Алгебраическая система

• Разделы:
  • Примечания
  • Литература

Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре — множество G{displaystyle G} (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество Gn→G{displaystyle G^{n}to G}. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Содержание

• 1 Основные классы алгебраических систем
  • 1.1 Группоиды, полугруппы, группы
  • 1.2 Кольца
  • 1.3 Алгебры
  • 1.4 Решётки
• 2 Примечания
• 3 Литература

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией ⋅:G×G→G{displaystyle cdot :Gtimes Gto G} , обычно называемой умножением.
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x⋅a=b{displaystyle xcdot a=b}  имеет единственное решение для любых a{displaystyle a}  и b{displaystyle b} .
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
• Лупа — квазигруппа с единичным элементом e∈G{displaystyle ein G} , таким, что a⋅e=e⋅a=a{displaystyle acdot e=ecdot a=a} .
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c{displaystyle acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c} .
• Моноид — полугруппа с единичным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что a⋅a−1=a−1⋅a=e{displaystyle acdot a^{-1}=a^{-1}cdot a=e} .
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, a⋅b=b⋅a{displaystyle acdot b=bcdot a} . Операцию в абелевой группе часто называют сложением (‘+’).

Кольца

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{displaystyle acdot (b+c)=acdot b+acdot c,quad (a+b)cdot c=acdot c+bcdot c} .
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Алгебры

• Алгебра (линейная) — пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Алгебра термов
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым [a,b]{displaystyle [a,b]!} ), удовлетворяющим тождеству Якоби [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0{displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0!} 
• Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым [a,b]{displaystyle [a,b]!} ), удовлетворяющим тождеству Якоби [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0{displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0!} 
• Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: x2(yx)=(x2y)x{displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x!} 
• Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: x2(yx)=(x2y)x{displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x!}  и тождеством эластичности: x(yx)=(xy)x{displaystyle x(yx)=(xy)x!} 
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами x2y=x(xy),yx2=(yx)x{displaystyle x^{2}y=x(xy),quad yx^{2}=(yx)x!} 
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:

  (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x{displaystyle (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x!} 

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
• Булева алгебра.

Примечания

1. ↑ Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература

• П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
• А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
• «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.