Мощность множества

Разделы:

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества.Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A{displaystyle A} $A$ обозначается через |A|{displaystyle |A|} $|A|$ .Иногда встречаются обозначения A¯¯{displaystyle {overline {overline {A}}}} $overline {overline {A}}$ , #A{displaystyle #A} $#A$ и card(A){displaystyle mathrm {card} (A)} ${mathrm {card}}(A)$ .

Содержание

1 Определение
2 Связанные определения
3 Примеры
4 Свойства
5 Арифметика кардинальных чисел
6 Континуум-гипотеза
7 См. также
8 Примечания
9 Литература

Определение

При соблюдении аксиомы выбора мощность множества формально определяется как наименьшее порядковое число α{displaystyle alpha }

$alpha$ , при котором между X{displaystyle X} $X$ и α{displaystyle alpha } $alpha$ можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману. Если мы не принимаем аксиому выбора, требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества X{displaystyle X} $X$ (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс [X]{displaystyle [X]} $[X]$ всех множеств, равномощных X{displaystyle X} $X$ . В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом X{displaystyle X} $X$ такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если X≠∅{displaystyle Xneq varnothing } $Xneq varnothing$ , то существует инъективное отображение универсального множества в [X]{displaystyle [X]} $[X]$ , при котором каждое множество m{displaystyle m} $m$ переходит в {m}×X{displaystyle {m}times X} ${m}times X$ , откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что [X]{displaystyle [X]} $[X]$ — собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и «новых основаниях», а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию [X]{displaystyle [X]} $[X]$ равномощными множествами с наименьшим рангом (этот приём, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: |X|≤|Y|{displaystyle |X|leq |Y|}

$|X|leq |Y|$ означает, что множество X{displaystyle X} $X$ можно инъективно отобразить на Y{displaystyle Y} $Y$ . Согласно теореме Кантора — Бернштейна, из пары неравенств |X|≤|Y|{displaystyle |X|leq |Y|} $|X|leq |Y|$ и |Y|≤|X|{displaystyle |Y|leq |X|} $|Y|leq |X|$ следует, что |X|=|Y|{displaystyle |X|=|Y|} $|X|=|Y|$ . Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств X{displaystyle X} $X$ и Y{displaystyle Y} $Y$ выполняется, по крайней мере, одно из неравенств |X|≤|Y|{displaystyle |X|leq |Y|} $|X|leq |Y|$ или |Y|≤|X|{displaystyle |Y|leq |X|} $|Y|leq |X|$ .

Множество X{displaystyle X}

$X$ называется бесконечным по Дедекинду, если в нём существует такое собственное подмножество Y{displaystyle Y} $Y$ , что |X|=|Y|{displaystyle |X|=|Y|} $|X|=|Y|$ . В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами — иначе говоря, множество X{displaystyle X} $X$ конечно тогда и только тогда, когда |X|=|n|=n{displaystyle |X|=|n|=n} $|X|=|n|=n$ при некотором натуральном n{displaystyle n} $n$ . Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел ℵ0{displaystyle aleph _{0}} $aleph_0$ (алеф-нуль, или алеф-0 — название образовано от первой буквы еврейского алфавита ℵ{displaystyle aleph } $aleph$ ) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности ℵ0{displaystyle aleph _{0}} $aleph_0$ . Следующее по порядку кардинальное число обозначается ℵ1{displaystyle aleph _{1}} $aleph_1$ и так далее. Любому порядковому числу α{displaystyle alpha } $alpha$ соответствует кардинальное число ℵα{displaystyle aleph _{alpha }} $aleph _{alpha }$ , причём таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения

Мощность множества натуральных чисел N{displaystyle {mathbb {N} }} ${{mathbb N}}$ обозначается символом ℵ0{displaystyle aleph _{0}} $aleph_0$ («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность ⩾ℵ0{displaystyle geqslant aleph _{0}} $geqslant aleph _{0}$ (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются ℵ1,ℵ2,…ℵω,ℵω+1,…ℵω1,…{displaystyle aleph _{1},aleph _{2},dots aleph _{omega },aleph _{omega +1},dots aleph _{omega _{1}},dots } $aleph _{1},aleph _{2},dots aleph _{omega },aleph _{{omega +1}},dots aleph _{{omega _{1}}},dots$ (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c{displaystyle {mathfrak {c}}} $mathfrak{c}$ . Предположение о том, что c=ℵ1{displaystyle {mathfrak {c}}=aleph _{1}} ${mathfrak {c}}=aleph _{1}$ , называется континуум-гипотезой.

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} возможно только одно из трёх:
1. |A|=|B|{displaystyle |A|=|B|} $|A|=|B|$ , или A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ равномощны;
2. |A|>|B|{displaystyle |A|>|B|} $|A|>|B|$ , или A{displaystyle A} $A$ мощнее B{displaystyle B} $B$ , то есть A{displaystyle A} $A$ содержит подмножество, равномощное B{displaystyle B} $B$ , но A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ не равномощны;
3. |A|<|B|{displaystyle |A|<|B|} $|A|<|B|$ , или B{displaystyle B} $B$ мощнее A{displaystyle A} $A$ — в этом случае B{displaystyle B} $B$ содержит подмножество, равномощное A{displaystyle A} $A$ , но A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ не равномощны.
- Ситуация, в которой A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
- Ситуация, в которой |A|>|B|{displaystyle |A|>|B|} $|A|>|B|$ и |A|<|B|{displaystyle |A|<|B|} $|A|<|B|$ , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Примеры

Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда In={1,2…,n}{displaystyle I_{n}={1,2…,n}} $I_{n}={1,2...,n}$ при некотором неотрицательном целом n{displaystyle n} $n$ . Число n{displaystyle n} $n$ выражает количество элементов конечного множества. При n=0{displaystyle n=0} $n=0$ множество не содержит элементов (пустое множество). Если n<m{displaystyle n<m} $n<m$ , то не существует инъективного отображения из Im{displaystyle I_{m}} $I_{m}$ в In{displaystyle I_{n}} $I_{n}$ (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества Im{displaystyle I_{m}} $I_{m}$ и In{displaystyle I_{n}} $I_{n}$ имеют различную мощность.

Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел N{displaystyle mathbb {N} } . Счётными множествами являются:
- Множество N∖Ik{displaystyle mathbb {N} setminus I_{k}} ${mathbb {N}}setminus I_{k}$ при любом натуральном k{displaystyle k} $k$ . Соответствие: n→n+k{displaystyle nrightarrow n+k} $nrightarrow n+k$ .
- Множество N∪{0}{displaystyle mathbb {N} cup {0}} ${mathbb {N}}cup {0}$ . Соответствие: n→n−1{displaystyle nrightarrow n-1} $nrightarrow n-1$ .
- Множество целых чисел Z{displaystyle mathbb {Z} } $mathbb {Z}$ . Соответствие получается при сопоставлении членов ряда 0+1−2+3−4+5−6+…{displaystyle 0+1-2+3-4+5-6+…} $0+1-2+3-4+5-6+...$ его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
- Множество пар натуральных чисел N×N{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} } ${mathbb {N}}times {mathbb {N}}$ .
- Множество рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} } $mathbb {Q}$ инъективно отображается во множество Z×N{displaystyle mathbb {Z} times mathbb {N} } ${mathbb {Z}}times {mathbb {N}}$ (несократимой дроби вида p/q{displaystyle p/q} $p/q$ соответствует пара чисел (p,q)∈Z×N{displaystyle (p,q)in mathbb {Z} times mathbb {N} } $(p,q)in {mathbb {Z}}times {mathbb {N}}$ ). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.

Бесконечные множества, неравномощные множеству N{displaystyle mathbb {N} } $mathbb {N}$ , называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

Мощность множества вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ равна континууму.

Свойства

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например |N|=|Z|{displaystyle |{mathbb {N} }|=|mathbb {Z} |} $|{{mathbb N}}|=|{mathbb Z}|$ .
Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или |2A|>|A|{displaystyle |2^{A}|>|A|} $|2^{A}|>|A|$ .
С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
Мощность декартова произведения:

|A×B|=|A|⋅|B|{displaystyle |Atimes B|=|A|cdot |B|} $|Atimes B|=|A|cdot |B|$
Формула включения-исключения в простейшем виде:

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|{displaystyle |Acup B|=|A|+|B|-|Acap B|} $|Acup B|=|A|+|B|-|Acap B|$

Арифметика кардинальных чисел

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа κ{displaystyle kappa }

$kappa$ можно определить следующее за ним число κ+>κ{displaystyle kappa ^{+}>kappa } $kappa ^{+}>kappa$ , причём между κ{displaystyle kappa } $kappa$ и κ+{displaystyle kappa ^{+}} $kappa ^{+}$ нет других кардинальных чисел. Если κ{displaystyle kappa } $kappa$ конечно, то следующее кардинальное число совпадает с κ+1{displaystyle kappa +1} $kappa +1$ . В случае бесконечных κ{displaystyle kappa } $kappa$ следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.

Сложение кардинальных чисел

Если множества X{displaystyle X}

$X$ и Y{displaystyle Y} $Y$ не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности — например, заменить X{displaystyle X} $X$ на X×{0}{displaystyle Xtimes {0}} $Xtimes {0}$ , а Y{displaystyle Y} $Y$ на Y×{1}{displaystyle Ytimes {1}} $Ytimes {1}$ .

Нейтральность нуля относительно сложения:

κ+0=0+κ=κ{displaystyle kappa +0=0+kappa =kappa }

kappa +0=0+kappa =kappa

Ассоциативность:

(κ+μ)+ν=κ+(μ+ν){displaystyle (kappa +mu )+nu =kappa +(mu +nu )}

(kappa +mu )+nu =kappa +(mu +nu )

Коммутативность:

κ+μ=μ+κ{displaystyle kappa +mu =mu +kappa }

kappa +mu =mu +kappa

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

κ≤μ→κ+ν≤μ+ν.{displaystyle kappa leq mu rightarrow kappa +nu leq mu +nu .}

kappa leq mu rightarrow kappa +nu leq mu +nu .

κ≤μ→ν+κ≤ν+μ.{displaystyle kappa leq mu rightarrow nu +kappa leq nu +mu .}

kappa leq mu rightarrow nu +kappa leq nu +mu .

Сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если одно из чисел κ{displaystyle kappa }

$kappa$ или μ{displaystyle mu } $mu$ бесконечно, то

κ+μ=max{κ,μ}.{displaystyle kappa +mu =max{kappa ,mu },.}

kappa +mu =max{kappa ,mu },.

Вычитание

При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа σ{displaystyle sigma }

$sigma$ и произвольного кардинального числа μ{displaystyle mu } $mu$ существование κ{displaystyle kappa } $kappa$ , при котором μ+κ=σ{displaystyle mu +kappa =sigma } $mu +kappa =sigma$ , эквивалентно неравенству μ≤σ{displaystyle mu leq sigma } $mu leq sigma$ . Такое κ{displaystyle kappa } $kappa$ единственно (и совпадает с σ{displaystyle sigma } $sigma$ ) тогда и только тогда, когда μ<σ{displaystyle mu <sigma } $mu <sigma$ .

Умножение кардинальных чисел

Произведение двух кардинальных чисел выражается через декартово произведение множеств:|X|⋅|Y|=|X×Y|{displaystyle |X|cdot |Y|=|Xtimes Y|}

$|X|cdot |Y|=|Xtimes Y|$

Свойства нуля:

κ⋅0=0⋅κ=0{displaystyle kappa cdot 0=0cdot kappa =0}

kappa cdot 0=0cdot kappa =0

κ⋅μ=0→κ=0∨μ=0{displaystyle kappa cdot mu =0rightarrow kappa =0lor mu =0}

kappa cdot mu =0rightarrow kappa =0lor mu =0

Нейтральность единицы относительно умножения:

κ⋅1=1⋅κ=κ{displaystyle kappa cdot 1=1cdot kappa =kappa }

kappa cdot 1=1cdot kappa =kappa

Ассоциативность:

(κ⋅μ)⋅ν=κ⋅(μ⋅ν){displaystyle (kappa cdot mu )cdot nu =kappa cdot (mu cdot nu )}

(kappa cdot mu )cdot nu =kappa cdot (mu cdot nu )

Коммутативность:

κ⋅μ=μ⋅κ{displaystyle kappa cdot mu =mu cdot kappa }

kappa cdot mu =mu cdot kappa

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

κ≤μ→κ⋅ν≤μ⋅ν.{displaystyle kappa leq mu rightarrow kappa cdot nu leq mu cdot nu .}

kappa leq mu rightarrow kappa cdot nu leq mu cdot nu .

κ≤μ→ν⋅κ≤ν⋅μ.{displaystyle kappa leq mu rightarrow nu cdot kappa leq nu cdot mu .}

kappa leq mu rightarrow nu cdot kappa leq nu cdot mu .

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

κ⋅(μ+ν)=κ⋅μ+κ⋅ν{displaystyle kappa cdot (mu +nu )=kappa cdot mu +kappa cdot nu }

kappa cdot (mu +nu )=kappa cdot mu +kappa cdot nu

(μ+ν)⋅κ=μ⋅κ+ν⋅κ{displaystyle (mu +nu )cdot kappa =mu cdot kappa +nu cdot kappa }

(mu +nu )cdot kappa =mu cdot kappa +nu cdot kappa

По аналогии со сложением произведение двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если числа κ{displaystyle kappa }

$kappa$ и μ{displaystyle mu } $mu$ отличны от нуля и хотя бы одно из них бесконечно, то

κ⋅μ=max{κ,μ}.{displaystyle kappa cdot mu =max{kappa ,mu },.}

kappa cdot mu =max{kappa ,mu },.

Деление

При соблюдении аксиомы выбора для любой пары кардинальных чисел π{displaystyle pi }

$pi$ и μ{displaystyle mu } $mu$ , где π{displaystyle pi } $pi$ бесконечно, а μ{displaystyle mu } $mu$ не равно нулю, существование κ{displaystyle kappa } $kappa$ , при котором μ⋅κ=π{displaystyle mu cdot kappa =pi } $mu cdot kappa =pi$ , эквивалентно неравенству μ≤π{displaystyle mu leq pi } $mu leq pi$ . Такое κ{displaystyle kappa } $kappa$ единственно (и совпадает с π{displaystyle pi } $pi$ ) тогда и только тогда, когда μ<π{displaystyle mu <pi } $mu <pi$ .

Возведение кардинальных чисел в степень

Возведение в степень определяется следующим образом:

|X||Y|=|XY|{displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|}

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

где XY{displaystyle X^{Y}}

$X^{Y}$ обозначает множество всех функций из Y{displaystyle Y} $Y$ в X{displaystyle X} $X$ .

κ0=1{displaystyle kappa ^{0}=1}

kappa ^{0}=1

(в частности, 00=1{displaystyle 0^{0}=1}

0^{0}=1

), см. Пустая функция

1≤μ→0μ=0{displaystyle 1leq mu rightarrow 0^{mu }=0}

1leq mu rightarrow 0^{mu }=0

1μ=1{displaystyle 1^{mu }=1}

1^{mu }=1

κ1=κ{displaystyle kappa ^{1}=kappa }

kappa ^{1}=kappa

κμ+ν=κμ⋅κν{displaystyle kappa ^{mu +nu }=kappa ^{mu }cdot kappa ^{nu }}

kappa ^{{mu +nu }}=kappa ^{mu }cdot kappa ^{nu }

κμ⋅ν=(κμ)ν{displaystyle kappa ^{mu cdot nu }=(kappa ^{mu })^{nu }}

kappa ^{{mu cdot nu }}=(kappa ^{mu })^{nu }

(κ⋅μ)ν=κν⋅μν{displaystyle (kappa cdot mu )^{nu }=kappa ^{nu }cdot mu ^{nu }}

(kappa cdot mu )^{nu }=kappa ^{nu }cdot mu ^{nu }

Монотонность:

1≤ν∧κ≤μ→νκ≤νμ{displaystyle 1leq nu land kappa leq mu rightarrow nu ^{kappa }leq nu ^{mu }}

1leq nu land kappa leq mu rightarrow nu ^{kappa }leq nu ^{mu }

κ≤μ→κν≤μν{displaystyle kappa leq mu rightarrow kappa ^{nu }leq mu ^{nu }}

kappa leq mu rightarrow kappa ^{nu }leq mu ^{nu }

Заметим, что 2|X|{displaystyle 2^{|X|}}

$2^{{|X|}}$ представляет собой мощность булеана X{displaystyle X} $X$ и, следовательно, 2|X|>|X|{displaystyle 2^{|X|}>|X|} $2^{{|X|}}>|X|$ для любого множества X{displaystyle X} $X$ (см. Диагональный метод Кантора). Отсюда следует, что среди кардинальных чисел нет наибольшего (поскольку для любого кардинального числа κ{displaystyle kappa } $kappa$ можно указать большее число 2κ{displaystyle 2^{kappa }} $2^{kappa }$ ). В действительности класс всех кардинальных чисел является собственным (хотя в некоторых аксиоматизациях теории множество этого доказать нельзя — к таковым, например, относится система «Новых оснований»).

Все последующие утверждения, приведенные в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Если κ{displaystyle kappa }

$kappa$ и μ{displaystyle mu } $mu$ — конечные числа, большие 1, а ν{displaystyle nu } $nu$ — бесконечное кардинальное число, то κν=μν{displaystyle kappa ^{nu }=mu ^{nu }} $kappa ^{nu }=mu ^{nu }$ Если кардинальное число κ{displaystyle kappa } $kappa$ бесконечно, а μ{displaystyle mu } $mu$ конечно и отлично от нуля, то κμ=κ{displaystyle kappa ^{mu }=kappa } $kappa ^{mu }=kappa$ .

Если κ≥2{displaystyle kappa geq 2}

$kappa geq 2$ и μ≥1{displaystyle mu geq 1} $mu geq 1$ , причём хотя бы одно из них бесконечно, то

max{κ,2μ}≤κμ≤max{2κ,2μ}{displaystyle max{kappa ,2^{mu }}leq kappa ^{mu }leq max{2^{kappa },2^{mu }}}

max{kappa ,2^{mu }}leq kappa ^{mu }leq max{2^{kappa },2^{mu }}

Используя теорему Кёнига, можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа κ{displaystyle kappa }

$kappa$ выполняются неравенства:

κ<κcf(κ){displaystyle kappa <kappa ^{cf(kappa )}}

kappa <kappa ^{{cf(kappa )}}

κ<cf(2κ){displaystyle kappa <cf(2^{kappa })}

kappa <cf(2^{kappa })

где cf(κ){displaystyle cf(kappa )}

$cf(kappa )$ обозначает конфинальность κ{displaystyle kappa } $kappa$ .

Извлечение корней

При условии соблюдения аксиомы выбора для любого бесконечного кардинала κ{displaystyle kappa }

$kappa$ и конечного кардинала μ>0{displaystyle mu >0} $mu >0$ существует кардинальное число ν{displaystyle nu } $nu$ , при котором νμ=κ{displaystyle nu ^{mu }=kappa } $nu ^{mu }=kappa$ , причём ν=κ{displaystyle nu =kappa } $nu =kappa$ .

Логарифмы

При соблюдении аксиомы выбора кардинальное число λ{displaystyle lambda }

$lambda$ , удовлетворяющее условию μλ=κ{displaystyle mu ^{lambda }=kappa } $mu ^{lambda }=kappa$ , при заданном бесконечном κ{displaystyle kappa } $kappa$ и конечном μ>1{displaystyle mu >1} $mu >1$ , существует не всегда. Если же такое λ{displaystyle lambda } $lambda$ существует, то оно бесконечно и меньше κ{displaystyle kappa } $kappa$ , причём любое конечное кардинальное число ν>1{displaystyle nu >1} $nu >1$ также будет удовлетворять равенству νλ=κ{displaystyle nu ^{lambda }=kappa } $nu ^{lambda }=kappa$ .

Логарифмом бесконечного кардинального числа κ{displaystyle kappa }

$kappa$ называется наименьшее кардинальное число μ{displaystyle mu } $mu$ , удовлетворяющее условию κ≤2μ{displaystyle kappa leq 2^{mu }} $kappa leq 2^{mu }$ . Несмотря на то, что логарифмы бесконечно больших кардинальных чисел лишены некоторых свойств, характерных для логарифмов положительных вещественных чисел, они оказываются полезными в некоторых областях математики — в частности, при изучении кардинальных инвариантов топологических пространств.

Континуум-гипотеза

Согласно утверждению континуум-гипотезы, между ℵ0{displaystyle aleph _{0}}

$aleph_0$ и 2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}} $2^{aleph_0}$ не существует других кардинальных чисел. Кардинальное число 2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}} $2^{aleph_0}$ также обозначается c{displaystyle {mathfrak {c}}} $mathfrak{c}$ и представляет собой мощность континуума (то есть множества вещественных чисел). В данном случае 2ℵ0=ℵ1{displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}} $2^{{aleph _{0}}}=aleph _{1}$ . Обобщённая континуум-гипотеза отрицает существование кардинальных чисел, заключённых строго между |X|{displaystyle |X|} $|X|$ и 2|X|{displaystyle 2^{|X|}} $2^{{|X|}}$ , для любого бесконечного множества X{displaystyle X} $X$ . Континуум-гипотеза является независимой от стандартной аксиоматизации теории множеств, то есть системы аксиом Цермело-Френкеля в сочетании с аксиомой выбора (см. Теория множеств Цермело-Френкеля).

См. также

Порядковое число

Примечания

Литература

А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.