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$  есть гиперплоскость и ${\displaystyle \Phi }$  — данная фигура.

Введём ортогональную систему координат в которой ${\displaystyle H}$  описывается уравнением ${\displaystyle x_{n}=0}$ . Для каждого ${\displaystyle x\in H}$ , пусть ${\displaystyle \ell _{x}}$  обозначает длину пересечения перпендикуляра к ${\displaystyle H}$  через ${\displaystyle x}$  с множеством ${\displaystyle \Phi }$ . Далее проведём через ${\displaystyle x}$  длины ${\displaystyle \ell _{x}}$  с серединой в ${\displaystyle x}$  и перпендикулярный к ${\displaystyle H}$ . Объединение ${\displaystyle \Phi ^{*}}$  таких отрезков есть симметризация Штейнера ${\displaystyle \Phi }$  относительно ${\displaystyle H}$ .

Свойства

• Объём ${\displaystyle \Phi ^{*}}$  совпадает с объёмом ${\displaystyle \Phi }$ .
• Площадь поверхности ${\displaystyle \Phi ^{*}}$  не превосходит площади поверхности ${\displaystyle \Phi }$ .
• Если ${\displaystyle \Phi }$  выпукла, то то же верно и для ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ .
• Симметризация Штейнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

  ${\displaystyle d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),}$ 

где ${\displaystyle \Phi }$  и ${\displaystyle \Psi }$  — произвольные фигуры, ${\displaystyle \Phi ^{*}}$  и ${\displaystyle \Psi ^{*}}$  — их симметризации относительно гиперплоскости ${\displaystyle H}$ , а ${\displaystyle d_{H}}$  — метрика Хаусдорфа.

Популярный метод симметризации в плоскости круговой симметризации Полья,. После ее обобщения будут описаны в высших измерениях. Давайте ${\displaystyle }$ быть домена; затем его круговой симметризации ${\displaystyle }$ с учетом положительной вещественной оси определяется следующим образом: пусть

В высших измерениях ${\displaystyle }$его сферическая симметризация ${\displaystyle }$ в зависимости от положительной оси ${\displaystyle }$ определяется следующим образом: пусть ${\displaystyle }$ т. е. содержать крышки радиусом R, содержащиеся в ${\displaystyle }$. Кроме того, для первой координаты давайте ${\displaystyle }$ если ${\displaystyle }$. Так же как и выше

• If ${\displaystyle \Omega _{r}}$  is the full cap, then ${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{|z|=r\}}$ .
• If the surface area is ${\displaystyle m_{s}(\Omega _{t})=\alpha }$ , then ${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{x:|x|=r}$  and ${\displaystyle 0\leq \operatorname {angle} (x_{1})\leq \theta _{\alpha }\}=:C(\theta _{\alpha })}$  where ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$  is picked so that its surface area is ${\displaystyle m_{s}(C(\theta _{\alpha })=\alpha }$ . In words, ${\displaystyle C(\theta _{\alpha })}$  is a cap symmetric around the positive axis ${\displaystyle x_{1}}$  with the same area as the intersection ${\displaystyle \Omega \cap \{|z|=r\}}$ .
• ${\displaystyle 0,\infty \in Sp^{n}(\Omega )}$  iff ${\displaystyle 0,\infty \in \Omega }$ .

Давайте ${\displaystyle }$ быть домен и ${\displaystyle }$ быть гиперплоскости, проходящей через начало координат. Обозначим отражения на самолет в положительное полупространство ${\displaystyle }$ как ${\displaystyle }$ или просто ${\displaystyle }$ когда это ясно из контекста. Кроме того, отраженных ${\displaystyle }$ по гиперплоскости х определяется как ${\displaystyle }$. Затем, поляризованных ${\displaystyle }$ обозначается как ${\displaystyle }$ и определяется следующим образом

• Если ${\displaystyle }$тогда ${\displaystyle }$.
• Если ${\displaystyle }$тогда ${\displaystyle }$.
• Если ${\displaystyle }$тогда ${\displaystyle }$.

В словах, ${\displaystyle }$ просто погрузитесь в полупространство ${\displaystyle }$. Получается, что эта трансформация может аппроксимировать выше (в Хаусдорфа расстояние) (см. Brock & Solynin (2000)).