Дифференциальное исчисление

• Разделы:
  • См. также
  • Литература

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Содержание

• 1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • 1.1 Производная
  • 1.2 Касательная прямая
  • 1.3 Точки экстремума
  • 1.4 Непрерывные функции
  • 1.5 Основные теоремы дифференциального исчисления
• 2 См. также
• 3 Литература

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная

Пусть функция g(h){displaystyle g(h)}

  определена в окрестности h=0{displaystyle h=0}  и для любого ϵ{displaystyle epsilon }  > 0 найдётся такое δ{displaystyle delta } , что

|g(h)/hn|<ϵ{displaystyle |g(h)/h^{n}|<epsilon } , лишь только |h|<δ,{displaystyle |h|<delta ,} 

тогда говорят, что g(h){displaystyle g(h)}

  — бесконечно малое порядка o(hn){displaystyle o(h^{n})} .

Пусть f(x){displaystyle f(x)}

  — вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b){displaystyle (a,b)} . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b){displaystyle (a,b)} , если

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+12!f″(x)h2+…1n!f(n)(x)hn+o(hn){displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{frac {1}{2!}}f»(x)h^{2}+dots {frac {1}{n!}}f^{(n)}(x)h^{n}+o(h^{n})} 

для любого x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}

  и любого n{displaystyle n} . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке (a,b){displaystyle (a,b)}  функции образуют кольцо гладких функций C∞(a,b){displaystyle C^{infty }(a,b)} .

Коэффициенты f(n)(x){displaystyle f^{(n)}(x)}

f(m)(x+h)=f(m)(x)+f(m+1)(x)h+…1n!f(m+n)(x)hn+o(hn){displaystyle f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+dots {frac {1}{n!}}f^{(m+n)}(x)h^{n}+o(h^{n})} 

Эти функции называют производными функции f(x){displaystyle f(x)}

 . Первая производная может быть вычислена как предел

f′(x)=limh−>0f(x+h)−f(x)h{displaystyle f'(x)=lim limits _{h->0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} .

Оператор, сопоставляющий функции f(x){displaystyle f(x)}

  её производную f′(x){displaystyle f'(x)}  обозначают как

D=ddx{displaystyle D={frac {d}{dx}}} 

При этом для двух гладких функций f и g верно

D(f+g)=Df+Dg{displaystyle D(f+g)=Df+Dg}  и D(fg)=fDg+gDf{displaystyle D(fg)=fDg+gDf} 

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b){displaystyle (a,b)}

 , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

  График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y=f(c)+f′(c)(x−c){displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)} 

пересекает кривую

y=f(x){displaystyle y=f(x)} 

в точке (c,f(c)){displaystyle (c,f(c))}

  таким образом, что знак выражения

f(x)−f(c)−f′(c)(x−c)=12f″(c)(x−c)2+o((x−c)2){displaystyle f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)={frac {1}{2}}f»(c)(x-c)^{2}+o((x-c)^{2})} 

при условии f″(c)≠0{displaystyle f»(c)not =0}

  всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

y=f(x){displaystyle y=f(x)} 

лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f′(c)(x−c){displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)} 

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x=c{displaystyle x=c}

  (по Б. Кавальери). Точку x=c{displaystyle x=c} , в которой кривая

y=f(x){displaystyle y=f(x)} 

не лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f′(c)(x−c){displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)} 

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка x=c{displaystyle x=c}

  называется точкой локального максимума (минимума), если

f(c)−f(c+h)>0(f(c)−f(c+h)<0){displaystyle f(c)-f(c+h)>0quad (f(c)-f(c+h)<0)} 

для всех достаточно малых по модулю h{displaystyle h}

 . Из соотношения

f′(c)h+12f″(c)h2+o(h2)<0{displaystyle f'(c)h+{frac {1}{2}}f»(c)h^{2}+o(h^{2})<0} 

сразу видно, что f′(c)=0{displaystyle f'(c)=0}

  — необходимое условие максимума, а f″(c)<0{displaystyle f»(c)<0}  — достаточное условие максимума. Условие f″(c)=0{displaystyle f»(c)=0}  выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть f{displaystyle f}

  определена и на концах интервала [a,b]{displaystyle [a,b]} ; говорят, что она непрерывна на [a,b]{displaystyle [a,b]} , если для любого ϵ{displaystyle epsilon }  найдётся такое δ{displaystyle delta } , что

|f(x)−f(x+h)|<ϵ{displaystyle |f(x)-f(x+h)|<epsilon } , лишь только |h|<δ,{displaystyle |h|<delta ,} 

и точки x,x+h{displaystyle x,,x+h}

  не выходят за границы интервала [a,b]{displaystyle [a,b]} .Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b]{displaystyle [a,b]}  функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b]{displaystyle C[a,b]} .

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a,b]{displaystyle [a,b]}

  и гладких на (a,b){displaystyle (a,b)}  функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если f(a)=f(b)=0{displaystyle f(a)=f(b)=0} , то имеется точка c∈(a,b){displaystyle cin (a,b)}  максимума или минимума, в которой f′{displaystyle f’}  обращается в нуль.
• Теорема Лагранжа: существует такая точка c∈(a,b){displaystyle cin (a,b)} , что

f(b)−f(a)b−a=f′(c){displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)} 

• Теорема Коши: если g′≠0{displaystyle g’not =0}  на (a,b){displaystyle (a,b)} , то существует такая точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): cin (a,b), что

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c){displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={frac {f'(c)}{g'(c)}}} 

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке (a′,b′)⊂(a,b){displaystyle (a’,b’)subset (a,b)}

  найдутся такие точки cn{displaystyle c_{n}} , что

f(b′)=f(a′)+f′(a′)(b′−a′)+12!f″(a′)(b′−a′)2+…1n!f(n)(a′)(b′−a′)n+Rn{displaystyle f(b’)=f(a’)+f'(a’)(b’-a’)+{frac {1}{2!}}f»(a’)(b’-a’)^{2}+dots {frac {1}{n!}}f^{(n)}(a’)(b’-a’)^{n}+R_{n}} 

где

Rn=1(n+1)!f(n+1)(cn)(b′−a′)n+1{displaystyle R_{n}={frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c_{n})(b’-a’)^{n+1}} 

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке b′{displaystyle b’}

  по известным значениям функции и её производных в точке a′{displaystyle a’} .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b)=g(b)=0{displaystyle f(b)=g(b)=0}

  или f(b)=g(b)=∞{displaystyle f(b)=g(b)=infty } , и g′≠0{displaystyle g’not =0}  на (a,b){displaystyle (a,b)} , то

limx→b−0f(x)g(x)=limx→b−0f′(x)g′(x),{displaystyle lim limits _{xrightarrow b-0}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim limits _{xrightarrow b-0}{frac {f'(x)}{g'(x)}},} 

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также

• Исчисление
• Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 г.

Шаблон:Link FA