Ошибка игрока

Разделы:
- Внешние ссылки

Оши́бка игрока́ (gambler’s fallacy) — или ложный вывод Монте-Карло, отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события.

Например, в случае с подбрасыванием монеты много раз подряд вполне может произойти такая ситуация, что выпадет 10 «решек» подряд. Если монета «нормальная», то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения орла будет больше. Тем не менее такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по прежнему остаётся 1/2.

Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» десять раз подряд. Последняя будет равна 2−10=1/1024{displaystyle 2^{-10}=1/1024} ${displaystyle 2^{-10}=1/1024}$ . Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из орлов и решек при 10 бросках монеты.

Последнее утверждение очень важно и часто вводит многих в заблуждение, поэтому нуждается в дополнительном объяснении. Дело в том, что вероятность уже произошедшего события всегда равна 1 — это одно из базовых свойств вероятности. Рассмотрим следующие условия опыта:

1. Будем бросать монету, записывая орел как 1, решку как 0.

2. Первое условие опыта: монета «правильная» — то есть «неизогнутая и с несмещенным центром тяжести» — то есть нет никаких предпосылок, чтобы орел выпадал чаще решки, или наоборот. Следовательно, вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки: P=1/2{displaystyle P=1/2} ${displaystyle P=1/2}$ .

3. Второе условие опыта: результаты бросаний независимы — то есть, то, что в к-м броске выпал орел, никак не влияет на результат к+1-го броска — вероятности выпадения орла и решки остаются равными 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ для каждого броска в эксперименте независимо от «истории бросков».

Тогда:

Утверждение «до опыта» — запишем на бумаге комбинацию возможного исхода из 10-ти бросаний, например: «решка-орел-решка-решка-орел-орел-орел-решка-орел-решка», или в наших цифровых обозначениях: 0100111010{displaystyle 0100111010} ${displaystyle 0100111010}$ . Вопрос: Какова вероятность, что в нашем опыте выпадет именно эта комбинация?
Ответ: В-ть того, что в первом броске будет решка равна 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ . Что орел во втором — также 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ . Что решка в третьем — также 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ . И так далее.
Поскольку в-ти независимых событий перемножаются получим окончательный ответ: Вероятность того, что в нашем опыте выпадет комбинация 0100111010{displaystyle 0100111010} ${displaystyle 0100111010}$ равна: 1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2∗1/2=1/2−10=1/1024{displaystyle 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2=1/2^{-10}=1/1024} ${displaystyle 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2=1/2^{-10}=1/1024}$ — то есть вероятность достаточно мала.
Теперь проведем опыт из 10-ти бросаний, записывая результат. Предположим, мы получили такую последовательность: 0011010011{displaystyle 0011010011} ${displaystyle 0011010011}$ . Вопрос: Какова вероятность, что в нашем опыте выпала именно эта комбинация?

Ответ: Вероятность равна 1{displaystyle 1} $1$ .

Казалось бы, мы имеем дело с парадоксом: какая разница между первой последовательностью из решек и орлов и второй? Почему в первом случае вероятность мала, а во втором — единица? Более того — начав эксперимент из 10 бросаний (и успешно его закончив),- мы обязательно получим какую-либо последовательность. Какова ее вероятность?

На самом деле никакого парадокса нет. Разные вероятности и получаются именно потому, что в первом случае в вопросе стоит глагол «выпадет», а во втором «выпала» — то есть — в первом случае опыт еще не проведен, поэтому его исход не определен, и существует множество возможных исходов данного опыта. А во втором — мы имеем уже результат опыта, то есть событие уже произошло, и мы имеем только одну единственную последовательность.

Пояснить вывод можно следующим образом: рассмотрим простейший опыт с двумя шарами (белым и черным) в урне. Шары перемешаны, мы не видим, какой шар вытаскиваем. Какова вероятность, что мы вытащим, например, белый шар? Понятно, что 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ , так как всего шаров два, а белый из них один. Мы начинаем опыт, имея два возможных исхода, из которых только один в котором вытащенный шар будет белым. Но вот мы вытащили шар, и он оказался белым. Какова вероятность, что мы вытащили белый шар? Конечно 1{displaystyle 1} $1$ , так как мы его уже вытащили и держим в руке — событие уже произошло.

Так же и в опыте с бросанием десяти монет. Начиная опыт мы имеем два возможных исхода на каждый бросок. Соответственно после первого бросания мы будем иметь два возможных исхода: орел или решка. После второго — четыре возможных исхода: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Число всех возможных исходов (и всех возможных последовательностей) которые возможны в конце опыта равно 2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2=210=1024{displaystyle 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2=2^{10}=1024} ${displaystyle 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2=2^{10}=1024}$ . Но когда опыт завершен у нас только одна последовательность, которую мы не знаем «до опыта». Такое наше незнание и порождает малую вероятность какой-либо последовательности, когда мы рассуждаем о ней, еще не начав эксперимент.

В то же самое время, когда опыт уже проведен — мы имеем только одну конкретную последовательность. Она уже есть, и в ее существовании нет никакой случайности — событие уже произошло и мы знаем его исход — а вероятность уже произошедшего события всегда равна 1.

Содержание

См. также

Внешние ссылки

Это заготовка статьи по статистике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно:

Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Викифицировать статью.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.