Длина кривой

Разделы:

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.

Содержание

1 Определение
2 История
3 См. также
4 Литература
5 Примечания

Определение

Евклидово пространство

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных. Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая γ{displaystyle gamma }

$gamma$ задана параметрически:

x=x(t),y=y(t),z=z(t){displaystyle x=x(t),quad y=y(t),quad z=z(t)qquad qquad }

x=x(t),quad y=y(t),quad z=z(t)qquad qquad

(1)

Приближение кривой ломаными

где a⩽t⩽b{displaystyle ~aleqslant tleqslant b}

$~aleqslant tleqslant b$ . Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ на m{displaystyle m} $m$ отрезков: a=x0<x1<⋯<xm=b{displaystyle ~a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b} ${displaystyle ~a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b}$ . Соединив точки кривой γ(x0),…,γ(xm){displaystyle ~gamma (x_{0}),dots ,gamma (x_{m})} ${displaystyle ~gamma (x_{0}),dots ,gamma (x_{m})}$ отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины s{displaystyle s}

$s$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

s=∫abx′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {{x’}^{2}(t)+{y’}^{2}(t)+{z’}^{2}(t)}},dt}

s=int limits _{a}^{b}{sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}},dt

(2)

Формула подразумевает, что a⩽b{displaystyle aleqslant b}

$aleqslant b$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

s=∫ab∑k=1nfk′2(t)dt{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {sum limits _{k=1}^{n}{f’_{k}}^{2}(t)}},dt}

s=int limits _{a}^{b}{sqrt {sum limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}},dt

Можно также вычислить длину кривой γ{displaystyle gamma }

$gamma$ через криволинейный интеграл I рода:

s=∫γdγ{displaystyle s=int limits _{gamma }dgamma }

s=int limits _{gamma }dgamma

Длина дуги как параметр

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

Производная радиус-вектора drdt{displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}} ${frac {d{mathbf {r}}}{dt}}$ имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной.
d2rdt2{displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}} ${frac {d^{2}{mathbf {r}}}{dt^{2}}}$ по длине совпадает с кривизной кривой, а по направлению — с её главной нормалью.

Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением y=f(x),{displaystyle y=f(x),}

$y=f(x),$ то её длина равна:

s=∫ab1+f′2(x)dx.{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {1+{f’}^{2}(x)}},dx.}

s=int limits _{a}^{b}{sqrt {1+{f'}^{2}(x)}},dx.

В полярных координатах (r,φ):{displaystyle (r,varphi ):}

$(r,varphi ):$

s=∫abr2+(drdφ)2dφ.{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {r^{2}+left({frac {dr}{dvarphi }}right)^{2}}},dvarphi .}

s=int limits _{a}^{b}{sqrt {r^{2}+left({frac {dr}{dvarphi }}right)^{2}}},dvarphi .

Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами x1⋯xn{displaystyle x^{1}cdots x^{n}}

$x^{1}cdots x^{n}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

xi=xi(t){displaystyle x^{i}=x^{i}(t)qquad qquad }

x^{i}=x^{i}(t)qquad qquad

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

s=∫abgijdxidtdxjdtdt{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {g_{ij}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt}

s=int limits _{a}^{b}{sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt

где : gij{displaystyle g_{ij}}

$g_{ij}$ — метрический тензор.Пример: кривая на поверхности в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} $mathbb {R} ^{3}$ .

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства (X,ρ){displaystyle (X,rho )}

$(X,rho)$ длиной S{displaystyle S} $S$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой γ:[a,b]→X{displaystyle gamma :[a,b]to X} $gamma :[a,b]to X$ определяется согласно формуле:

s=sup∑k=0mρ(γ(xk+1),γ(xk)),{displaystyle s=sup sum limits _{k=0}^{m}rho (gamma (x_{k+1}),gamma (x_{k})),}

s=sup sum limits _{{k=0}}^{m}rho (gamma (x_{{k+1}}),gamma (x_{k})),

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям a=x0<x1<⋯<xm=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b}

$a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b$ отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ .

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми».

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

См. также

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Примечания

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.