Функция Хевисайда

Разделы:

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например[1]

Единичная функция Хевисайда

θ(x)={0,x<0;12,x=0;1,x>0.{displaystyle theta (x)={begin{cases}0,&x<0;{dfrac {1}{2}},&x=0;1,&x>0.end{cases}}}

theta (x)={begin{cases}0,&x<0;{dfrac {1}{2}},&x=0;1,&x>0.end{cases}}

Другое распространённое определение:

θ(x)={0,x<0;1,x⩾0.{displaystyle theta (x)={begin{cases}0,&x<0;1,&xgeqslant 0.end{cases}}}

theta (x)={begin{cases}0,&x<0;1,&xgeqslant 0.end{cases}}

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, θ′=δ{displaystyle theta ‘=delta } $theta '=delta$ , это также можно записать как:

θ(x)=∫−∞xδ(t)dt.{displaystyle theta (x)=int limits _{-infty }^{x}!delta (t),dt.}

theta (x)=int limits _{{-infty }}^{x}!delta (t),dt.

Содержание

1 Дискретная форма
2 Аналитические формы
3 Запись
4 ’»`UNIQ—postMath-00000011-QINU`»‘
5 Преобразование Фурье
6 См. также
7 Примечания

Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента n{displaystyle n}

$n$ :

θ[n]={0,n<0;1,n⩾0,{displaystyle theta [n]={begin{cases}0,&n<0;1,&ngeqslant 0,end{cases}}}

theta [n]={begin{cases}0,&n<0;1,&ngeqslant 0,end{cases}}

где n{displaystyle n}

$n$ — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

δ[n]=θ[n]−θ[n−1].{displaystyle delta [n]=theta [n]-theta [n-1].}

delta [n]=theta [n]-theta [n-1].

Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

θ(x)≈12+12thkx=11+e−2kx,{displaystyle theta (x)approx {frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}mathrm {th} ,kx={frac {1}{1+e^{-2kx}}},}

theta (x)approx {frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{mathrm {th}},kx={frac {1}{1+e^{{-2kx}}}},

где большему k{displaystyle k}

$k$ соответствует более крутой подъём функции в точке x=0{displaystyle x=0} $x=0$ . Если принять θ(0)=1/2{displaystyle theta (0)=1/2} $theta (0)=1/2$ , уравнение можно записать в предельной форме:

θ(x)=limk→∞12(1+thkx)=limk→∞11+e−2kx.{displaystyle theta (x)=lim _{kto infty }{frac {1}{2}}(1+mathrm {th} ,kx)=lim _{kto infty }{frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}

theta (x)=lim _{{kto infty }}{frac {1}{2}}(1+{mathrm {th}},kx)=lim _{{kto infty }}{frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

θ(x)=limk→∞(12+1πarctgkx);{displaystyle theta (x)=lim _{kto infty }left({frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}mathrm {arctg} ,kxright);}

theta (x)=lim _{{kto infty }}left({frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}{mathrm {arctg}},kxright);

θ(x)=limk→∞(12+12erfkx).{displaystyle theta (x)=lim _{kto infty }left({frac {1}{2}}+{frac {1}{2}},mathrm {erf} ,kxright).}

theta (x)=lim _{{kto infty }}left({frac {1}{2}}+{frac {1}{2}},{mathrm {erf}},kxright).

Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

θ(x)=−limε→0+12πi∫−∞∞1τ+iεe−ixτdτ.{displaystyle theta (x)=-lim _{varepsilon to 0^{+}}{frac {1}{2pi i}}int limits _{-infty }^{infty }{frac {1}{tau +ivarepsilon }}e^{-ixtau },dtau .}

theta (x)=-lim _{{varepsilon to 0^{+}}}{frac {1}{2pi i}}int limits _{{-infty }}^{infty }{frac {1}{tau +ivarepsilon }}e^{{-ixtau }},dtau .

θ(0){displaystyle theta (0)} $theta (0)$

Значение функции в нуле часто задаётся как θ(0)=0{displaystyle theta (0)=0}

$theta (0)=0$ , θ(0)=1/2{displaystyle theta (0)=1/2} $theta (0)=1/2$ или θ(0)=1{displaystyle theta (0)=1} $theta (0)=1$ . θ(0)=1/2{displaystyle theta (0)=1/2} $theta (0)=1/2$ — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

θ(x)=12(1+sgn⁡x)={0,x<0;12,x=0;1,x>0.{displaystyle theta (x)={frac {1}{2}}(1+operatorname {sgn} x)={begin{cases}0,&x<0;{dfrac {1}{2}},&x=0;1,&x>0.end{cases}}}

theta (x)={frac {1}{2}}(1+operatorname{sgn} x)={begin{cases}0,&x<0;{dfrac {1}{2}},&x=0;1,&x>0.end{cases}}

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

θn(x)={0,x<0;n,x=0;1,x>0.{displaystyle theta _{n}(x)={begin{cases}0,&x<0;n,&x=0;1,&x>0.end{cases}}}

theta _{n}(x)={begin{cases}0,&x<0;n,&x=0;1,&x>0.end{cases}}

Преобразование Фурье

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

θ(x)=∫−∞xδ(t)dt{displaystyle theta (x)=int limits _{-infty }^{x}delta (t),dt}

theta (x)=int limits _{{-infty }}^{x}delta (t),dt

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции θ(t){displaystyle ~theta (t)}

$~theta (t)$ , получим её изображение вида:

12πiω+12δ(ω),{displaystyle {frac {1}{2pi iomega }}+{frac {1}{2}}delta (omega ),}

{frac {1}{2pi iomega }}+{frac {1}{2}}delta (omega ),

то есть:

θ(t)=∫−∞+∞(12πiω+12δ(ω))eiωtdω{displaystyle theta (t)=int limits _{-infty }^{+infty }left({frac {1}{2pi iomega }}+{frac {1}{2}}delta (omega )right)e^{iomega t},domega }

theta (t)=int limits _{{-infty }}^{{+infty }}left({frac {1}{2pi iomega }}+{frac {1}{2}}delta (omega )right)e^{{iomega t}},domega

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

См. также

Примечания

↑ В теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как η(x){displaystyle scriptstyle {eta (x)}} . В англоязычной литературе часто обозначают H(x){displaystyle scriptstyle {H(x)}} или 1(x){displaystyle scriptstyle {1(x)}} . См., например,
- Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с. — (Математика в техническом университете; Вып. XI). — ISBN 5-7038-1273-9.;
- Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1).