Символическая динамика

Разделы:

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Содержание

1 Базовые примеры
- 1.1 Сдвиг Бернулли
- 1.2 Сдвиг Маркова
2 Отображение судьбы
- 2.1 Свойства
- 2.2 Примеры
3 Инвариантные меры
4 Литература

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли ω′=σ(ω){displaystyle omega ‘=sigma (omega )} $omega '=sigma (omega )$ над пространством Σ2{displaystyle Sigma _{2}} $Sigma _{2}$ двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть Σs+{displaystyle Sigma _{s}^{+}}

$Sigma _{s}^{{+}}$ — пространство последовательностей в алфавите {1,…,s}{displaystyle {1,dots ,s}} ${1,dots ,s}$ , то есть,

Σs+={(ωj)j=1∞∣∀jwj∈{1,…,s}}.{displaystyle Sigma _{s}^{+}={(omega _{j})_{j=1}^{infty }mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}}.}

Sigma _{s}^{{+}}={(omega _{j})_{{j=1}}^{{infty }}mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}}.

Сдвигом Бернулли называется динамическая система (Σs+,σ){displaystyle (Sigma _{s}^{+},sigma )}

$(Sigma _{s}^{{+}},sigma )$ , где σ{displaystyle sigma } $sigma$ — отображение левого сдвига,

(σ(ω))j=ωj+1.(∗){displaystyle (sigma (omega ))_{j}=omega _{j+1}.qquad (*)}

(sigma (omega ))_{j}=omega _{{j+1}}.qquad (*)

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

Σs={(ωj)j=−∞∞∣∀jwj∈{1,…,s}};{displaystyle Sigma _{s}={(omega _{j})_{j=-infty }^{infty }mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}};}

Sigma _{s}={(omega _{j})_{{j=-infty }}^{{infty }}mid forall jquad w_{j}in {1,dots ,s}};

получающуюся динамическую систему (Σs,σ){displaystyle (Sigma _{s},sigma )}

$(Sigma _{s},sigma )$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Сдвиг Маркова

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 мая 2015)

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

X=⨆i=1NBi,{displaystyle X=bigsqcup _{i=1}^{N}B_{i},}

X=bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

любой точке x∈X{displaystyle xin X}

$xin X$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

x↦(ik),fk(x)∈Bik.(∗){displaystyle xmapsto (i_{k}),quad f^{k}(x)in B_{i_{k}}.qquad (*)}

xmapsto (i_{k}),quad f^{k}(x)in B_{{i_{k}}}.qquad (*)

При этом для необратимых динамических систем последовательность (ik){displaystyle (i_{k})}

$(i_{k})$ односторонняя, т.е. k=0,1,2,…{displaystyle k=0,1,2,dots } $k=0,1,2,dots$ , а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} } $kin mathbb{Z }$ .

Отображение h:X→ΣN{displaystyle h:Xto Sigma _{N}}

$h:Xto Sigma _{N}$ или h:X→ΣN+{displaystyle h:Xto Sigma _{N}^{+}} $h:Xto Sigma _{N}^{+}$ , заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

h∘f=σ∘h.{displaystyle hcirc f=sigma circ h.}

hcirc f=sigma circ h.

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве ΣN{displaystyle Sigma _{N}}

$Sigma _{N}$ или на его части.

Свойства

Примеры

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Инвариантные меры

Литература

П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
Каток А. Б., Хассельблат Б.[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.