Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел[1].
Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)
Содержание
История
Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год
Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи[en] к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году[2] или в 1665 году[1]) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»[3].
Обозначения и свойства
Биномиальные коэффициенты часто обозначаются (nk){displaystyle {tbinom {n}{k}}}
или Cnk{displaystyle textstyle C_{n}^{k}} и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»[1].
или Cnk{displaystyle textstyle C_{n}^{k}}
и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»- Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
- В строке с номером n:
- первое и последнее числа равны 1.
- второе и предпоследнее числа равны n.
- третье число равно треугольному числу Tn−1=n(n−1)2{displaystyle textstyle T_{n-1}={frac {n(n-1)}{2}}} , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
- четвёртое число является тетраэдрическим.
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту Cnm=(nm)=n!m!(n−m)!{displaystyle textstyle C_{n}^{m}={binom {n}{m}}={frac {n!}{m!(n-m)!}}} .
- Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
- (n−10)+(n−21)+(n−32)+…=Fn.{displaystyle {n-1 choose 0}+{n-2 choose 1}+{n-3 choose 2}+ldots =F_{n}.}
- Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
- Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n{displaystyle 2^{n}} .
- Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, тогда и только тогда, когда n является простым числом[4] (следствие теоремы Люка).
- Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
- Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
, что также равно сумме номеров предшествующих строк.
.
.Цитаты
Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике[5].Мартин Гарднер
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 3 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
- ↑ О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109.
- ↑ Удивительный треугольник великого француза // Hard’n’Soft. — 2003. — № 10.
- ↑ Weisstein, Eric W. Pascal’s Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.
Литература
- Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
- Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.
- Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Pascal’s Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Построение треугольника Паскаля
