Универсальная алгебра

• Разделы:
  • Алгебраические системы, алгебры и модели
  • Основные конструкции
  • Многообразия
  • Свободные алгебры
  • Специальные алгебры
  • Категории алгебраических систем
  • Приложения
  • Примечания
  • Литература

Не следует путать с универсальной алгеброй — одним из видов структур, изучаемых данным разделом математики.

Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими алгебраическими конструкциями, как группы, кольца, модули, решётки, вводя присущие им всем понятия и общие для всех них утверждения и результаты. Является разделом, занимающим промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

Содержание

• 1 История
• 2 Алгебраические системы, алгебры и модели
• 3 Основные конструкции
• 4 Многообразия
• 5 Свободные алгебры
• 6 Специальные алгебры
• 7 Категории алгебраических систем
• 8 Приложения
• 9 Примечания
• 10 Литература

История

Первое упоминание о разделе математики с таким наименованием относится к Альфреду Уайтхеду (его «Трактат об универсальной алгебре, с приложениями»[1] выпущен в 1898 году)[2], однако появление выделенной дисциплины, изучающей алгебраические структуры как произвольные множества с произвольными наборами операций и соотношений связано с работами Гаррета Биркхофа 1935 года[3][4], в рамках работы над теорией решёток обратившего внимания на ряд параллельных конструкций, используемых в теории групп и колец: гомоморфизмы, факторгруппы и факторкольца, нормальные подгруппы и двухсторонние идеалы. Работы Биркхофа некоторое время не вызывали опубликованных откликов и развития, однако 1940-е годы отмечено появление определённого «фольклора», связанного таким универсальным подходом к алгебре, в частности, подход излагался в лекциях конца 1940-х годов, прочитанных Филипом Холлом (англ. Philip Hall) в Кембриджском университете[2].

Следующим шагом к созданию универсальной алгебры как раздела математики отмечаются работы Альфреда Тарского по теории моделей и Кэндзиро Сёды по алгебрам с бинарными операциями, а также работы Леона Генкина?! (англ. Leon Henkin)[5], Анатолия Мальцева[6], Абрахама Робинсона[7], Бьярни Йоунссона (исл. Bjarni Jónsson (stærðfræðingur))[8], обративших внимание на эффективность применения аппарата математической логики, используемого в рамках строящейся в те годы теории моделей, к исследованию алгебраических систем как структур, обобщающих модели и алгебры. При этом, работа Мальцева 1941 года[9] отмечена как предвосхищающая логический подход к универсальной алгебре, но не получившая откликов и своевременного развития из-за войны, а лекция Тарского на Международном конгрессе математиков в 1950 году — как отправная точка для второго периода развития раздела[10].

С конца 1950-х годов развитие получило направление, исследующее свободные алгебры, прежде всего, благодаря работам Эдварда Марчевского?! (польск. Edward Marczewski) и последовавшей серии из более чем пятидесяти статей польских математиков в этом направлении[11].

С начала 1960-х годов развивается теория квазимногообразий и вопросы их связи с аксиоматизируемыми классами алгебраических систем (Мальцев, Горбунов), наиболее бурно развивающимся направлением начала — середины 1970 годов стали исследования многообразий конгруэнций (Бьярни Йоунссон, Гретцер).

К 1968 году библиография по универсальной алгебре насчитывала более 1 тыс. статей, к 1980 году — более 5 тыс.

Алгебраические системы, алгебры и модели

Основная статья: Алгебраическая система

Базовый объект изучения раздела — алгебраическая система — произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: A=⟨A,F,R⟩{displaystyle {mathfrak {A}}=langle A,F,Rrangle }

 , F=⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩{displaystyle F=langle f_{1}:A^{n_{1}}to A,dots f_{i}:A^{n_{i}}to A,dots rangle } , R=⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩{displaystyle R=langle r_{1}subseteq A^{m_{1}},dots r_{i}subseteq A^{m_{i}},dots rangle } . Множество A{displaystyle A}  в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями ⟨F,R,⟨n1,…ni,…⟩,⟨m1…mi,…⟩⟩{displaystyle langle F,R,langle n_{1},dots n_{i},dots rangle ,langle m_{1}dots m_{i},dots rangle rangle }  — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью[12] или системой отношений, реляционной системой[13].

В эту абстракцию вписываются все базовые общеалгебраические структуры, например частично упорядоченное множество — реляционная система, наделённая бинарным отношением частичного порядка, а группа — алгебра, снабжённая нульарной операцией[14], выделяющей нейтральный элемент, унарной операцией получения обратного элемента и бинарной ассоциативной операцией.

Благодаря тому, что любую n{displaystyle n}

 -арную операцию f:An→A{displaystyle f:A^{n}to A}  можно представить как (n+1){displaystyle (n+1)} -мерное отношение rf={⟨a1,…,an,an+1⟩∣an+1=f(a1,…,an)}{displaystyle mathrm {r} f={langle a_{1},dots ,a_{n},a_{n+1}rangle mid a_{n+1}=f(a_{1},dots ,a_{n})}} , любые алгебраические системы могут быть исследованы как модели, теоретико-модельным инструментарием[15].

Основные конструкции

Для алгебраических систем вводятся конструкции, характерные для всех базовых общеалгебраических структур: подсистема (подалгебра, подмодель), как подмножество носителя системы, замкнутое относительно всех операций и отношений, гомоморфизма систем, как отображения между системами одного типа, сохраняющий основные операции и отношения, изоморфизма, как обратимого гомоморфизма, автоморфизма как изоморфизма на себя. Введение понятия конгруэнции как стабильного отношения эквивалентности на системе позволяет построить такую конструкцию, как факторсистему (факторалгебру, фактормодель) — систему над классами эквивалентности. При этом доказана общая для всех алгебраических систем теорема о гомоморфзиме, утверждающая, что для любого гомоморфизма φ:A(A,Σ)→A′(A′,Σ){displaystyle varphi :{mathfrak {A}}(A,Sigma )to {mathfrak {A}}'(A’,Sigma )}

  естественное отображение факторсистемы по ядерной конгурэнции A/{(x,y)∈A×A′|φ(x)=φ(y)}{displaystyle {mathfrak {A}}/{(x,y)in Atimes A’|varphi (x)=varphi (y)}}  в A′{displaystyle {mathfrak {A}}’}  является гомоморфизмом, а в случае алгебр — изоморфизмом.

Все подсистемы алгебраической системы SubA{displaystyle mathbf {Sub} {mathfrak {A}}}

  образуют полную решётку, кроме того, любая алгебраическая решётка (то есть решётка, каждый элемент которой представим как точная верхняя грань её компактных элементов) изоморфна решётке подалгебр некоторой универсальной алгебры[16]. Исследованы группы автоморфизмов алгебраических системAutA{displaystyle mathbf {Aut} {mathfrak {A}}} [17], решётки конгруэнций ConA{displaystyle mathbf {Con} {mathfrak {A}}} . В частности, показано, что для любой группы G{displaystyle G}  и решёток L0{displaystyle L_{0}}  и L1{displaystyle L_{1}}  существует такая универсальная алгебра A{displaystyle {mathfrak {A}}} , что G≅AutA{displaystyle Gcong mathbf {Aut} {mathfrak {A}}} , L0≅SubA{displaystyle L_{0}cong mathbf {Sub} {mathfrak {A}}} , L1≅ConA{displaystyle L_{1}cong mathbf {Con} {mathfrak {A}}} .

Над семейством алгебраических систем одного типа определяется прямое произведение ∏i∈IAi(Ai,⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩,⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩){displaystyle prod _{iin I}{{mathfrak {A}}_{i}(A_{i},langle f_{1}:A^{n_{1}}to A,dots f_{i}:A^{n_{i}}to A,dots rangle ,langle r_{1}subseteq A^{m_{1}},dots r_{i}subseteq A^{m_{i}},dots rangle )}}

  как система, операции и отношения которой покоординатно определены на декартовом произведении носителей: то есть для fk:(∏i∈IAi)nk→∏i∈IAi{displaystyle f_{k}:(prod _{iin I}A_{i})^{n_{k}}to prod _{iin I}A_{i}}  — fk(⟨…ai,1…⟩,…,⟨…ai,nk…⟩)=⟨…,f(ai,1,…ai,nk),…⟩{displaystyle f_{k}(langle dots a_{i,1}dots rangle ,dots ,langle dots a_{i,n_{k}}dots rangle )=langle dots ,f(a_{i,1},dots a_{i,n_{k}}),dots rangle } , а для rk⊆(∏i∈IAi)nk{displaystyle r_{k}subseteq (prod _{iin I}A_{i})^{n_{k}}}  — {⟨…,r(ai,1,…,ai,k),…⟩∣ai,j∈Ai,i∈I,1≤j≤k}{displaystyle {langle dots ,r(a_{i,1},dots ,a_{i,k}),dots rangle mid a_{i,j}in A_{i},iin I,1leq jleq k}} . Проекциями прямого произведения являются естественные сюръективные гомоморфизмы πk:∏i∈IAi→Ak{displaystyle pi _{k}:prod _{iin I}{{mathfrak {A}}_{i}}to {mathfrak {A}}_{k}} , восстанавливающие операции и отношения в компонентах произведения. Декартовой степенью алгебраической системы называется прямое произведение с самой собой: An=∏i=1nAi{displaystyle {mathfrak {A}}^{n}=prod _{i=1}^{n}{{mathfrak {A}}_{i}}} ; решётку конгруэнций алгебры ConA{displaystyle mathbf {Con} {mathfrak {A}}}  в этом смысле можно рассмотреть как входящую в решётку подалгебр её декартова квадрата SubA2{displaystyle mathbf {Sub} {mathfrak {A}}^{2}} , притом установлено, что она является в ней полной подрешёткой[18].

Многообразия

Не следует путать с другими объектами в математике, называемыми топологическими и алгебраическими многообразиями.Запрос «Многообразие (универсальная алгебра)»[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Многообразие алгебраических систем (или эквациональный класс) — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором тождеств, выраженных в термах сигнатуры, это понятие обобщает такие специальные аксиоматически заданные классы алгебр, как класс всех полугрупп, класс всех групп, класс всех колец. Основанием для изучения такой обобщённой конструкции как многообразия является теорема Биркгофа, утверждающая, что для аксиоматизируемости тождествами непустого класса алгебраических систем K{displaystyle {mathfrak {K}}}

  необходимо и достаточно, чтобы он содержал:

1. декартово произведение произвольной последовательности K{displaystyle {mathfrak {K}}}  (был мультипликативно замкнутым);
2. любую подсистему произвольной K{displaystyle {mathfrak {K}}} -системы (являлся наследственным);
3. гомоморфный образ любой K{displaystyle {mathfrak {K}}} -системы (был гомоморфно замкнутым)[19].

Третье условие эквивалентно замкнутости относительно фактор-систем.

В исследованиях по универсальной алгебре подробно изучены структурные свойства многообразий, вопросы погружаемости систем одного многообразия в системы другого. В частности, установлено, что решётка всех многообразий решёток дистрибутивна и имеет мощность континуума, а решётка всех многообразий групп модулярна, но дистрибутивной не является.

Дополнительно к многообразиям изучены такие более общие классы систем, как предмногообразия (реплично полные классы) — классы, замкнутые относительно подалгебр и декартовых произведений, содержащие одноэлементную систему и квазимногообразия — классы, аксиоматизируемые вместо набора тождеств набором квазитождеств (определёнными дизъюнктами Хорна).

Свободные алгебры

Специальные алгебры

Категории алгебраических систем

Приложения

Примечания

1. ↑ Whitehead, Alfred North. A treatise on universal algebra, with applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1898. — 547 p.
2. ↑ 1 2 Кон, 1969, с. 11.
3. ↑ Мальцев, 1970, с. 7.
4. ↑ Гретцер, 2008, Although Whitehead recognized the need for universal algebra, he hadno results. The first results were published by G. Birkhoff in the thirties, p. vii.
5. ↑ Henkin, Leon. Some interconnections between modern algebra and mathematical logic (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1953. — Vol. 74. — P. 410—427. — ISSN 0002-9947.
6. ↑ Мальцев, А. И. К общей теории алгебраических систем (рус.) // Математический сборник. — 1954. — Т. 35, № 77. — С. 3—20.
7. ↑ Robinson, Abraham. Note on an embedding theorem for algebraic systems (англ.) // Journal of the London Mathamtical Society. — 1955. — Vol. 30. — P. 249—252.
8. ↑ Bjarni Jónsson. Universal relational systems (англ.) // Mathematica Scandinavica. — 1957. — No. 5. — P. 224—229. — ISSN 0025-5521.
9. ↑ Мальцев, А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп // Учёные записки Ивановского государственного педагогического института. Серия физико-математических наук. — 1941. — Т. 1, № 1. — С. 3—20.
10. ↑ Гретцер, 2008, Mal’cev’s 1941 paper was the first one, but it went unnoticed because of the war. After the war, A. Tarski, L. A. Henkin, and A. Robinson began working in this field and they started publishing their results about 1950. A. Tarski’s lecture at the International Congress of Mathematicians (Cambridge, Massachusetts, 1950) may be considered as the beginning ofthe new period., p. viii.
11. ↑ Гретцер, 2008, Marczewski emphasized the importance of bases of free algebras; he called them independent sets. As a result Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski,K. Urbanik, and others were responsible for more than 50 papers on the algebraic theory of free algebras, p. viii.
12. ↑ Мальцев, 1970.
13. ↑ Гретцер, 2008, p. 8.
14. ↑ Предполагается, что A0=∅{displaystyle A^{0}=varnothing } 
15. ↑ Скорняков, 1991, с. 313.
16. ↑ Гретцер, Theorem 2, p. 48.
17. ↑ Плоткин, Борис Исаакович. Группы автоморфизмов алгебраических систем. — М.: Наука, 1966. — 603 с. — 6000 экз.
18. ↑ Скорняков, 1991, с. 302.
19. ↑ Мальцев, 1970, pp. 337-339.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. Universal Algebra. — 2nd. — Springer, 2008. — 585 с. — ISBN 978-0-387-77486-2.