Пространство непрерывных функций

• Разделы:
  • Вариации и обобщения
  • Литература

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} функции (обычно обозначается C[a,b]{displaystyle {mathrm {C} }[a,b]}) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

||x||C[a,b]=maxt∈[a,b]|x(t)|{displaystyle ||x||_{{mathbf {C} }[a,b]}=max _{tin [a,b]}|x(t)|}

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, т. к. сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

• Если последовательность xn{displaystyle x_{n}}  элементов из C{displaystyle {mathbf {C} }} [a,b]{displaystyle [a,b]}  сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции x(t){displaystyle x(t)} , то xn⇉t∈[a,b]x{displaystyle displaystyle {x_{n}{stackrel {tin [a,b]}{rightrightarrows }}x}}  при n→∞{displaystyle nto infty } .
  • Отсюда: C{displaystyle {mathrm {C} }} [a,b]{displaystyle [a,b]}  — банахово пространство.
• Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
• В C{displaystyle {mathrm {C} }} [a,b]{displaystyle [a,b]}  не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

||x||=∫ab|x(t)|dt{displaystyle ||x||=int limits _{a}^{b}|x(t)|,dt} 

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность xn{displaystyle x_{n}}

xn(t)={1,t≥1nnt,t∈(−1n,1n)−1,t≤−1n{displaystyle x_{n}(t)={begin{cases}1,quad tgeq {frac {1}{n}}nt,quad tin (-{frac {1}{n}},{frac {1}{n}})-1,quad tleq -{frac {1}{n}}end{cases}}} 

Его пополнение есть L[a,b]{displaystyle L[a,b]}

  — пространство суммируемых функций.

Литература

А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. «Элементы теории функций и функционального анализа», М.: Наука, 2004.

Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. «Элементы функционального анализа», М.: Наука, 1965.

M. Reed, B. Simon. «Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis», Academic Press New York London, 1973.

К. Иосида. «Функциональный анализ», Мир: Москва, 1967.

Шаблон:Noiwiki