Аффинная связность

Пусть M есть гладкое многообразие и C^∞(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение

${\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}}$ 

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C^∞(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

1. ${\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y}$ , то есть, ${\displaystyle \nabla }$  линейно по первому аргументу;
2. ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y}$ , то есть ${\displaystyle \nabla }$  удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

• Кручением афинной связности называется вырaжение

  ${\displaystyle U(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$ 

здесь ${\displaystyle [{*},{*}]}$  — скобки Ли

• Аффинная связность с нулевым кручением на римановом многообразии, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен называется связностью Леви-Чивиты.

• Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

• Ковариантная производная
• Символы Кристоффеля.