Кривизна

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Кривизна (значения).

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Содержание

1 Кривизна кривой
2 Кривизна плоской кривой
3 Кривизна поверхности
4 См. также
5 Литература

Кривизна кривой

Пусть γ(t){displaystyle gamma (t)}

$gamma (t)$ — регулярная кривая в d{displaystyle d} $d$ -мерном евклидовом пространстве, параметризованная её длиной t{displaystyle t} $t$ . Тогда

κ=|γ¨(t)|{displaystyle kappa =|{ddot {gamma }}(t)|}

kappa =|{ddot gamma }(t)|

называется кривизной кривой γ{displaystyle gamma }

$gamma$ в точке p=γ(t){displaystyle p=gamma (t)} $p=gamma (t)$ , здесь γ¨(t){displaystyle {ddot {gamma }}(t)} ${ddot gamma }(t)$ обозначает вторую производную по t{displaystyle t} $t$ .Вектор

k=γ¨(t){displaystyle k={ddot {gamma }}(t)}

k={ddot gamma }(t)

называется вектором кривизны γ{displaystyle gamma }

$gamma$ в точке p=γ(t){displaystyle p=gamma (t)} $p=gamma (t)$ .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной τ(t)=γ˙(t){displaystyle tau (t)={dot {gamma }}(t)}

$tau (t)={dot gamma }(t)$ :

k=τ˙(t),{displaystyle k={dot {tau }}(t),}

k={dot tau }(t),

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

κ=|γ′×γ″||γ′|3{displaystyle kappa ={frac {|gamma ‘times gamma »|}{|gamma ‘|^{3}}}}

kappa ={frac {|gamma 'times gamma ''|}{|gamma '|^{3}}}

где γ′{displaystyle gamma ‘}

$gamma '$ и γ″{displaystyle gamma »} $gamma ''$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ{displaystyle gamma } $gamma$ в требуемой точке по параметру (при этом под ×{displaystyle times } $times$ для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение). Соприкасающаяся окружность

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением y=y(x){displaystyle y=y(x)}

$y=y(x)$ , кривизна вычисляется по формуле:

κ(x)=|y″|(1+y′2)3.{displaystyle kappa (x)={frac {|y»|}{({sqrt {1+y’^{2}}})^{3}}}.}

kappa (x)={frac {|y''|}{({sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}}.

Для того, чтобы кривая γ{displaystyle gamma }

$gamma$ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (r=1/κ{displaystyle r=1/kappa }

$r=1/kappa$ ), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна плоской кривой

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной. Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной. Ориентированная кривизна выражается формулой

κ=γ′×γ″|γ′|3=x′y″−x″y′(x′2+y′2)3/2.{displaystyle kappa ={frac {gamma ‘times gamma »}{|gamma ‘|^{3}}}={frac {x’y»-x»y’}{(x’^{2}+y’^{2})^{3/2}}}.}

{displaystyle kappa ={frac {gamma 'times gamma ''}{|gamma '|^{3}}}={frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.}

Кривизна поверхности

Основная статья: Вторая квадратичная форма Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Пусть Φ{displaystyle Phi }

$Phi$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p{displaystyle p} $p$ — точка Φ,{displaystyle Phi ,} $Phi ,$ Tp{displaystyle T_{p}} $T_{p}$ — касательная плоскость к Φ{displaystyle Phi } $Phi$ в точке p,{displaystyle p,} $p,$ n{displaystyle n} $n$ — единичная нормаль к Φ{displaystyle Phi } $Phi$ в точке p,{displaystyle p,} $p,$ а πe{displaystyle pi _{e}} $pi _{e}$ — плоскость, проходящая через n{displaystyle n} $n$ и некоторый единичный вектор e{displaystyle e} $e$ в Tp.{displaystyle T_{p}.} $T_p.$ Кривая γe,{displaystyle gamma _{e},} $gamma_e,$ получающаяся как пересечение плоскости πe{displaystyle pi _{e}} $pi _{e}$ с поверхностью Φ,{displaystyle Phi ,} $Phi ,$ называется нормальным сечением поверхности Φ{displaystyle Phi } $Phi$ в точке p{displaystyle p} $p$ в направлении e.{displaystyle e.} $e.$ Величина

κe=k⋅n{displaystyle kappa _{e}=kcdot n}

kappa _{e}=kcdot n

где ⋅{displaystyle cdot }

$cdot$ обозначает скалярное произведение, а k{displaystyle k} $k$ — вектор кривизны γe{displaystyle gamma _{e}} $gamma _{e}$ в точке p{displaystyle p} $p$ , называется нормальной кривизной поверхности Φ{displaystyle Phi } $Phi$ в направлении e{displaystyle e} $e$ .С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γe{displaystyle gamma _{e}} $gamma _{e}$ .

В касательной плоскости Tp{displaystyle T_{p}}

$T_{p}$ существуют два перпендикулярных направления e1{displaystyle e_{1}} $e_{1}$ и e2{displaystyle e_{2}} $e_{2}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κe=κ1cos2⁡α+κ2sin2⁡α{displaystyle kappa _{e}=kappa _{1}cos ^{2}alpha +kappa _{2}sin ^{2}alpha }

kappa _{e}=kappa _{1}cos ^{2}alpha +kappa _{2}sin ^{2}alpha

где α{displaystyle alpha }

$alpha$ — угол между этим направлением и e1{displaystyle e_{1}} $e_{1}$ , a величины κ1{displaystyle kappa _{1}} $kappa _{1}$ и κ2{displaystyle kappa _{2}} $kappa _{2}$ нормальные кривизны в направлениях e1{displaystyle e_{1}} $e_{1}$ и e2{displaystyle e_{2}} $e_{2}$ , они называются главными кривизнами, а направления e1{displaystyle e_{1}} $e_{1}$ и e2{displaystyle e_{2}} $e_{2}$ — главными направлениями поверхности в точке p{displaystyle p} $p$ .Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн.Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H=κ1+κ2{displaystyle H=kappa _{1}+kappa _{2}}