Умножение

• Разделы:
  • Свойства
  • Выполнение умножения
  • Умножение чисел
  • Умножение физических величин
  • Умножение последовательностей
  • См. также
  • Примечания
  • Литература
  • Ссылки

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами (множителями, сомножителями). Иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем; результат умножения двух аргументов называется их произведением.

Умножение
Изображается на	знак умножения
Обозначение	знак умножения
Противоположно	деление
Нейтральный элемент	1
Медиафайлы на Викискладе

Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок

Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения[1].

Так, для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число a{displaystyle a} на число b{displaystyle b} надо сложить b{displaystyle b} чисел a{displaystyle a}:

a⋅b=a+a+⋯+a⏟b{displaystyle acdot b=underbrace {a+a+cdots +a} _{b}}.

Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-сомножителей не влияет на результат их умножения.Например, умножение чисел 3{displaystyle 3} и 5{displaystyle 5} может быть записано как 3⋅5{displaystyle 3cdot 5}, так и 5⋅3{displaystyle 5cdot 3} (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число 15{displaystyle 15}. Проверка через сложение:

3+3+3+3+3⏟5=15{displaystyle underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15},

5+5+5⏟3=15{displaystyle underbrace {5+5+5} _{3}=15}.

Умножение также определено для целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел путём систематического обобщения[⇨].

Умножение других математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность[⇨].

Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец[1].

Содержание

• 1 Формы записи и терминология
• 2 Свойства
• 3 Выполнение умножения
• 4 Умножение чисел
  • 4.1 Натуральные числа
  • 4.2 Целые числа
  • 4.3 Рациональные числа
  • 4.4 Вещественные числа
  • 4.5 График
  • 4.6 Комплексные числа
  • 4.7 Экспоненциальная запись
  • 4.8 Умножение произвольных чисел
• 5 Умножение физических величин
• 6 Умножение последовательностей
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Литература
• 10 Ссылки

Формы записи и терминология

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Результат записывается с использованием знака равенства «={displaystyle =}

 », например:

a⋅b=c{displaystyle acdot b=c} 

6⋅3=18{displaystyle 6cdot 3=18}  («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо y=6⋅x+3⋅z{displaystyle y=6cdot x+3cdot z}

  пишется y=6x+3z{displaystyle y=6x+3z} . Как правило, знак умножения опускают, если одним из сомножителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: b2−4ac{displaystyle b^{2}-4ac} , nsin⁡x{displaystyle nsin x} , a(b+c){displaystyle a(b+c)} .

Традиционно при записи произведения нескольких сомножителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение n⋅sin⁡x⋅5⋅m{displaystyle ncdot sin xcdot 5cdot m}

  будет записано как 5nmsin⁡x{displaystyle 5nmsin x} .

Свойства

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах N,Z,Q,R,C{displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} ,mathbb {C} }

 .

• Умножение коммутативно, то есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[2]:

Коммутативность: a⋅b=b⋅a;{displaystyle acdot b=bcdot a;} 

• Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[2]:

Ассоциативность: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c);{displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c);} 

• Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[2]:

Дистрибутивность: x⋅(a+b)=(x⋅a)+(x⋅b),∀a,b∈ A;{displaystyle xcdot (a+b)=(xcdot a)+(xcdot b),quad forall a,bin A;} 

• Относительно умножения в множестве A{displaystyle A}  существует единственный нейтральный элемент — 1{displaystyle 1}  (число «один»). Умножение любого числа на 1{displaystyle 1}  (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:

Нейтральный элемент: x⋅1=1⋅x=x,∃!1∈A;{displaystyle xcdot 1=1cdot x=x,quad exists !1in A;} 

• Умножение на 1{displaystyle 1}  идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: x=x⋅1=(x⋅1)⋅1=((x⋅1)⋅1)⋅…⋅1,∀x∈A,∃!1∈A;{displaystyle x=xcdot 1=(xcdot 1)cdot 1=((xcdot 1)cdot 1)cdot …cdot 1,quad forall xin A,quad exists !1in A;} 

• Умножение на 0{displaystyle 0}  (нулевой элемент) даёт 0{displaystyle 0}  (нуль):

Нулевой элемент: x⋅0=0⋅x=0,∃!0∈A.{displaystyle xcdot 0=0cdot x=0,quad exists !0in A.} 

Операция умножения чисел, определённых на множествах N,Z,Q,R{displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} }

 , даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел Z,Q,R{displaystyle mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} }  образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что Z−0,Q−0,R−0{displaystyle mathbb {Z} _{-0},mathbb {Q} _{-0},mathbb {R} _{-0}}

  являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Выполнение умножения

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел  

Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.

  Пример пошагового умножения 3 ∙ 3 = 9 на числовой прямой.

«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:

a⋅b=hyper2⁡(a,b)=hyper⁡(a,2,b)=a(2)b.{displaystyle acdot b=operatorname {hyper2} (a,b)=operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b.}

 

a(2)b=a⋅b=a+a+⋯+a⏟b.{displaystyle a{^{(2)}}b=acdot b=underbrace {a+a+dots +a} _{b}.}

 

где a+a+⋯+a{displaystyle a+a+dots +a}

  — последовательное сложение b{displaystyle b}  элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[3]:

Таблица для умножения в десятичной системе счисления

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел N{displaystyle mathbb {N} }

  как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств C,A,B{displaystyle C,A,B}  порождённых биекциями, с помощью скобок: [C],[A],[B]{displaystyle [C],[A],[B]} . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:[C]=[A]⋅[B]=[A×B];{displaystyle [C]=[A]cdot [B]=[Atimes B];} 

где: A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}{displaystyle Atimes B={(a,b)mid ain A,bin B}}

  прямое произведение множеств — множество  C{displaystyle C} , элементами которого являются упорядоченные пары  (a,b){displaystyle (a,b)}  для всевозможных  a∈A,b∈B{displaystyle ain A,bin B} . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества A{displaystyle A}

  на отрезок Na{displaystyle N_{a}}  можно понимать как нумерацию элементов множества A:A∼Na{displaystyle A:quad Asim N_{a}}  . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа a{displaystyle a}

  и b{displaystyle b}  такие, что:a=an−1an−2…a0,b=bn−1bn−2…b0,∀ak,bk∈{P},∀an−1,bn−1≠0,∃0∈N;{displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}dots a_{0},quad b=b_{n-1}b_{n-2}dots b_{0},quad forall a_{k},b_{k}in {P},quad forall a_{n-1},b_{n-1}neq 0,quad exists 0in mathbb {N} ;} 

где a0…n−1=akPk,b0…n−1=bkPk{displaystyle a_{0dots n-1}=a_{k}P^{k},quad b_{0dots n-1}=b_{k}P^{k}}

 ;

n{displaystyle n}  — количество цифр в числе n∈{1,2,…,n}{displaystyle nin {1,2,dots ,n}} ;

k{displaystyle k}  — порядковый номером разряда (позиции), k∈{0,1,…,n−1}{displaystyle kin {0,1,dots ,n-1}} ;

P{displaystyle P}  — основание системы счисления;

{P}{displaystyle {P}}  множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

{P2}={0,1}{displaystyle {P_{2}}={0,1}} ,

{P10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{displaystyle {P_{10}}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}} ,

{P16}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F}{displaystyle {P_{16}}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F}} ; тогда:

c=a⋅b;cn−1cn−2…c0=an−1an−2…a0⋅bn−1bn−2…b0;{displaystyle c=acdot b;quad c_{n-1}c_{n-2}dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}dots a_{0}cdot b_{n-1}b_{n-2}dots b_{0};} 

умножая поразрядно, получаем n{displaystyle n}

  промежуточных результатов:

• tn−1, 0=mod(an−1⋅b0+rn−1,P),rn=div(an−1⋅b0+rn−1,P) ,  t0⋅ Pk;{displaystyle t_{n-1,~0}=mod(a_{n-1}cdot b_{0}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{0}+r_{n-1},P)~,~~t_{0}cdot ~P^{k};} 
• tn−1, 1=mod(an−1⋅b1+rn−1,P),rn=div(an−1⋅b1+rn−1,P) ,  t1⋅ Pk;{displaystyle t_{n-1,~1}=mod(a_{n-1}cdot b_{1}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{1}+r_{n-1},P)~,~~t_{1}cdot ~P^{k};} 
• …………{displaystyle …qquad qquad …qquad qquad qquad qquad qquad qquad …qquad qquad qquad qquad qquad qquad …} 
• tn−1, k=mod(an−1⋅bk+rn−1,P),rn=div(an−1⋅bk+rn−1,P) ,  tk⋅ Pk;{displaystyle t_{n-1,~k}=mod(a_{n-1}cdot b_{k}+r_{n-1},P),quad r_{n}=div(a_{n-1}cdot b_{k}+r_{n-1},P)~,~~t_{k}cdot ~P^{k};} 

где: r{displaystyle r}

  — значение переноса, mod(){displaystyle mod()}  — функция нахождения остатка от деления, div(){displaystyle div()}  — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные n{displaystyle n}

  промежуточных результатов складываем: c=t0+t1+…+tk.{displaystyle c=t_{0}+t_{1}+…+t_{k}.} 

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел ak⋅bk{displaystyle a_{k}cdot b_{k}}

 , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию P{displaystyle P}

  системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

110110∗1101110110000000011011000+1101100001010111110;2233122284567∗5410845673382680+4228350045750747;882DD36DE4∗A1F6705C06DE40+44AE800458369C  .{displaystyle {begin{array}{ccccccccccc}&&&&&&&&&&&&&1&1&0&1&1&0&&&*&&&1&1&0&1hline &&&&1&1&0&1&1&0&&&0&0&0&0&0&0&{color {Gray}0}&&1&1&0&1&1&0&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}+&1&1&0&1&1&0&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0end{array}};quad quad {begin{array}{cccccccccc}&&&&_{2}&_{2}&_{3}&_{3}&&&&&_{1}&_{2}&_{2}&_{2}&&&&&8&4&5&6&7&&&*&&&5&4&1hline &&&0&8&4&5&6&7&&3&3&8&2&6&8&{color {Gray}0}+&4&2&2&8&3&5&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}hline &4&5&7&5&0&7&4&7end{array}};quad quad {begin{array}{ccccccccc}&&&&_{8}&_{8}&_{2}&&&&_{D}&_{D}&_{3}&&&&6&D&E&4&&&{*}&&A&1&Fhline &&&6&7&0&5&C&&0&6&D&E&4&{color {Gray}0}+&4&4&A&E&8&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}hline &4&5&8&3&6&9&Cend{array}}~~.} 

Целые числа

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел N{displaystyle mathbb {N} }

 , получаемое добавлением отрицательных чисел [4] вида −n{displaystyle -n} . Множество целых чисел обозначается Z.{displaystyle mathbb {Z} .}  Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.  Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• Если оба аргумента положительные, тогда: c=a⋅b;{displaystyle c=acdot b;} 
• Если один из аргументов отрицателен, тогда: c=−a⋅b=−(a⋅b),{displaystyle c=-acdot b=-(acdot b),}  либо c=a⋅(−b)=−(a⋅b);{displaystyle c=acdot (-b)=-(acdot b);} 
• Если оба аргумента отрицательны, тогда: c=(−a)⋅(−b)=a⋅b.{displaystyle c=(-a)cdot (-b)=acdot b.} 

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: −6⋅4=−24{displaystyle -6cdot 4=-24}

 ; так как у чисел −6{displaystyle -6}  и 4{displaystyle 4}  разные знаки, то выносим минус за скобки: −6⋅4=−(6⋅4){displaystyle -6cdot 4=-(6cdot 4)} , вычисляя далее получим ответ: −24{displaystyle -24} .

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается Q{displaystyle mathbb {Q} }

  (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Q={mn∣m∈Z,n∈N}.{displaystyle mathbb {Q} =left{{frac {m}{n}}mid min mathbb {Z} ,nin mathbb {N} right}.} 

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: ±mn{displaystyle pm {frac {m}{n}}}

 , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа a{displaystyle a}

  и b{displaystyle b}  такие, что: a=mana,b=mbnb∀ma,na,mb,nb∈N∀na,nb≠0{displaystyle a={frac {m_{a}}{n_{a}}},b={frac {m_{b}}{n_{b}}}quad forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}in mathbb {N} quad forall {n_{a}},{n_{b}}neq 0}  (дроби не сокращаемые), тогда[5]:

c=a⋅b=mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.{displaystyle c=acdot b={frac {m_{a}}{n_{a}}}cdot {frac {m_{b}}{n_{b}}}={frac {m_{a}cdot m_{b}}{n_{a}cdot n_{b}}}.} 

Пример умножения:

23⋅15=2⋅13⋅5=215;37⋅46=3⋅47⋅6=1242=621.{displaystyle {frac {2}{3}}cdot {frac {1}{5}}={frac {2cdot 1}{3cdot 5}}={frac {2}{15}};quad {frac {3}{7}}cdot {frac {4}{6}}={frac {3cdot 4}{7cdot 6}}={frac {12}{42}}={frac {6}{21}}.} 

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[6] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

α=±a0,a1a2…an…={an},{displaystyle alpha =pm a_{0},a_{1}a_{2}ldots a_{n}ldots ={a_{n}},} 

β=±b0,b1b2…bn…={bn},{displaystyle beta =pm b_{0},b_{1}b_{2}ldots b_{n}ldots ={b_{n}},} 

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: α=[an]{displaystyle alpha =[a_{n}]}

  и β=[bn]{displaystyle beta =[b_{n}]} , то их произведением называют число γ=[cn]{displaystyle gamma =[c_{n}]} , определённое произведением последовательностей {an}{displaystyle {a_{n}}}  и {bn}{displaystyle {b_{n}}} :

γ=α⋅β=def[an]⋅[bn]=[an×bn];{displaystyle gamma =alpha cdot beta {overset {text{def}}{=}}[a_{n}]cdot [b_{n}]=[a_{n}times b_{n}];} 

вещественное число γ=α⋅β{displaystyle gamma =alpha cdot beta }

 , удовлетворяет следующему условию:

∀a′,a″,b′,b″∈Q;    (a′⩽α⩽a″)∧(b′⩽β⩽b″)⇒(a′⋅b′⩽α×β⩽a″⋅b″)⇒(a′⋅b′⩽γ⩽a″⋅b″).{displaystyle forall a’,a»,b’,b»in mathbb {Q} ;~~~~(a’leqslant alpha leqslant a»)land (b’leqslant beta leqslant b»)Rightarrow (a’cdot b’leqslant alpha times beta leqslant a»cdot b»)Rightarrow (a’cdot b’leqslant gamma leqslant a»cdot b»).} 

Таким образом произведением двух вещественных чисел  α{displaystyle alpha }

  и β{displaystyle beta }  является такое вещественное число γ{displaystyle gamma }  которое содержится между всеми произведениями вида a′⋅b′{displaystyle a’cdot b’}  с одной стороны и всеми произведениями вида a″⋅b″{displaystyle a»cdot b»}  с другой стороны[7].

На практике для того, чтобы умножить два числа α{displaystyle alpha }

  и β{displaystyle beta } , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами a{displaystyle a}  и b{displaystyle b} . За приближенное значение произведения чисел α⋅β{displaystyle alpha cdot beta }  берут произведение указанных рациональных чисел a⋅b{displaystyle acdot b} . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают α{displaystyle alpha }  и β{displaystyle beta } . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: Δ(a⋅b)=|b|⋅Δa+|a|⋅Δb+Δa⋅Δb≈|b|⋅Δa+|a|⋅Δb{displaystyle Delta (acdot b)=|b|cdot Delta a+|a|cdot Delta b+Delta acdot Delta bapprox |b|cdot Delta a+|a|cdot Delta b}

 , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: δ(a⋅b)=δa+δb{displaystyle delta (acdot b)=delta a+delta b} . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения γ=π⋅e{displaystyle gamma =pi cdot e}

 , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: π≈3.1416, e≈2.7183{displaystyle pi approx 3.1416, eapprox 2.7183} ;
• Поразрядно умножаем: γ=π⋅e≈3.1416⋅2.7183≈8.5398{displaystyle gamma =pi cdot eapprox 3.1416cdot 2.7183approx 8.5398} ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: γ≈8.540{displaystyle gamma approx 8.540} .

График

На множестве пар вещественных чисел R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}

  график функции умножения является проходящим через начало координат гиперболическим параболоидом.  График функции с(a,b)=a*b

Комплексные числа

  Комплексное число

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом C{displaystyle mathbb {C} }

 .

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

c+fi=(a+di)⋅(b+ei)=(a⋅b−d⋅e)+(a⋅e+b⋅d)i,{displaystyle c+fi=(a+di)cdot (b+ei)=(acdot b-dcdot e)+(acdot e+bcdot d)i,} 

где: c,a,b,d,e,f∈R{displaystyle c,a,b,d,e,fin mathbb {R} }

 , i{displaystyle i}  — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

c=a⋅b=r1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)⋅r2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)=r1⋅r2(cos⁡(φ1+φ2)+isin⁡(φ1+φ2)),{displaystyle c=acdot b=r_{1}(cos varphi _{1}+isin varphi _{1})cdot r_{2}(cos varphi _{2}+isin varphi _{2})=r_{1}cdot r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})),}

   Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.

где: r=|z|=|a+ib|=a2+b2;   φ=arg⁡(z)=arctg⁡(ba),{displaystyle r=|z|=|a+ib|={sqrt {a^{2}+b^{2}}};~~~varphi =arg(z)=operatorname {arctg} {biggl (}{frac {b}{a}}{biggr )},}

  модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа a=r1eiφ1{displaystyle a=r_{1}e^{ivarphi _{1}}}

  в показательной форме, на комплексное число b=r2eiφ2{displaystyle b=r_{2}e^{ivarphi _{2}}}  сводится к повороту вектора, соответствующего числу a{displaystyle a} , на угол  arg⁡(b){displaystyle arg(b)}  и изменению его длины в |b|{displaystyle |b|}  раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

c=reiφ=a⋅b=r1eiφ1⋅r2eiφ2=r1⋅r2⋅ei(φ1+φ2),{displaystyle c=re^{ivarphi }=acdot b=r_{1}e^{ivarphi _{1}}cdot r_{2}e^{ivarphi _{2}}=r_{1}cdot r_{2}cdot e^{i(varphi _{1}+varphi _{2})},}

 

где: e=2,718281828…{displaystyle e=2{,}718281828dots }

  — число e.

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде a=±x⋅P±n{displaystyle a=pm xcdot P^{pm n}}

 , где x{displaystyle x}  — мантисса, Pn{displaystyle P^{n}}  — характеристика числа, P{displaystyle P}  — основание системы счисления, n∈Z{displaystyle nin mathbb {Z} } . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики: (a⋅Pn)⋅(b⋅Pk)=(a⋅b)⋅Pn⋅Pk=ab⋅Pn+k.{displaystyle (acdot P^{n})cdot (bcdot P^{k})=(acdot b)cdot P^{n}cdot P^{k}=abcdot P^{n+k}.} 

Например:

2,34⋅10−5⋅5,67⋅106=2,34⋅5,67⋅10−5⋅106≈13,27⋅10(−5+6)≈13,27⋅101≈1,33⋅102.{displaystyle 2{,}34cdot 10^{-5}cdot 5{,}67cdot 10^{6}=2{,}34cdot 5{,}67cdot 10^{-5}cdot 10^{6}approx 13{,}27cdot 10^{(-5+6)}approx 13{,}27cdot 10^{1}approx 1{,}33cdot 10^{2}.} 

Умножение произвольных чисел

При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например 1,5(∈Q)⋅5(∈N){displaystyle 1{,}5(in mathbb {Q} )cdot 5(in mathbb {N} )}

 , необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей мощностью «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C⊂H{displaystyle mathbb {N} subset mathbb {Z} subset mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C} subset mathbb {H} } . В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число 5{displaystyle 5}  как рациональное число 5,0{displaystyle 5{,}0} . Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: 1,5(∈Q)⋅5,0(∈Q)=7,5(∈Q){displaystyle 1{,}5(in mathbb {Q} )cdot 5{,}0(in mathbb {Q} )=7{,}5(in mathbb {Q} )} .

Умножение физических величин

См. также: Единицы физических величин

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью[8], например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:

5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее[9].

Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:

5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

5 м · 3 = 15 м.

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

Умножение последовательностей

Произведение элементов последовательности может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве Π (пи) греческого алфавита, как показано в примере:

∏i=14i=1⋅2⋅3⋅4=24.{displaystyle prod _{i=1}^{4}i=1cdot 2cdot 3cdot 4=24.} 

Снизу записывается символ свободной переменной (в данном случае i{displaystyle i}

 ), называемой «индексом умножения», вместе с начальным значением (в данном случае 1). Сверху записывается конечное значение (в данном случае 4) в виде числа или переменной, либо символ бесконечности ∞{displaystyle infty } , если предполагается бесконечное произведение. Такую запись можно «развернуть» в выражение, в котором последовательно подставляются значения индекса умножения от начального до конечного значения:

∏i=mnxi=xm⋅xm+1⋅xm+2⋅⋯⋅xn−1⋅xn,{displaystyle prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}cdot x_{m+1}cdot x_{m+2}cdot ,,cdots ,,cdot x_{n-1}cdot x_{n},} 

где m и n есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.

Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например

∏i∈Axi{displaystyle prod _{iin A}x_{i}} .

Такая запись означает, что переменная i{displaystyle i}

  «пробегает» все значения, принадлежащие множеству A{displaystyle A} .

См. также

• Бруски Женая — Люка
• Деление
• Возведение в степень

Примечания

1. ↑ 1 2 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
2. ↑ 1 2 3 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
3. ↑ Истомина, 2005, с. 165.
4. ↑ Выгодский, 2003.
5. ↑ Гусев, 1988, с. 20.
6. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида {x:α<x<β}{displaystyle {x:alpha <x<beta }} 
7. ↑ Ильин, 1985, с. 46.
8. ↑ Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста  (неопр.). brestschool7.iatp.by. Дата обращения: 18 апреля 2016.
9. ↑ Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин  (неопр.). lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения: 18 апреля 2016.

Литература

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (рус.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (рус.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (рус.). — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (рус.). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (рус.). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (рус.). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.

Ссылки

• Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя